1.3 线段的垂直平分线 培优练习（含解析）

1.3线段的垂直平分线培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
知识点：线段垂直平分线的性质
一、选择题
1．如图，△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，若∠PAQ＝40°，则∠BAC的度数是（　　）
A．140° B．110° C．100° D．70°
2．如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
3．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD＝BF；②CF＝CD；③AC+CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，若∠PAC＝x°，则∠1的度数是（　　）°．
A．90﹣x B．x C．90x D．60x
5．如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O．若∠BOC＝148°，则∠BIC＝（　　）
A．120° B．125° C．127° D．132°
6．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，OD垂直平分AB，若∠OBC＝∠OCB，OC＝4，则点A、O之间的距离为（　　）
A．4 B．8 C．2 D．6
二、填空题
7．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点D，若∠BDC＝140°，则∠BAC的大小是 　 　．
8．如图，在△ABC中，BC＝13，MP，NQ分别垂直平分边AB，AC，交BC于点P，Q，则△PAQ的周长等于 　 　．
9．如图，DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，连接AG，AE，已知BC＝10，GE＝2，∠BAC＝80°，则∠GAE＝　 　，△AGE的周长是　 　．
10．如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC中点，过P作BC的垂线交于点D，∠BDC＝50°，则∠MON＝　 　．
11．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　 　．
三、解答题
12．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
13．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
14．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
15．如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；
（2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．
16．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
17．如图，AD是△ABC的中线．
（1）如图1，若点D恰好在AB的垂直平分线上，求∠BAC的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DAC＝2∠BAD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，求证：AC＝2DE．
18．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：
（1）∠EAD＝∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC＝∠B．
19．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N．
（1）如图1，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．
20．如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O
（1）若∠A＝α（0°＜α＜90°），求∠BOC；
（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∵∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C+∠BAP+∠CAQ＝2（∠BAP+∠CAQ）＝180°﹣∠PAQ＝140°，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠CAQ＝110°．
故选：B．
2．【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等，
∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：A．
3．【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAF＝22.5°，
∵在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F＝90°，∠FBC+∠F＝90°，
∴∠EAF＝∠FBC，
∵BC＝AC，∠EAF＝∠FBC，∠BCF＝∠AEF，
∴Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴AD＝BF；
故①正确；
②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF＝CD，
故②正确；
③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF＝CD，AC+CD＝AC+CF＝AF，
∵∠CBF＝∠EAF＝22.5°，
∴在Rt△AEF中，∠F＝90°﹣∠EAF＝67.5°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠CAB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴AF＝AB，即AC+CD＝AB，
故③正确；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BEBF，
∵在Rt△BCF中，若BE＝CF，则∠CBF＝30°，与②中∠CBF＝22.5°相矛盾，
故BE≠CF，
故④错误；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BF＝2BE，
故⑤正确．
所以①②③⑤四项正确．
故选：D．
4．【解答】解：连接PB、PC，
∵边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴∠PBA＝∠PAB，∠PBC＝∠PCB，PA＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝x°，∠PAB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝∠ABC，
∴2∠ABC+2x°＝180°，
解得，∠ABC＝90°﹣x°，
∴∠DPE＝180°﹣∠ABC＝90°+x°，
∴∠1＝180°﹣∠DPE＝90°﹣x°，
故选：A．
5．【解答】解：连接OA，
∵∠BOC＝148°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝32°，
∵O是三边的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OBA+∠OCA＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∴∠ABC+∠ACB＝74°+32°＝106°，
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB，
∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝127°，
故选：C．
6．【解答】解：如图，连接OA，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵∠OBC＝∠OCB，OC＝4，
∴OB＝OC＝4，
∴OA＝OB＝OC＝4，
故选：A．
二、填空题
7．【解答】解：连接AD，如图所示：
∵直线l1，l2是AB，AC的垂直平分线，
∴DB＝DA，DC＝DA，
∴DB＝DA＝DC，
∴∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DBC＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣140°＝40°，
∴∠DBC＝∠DCB＝20°，
∴∠DBA＝∠DBC+∠ABC＝20°+∠ABC，∠DCA＝∠ACB+∠DCB＝∠ACB+20°，
∴∠DAB＝20°+∠ABC，∠DAC＝∠ACB+20°，
∴∠BAC＝∠DAB+∠DAC＝20°+∠ABC+∠ACB+20°＝∠ABC+∠ACB+40°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAC+40°，
即2∠BAC＝220°，
∴∠BAC＝110°．
故答案为：110°．
8．【解答】解：∵MP和NQ分别为AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，QA＝QC，
∴△PAQ的周长＝PA+PQ+QA＝PB+PQ+QC＝BC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．【解答】解：∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，
∴AE＝BE，CG＝AG，
∵BC＝10，GE＝2，
∴AE+AG＝BE+CG＝10+2＝12，
∴△AGE的周长是AG+AE+EG＝12+2＝14，
∵AE＝BE，CG＝AG，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠GAC，
∴∠EAB+∠GAC＝∠BAC+∠GAE＝100°，
∴∠GAE＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°，14．
10．【解答】解：如图：
过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，
则∠DEO＝∠DFO＝90°，
∵OD平分∠MON，
∴DE＝DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠BDF+CDF＝∠BDF+∠EDB＝∠EDF＝50°．
∵∠MON+∠EDF+∠DEO+∠DFO＝360°，
∴∠MON＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°；
故答案为：130°．
11．【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．
三、解答题
12．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
13．【解答】（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
14．【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
15．【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC，
∵△APQ的周长为12，
∴BC＝12；
（2）∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
∵∠BAC＝105°，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°．
16．【解答】解：（1）如图，
∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，
∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE＝6cm，
∴BC＝6cm；
（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴OA＝OC＝OB，
∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC＝16，
∴OC+OB＝16﹣6＝10cm，
∴OC＝5cm，
∴OA＝OC＝OB＝5cm．
17．【解答】解：（1）如图1，设AB的垂直平分线交AB于点M，连接DM，
∴∠BMD＝90°，
∵点D、M为BC、AB的中点，
∴DM∥AC，
∴∠BAC＝∠BMD＝90°；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，∠DAC＝2∠BAD，
∴∠DAC＝60°，
∵DA＝DC，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD，
∵CE⊥AD，
∴AC＝AD＝2DE．
18．【解答】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD是∠BAC平分线，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠B．
19．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝68°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝98°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝98°﹣82°＝16°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．
20．【解答】解：（1）AB、AC边的中垂线交于点O，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），
∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）＝360°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝360°﹣2∠A＝360°﹣2α，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝2α；
（2）∠ABO+∠ACB为定值，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBC（180°﹣2∠A）＝90°﹣α，
∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A＝180°，
∴∠ABO+∠ACB＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°．