1.4 角平分线 培优练习（含解析）

1.4角平分线培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
2．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝10cm，则S△ABD：S△ACD＝（　　）
A．3：4 B．4：3 C．6：5 D．10：9
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
5．如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　）
A．4.5 B．5 C．7 D．
6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
8．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，且S3＝10，关于S1+S2的值可能为（　　）
A．8 B．10
C．14 D．以上都有可能
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　）
A．10 B．16 C．8 D．5
二、解答题
10．如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点P，连接BP．
（1）求证：BP平分∠ABC；
（2）若AC＝5，△APC的面积是10，△ABC的面积是15，求△ABC的周长．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
12．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（1）在图1中完成上面的证明过程；
（2）在图2中，AD是△ABC外角平分线，如果AB＝10，AC＝4，BC＝7，求BD的长．
13．如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．
（1）求证：∠ADC+∠B＝180°；
（2）若AD＝3，AB＝9，求AH的长．
14．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
15．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
16．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝10，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
17．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
18．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若△ABC的周长是30，△ABC的面积为45，求OF的长．
19．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．
参考答案
1．【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
2.【解答】解：设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∵在△ABC中，AD是它的角平分线，
∴h1＝h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比
＝4：3．
故选：B．
3．【解答】解：作DE⊥AB于点E，
，
由题意可知，AD是∠CAB的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵DE⊥AB，CD＝6，
∴DE＝CD＝6，
∵AB＝15，
∴，
故选：C．
4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故选：D．
5．【解答】解：作PN⊥OB于N，
∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB，
∴PF＝PN＝3.5，
∵S△ODPOP×DHOD×PN，
∴8×DH4×3.5，
解得，DH，
故选：D．
6．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO AB OE： BC OF： AC OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
7．【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADCAB DEAC DF4×2AC×2＝7，
解得AC＝3．
故选：A．
8．【解答】解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI、△ACI和△BCI的边AB、AC和BC边上的高相等，
设△ABI、△ACI和△BCI的高为h，
∴，，
由三角形三边关系得AB+AC＞BC，
∴S1+S2＞S3，
又∵S3＝10，
∴S1+S2＞10，故S1+S2的值可能为14，选项C符合题意，
选项A、B、D不符合题意．
故选：C．
9．【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，
∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3，
∴AB+BE＝10，
∴AB＝BE＝5．
故选：D．
10．【解答】（1）证明：如图，过点P作PF⊥BD于F，PG⊥AC于G，PH⊥BE于H，
∵AP平分∠DAC，PF⊥BD，PG⊥AC，
∴PF＝PG，
∵CP平分∠ACE，PH⊥BE，PG⊥AC，
∴PH＝PG，
∴PF＝PH，
∵PF⊥BD，PH⊥BE，
∴BP平分∠ABC；
（2）∵AC＝5，△APC的面积是10，
∴5×PG＝10，
∴PG＝4，
∴PF＝PH＝PG＝4，
∵△ABC的面积是15，△APC的面积是10，
∴AB×PFBC×PH＝25，
∴AB+BC＝12.5，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12.5+5＝17.5．
11．【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），
∴CF＝EB；
（2）解：AB＝AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE．
12．【解答】（1）证明：如图1中，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∴；
（2）解：如图2中，过点D作DM⊥AE于点M，DN⊥AC于点N．
∵AD平分∠EAC，
∴DM＝DN，
∴，
∴，
∴，
∴CD，
∴BD＝BC+CD＝7．
13．【解答】（1）证明：过点C作CM⊥DE，垂足为M，
∵AC平分∠EAB，CH⊥AB，CM⊥DE，
∴CM＝CH，∠CMA＝∠CHB＝90°，
在Rt△DMC与Rt△BHC中
，
∴Rt△DMC≌Rt△BHC（HL），
∴DM＝BH，∠1＝∠B，
∵∠1+∠CDA＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°；
（2）解：∵∠CMA＝∠CHB＝90°，
在Rt△AMC与Rt△AHC中
，
∴Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），
∴AM＝AH，
设BH＝DM＝x，
则AH＝9﹣x，AM＝3+x，
∴9﹣x＝3+x，
解得x＝3，
∴AH＝6．
14．【解答】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E，
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC＝PD，
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∴PC＝PE，
∴OP平分∠AOB；
（2）∵△PMN的面积是16，MN＝8，
∴MN PD＝16，
∴8 PD＝16，
∴PD＝4，
∴PD＝PC＝PE＝4，
∵△OMN的面积是24，
∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40，
∴△POM的面积+△PON的面积＝40，
∴OM PCON PE＝40，
∴OM 4ON 4＝40，
∴OM+ON＝20，
∴线段OM与ON的长度之和为20．
15．【解答】证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF，
又∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝AF，DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FD＝AD．
16．【解答】解：（1）∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH＝80°﹣40°＝40°．
（2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴，
即，解得EM＝3，
∵AB＝10，
∴．
17．【解答】（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACO∠ACB，∠ACP∠ACD，
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP
∠ACB∠ACD
∠BCD
180°
＝90°，
∴OC⊥CP．
18．【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵OB为∠ABC的平分线，OD⊥AB，OF⊥BC，
∴OD＝OF，
∵OC为∠ACB的平分线的交点OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OF，
∴OD＝OE＝OF
在Rt△AOD与Rt△AOE中，，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）
∴∠OAD＝∠OAE，
∴AO平分∠BAC．
（2）解：由（1）知OD＝OE＝OF，
∴S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∵S△ABC＝45，AB+BC+AC＝30，
∴，
∴OF＝3．
19．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）连接OC，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
在Rt△OEM与Rt△OFN中，，
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠AOB＝90°∠ACB，
即90°∠ACB＝180°﹣∠ACB，
∴∠ACB＝60°；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OD＝OG＝OH，
∴S△ABC8×610OD6×OG8×OH，
∴OD＝2，
∴S△AOB10×2＝10．