2.2 不等式的基本性质 培优练习（含解析）

2.2不等式的基本性质培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．若x＞y，则下列式子正确的是（　　）
A．x+1＜y+1 B．﹣2x＞﹣2y
C． D．
2．当0＜x＜1时，x2，，x之间的大小关系是（　　）
A．x＜x2 B．x2＜x C．x＜x2 D．x2＜x
3．下列不等式的变形正确的是（　　）
A．若a＞b，则c+a＜c+b
B．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若ac2＜bc2，则a＜b
4．下列不等式变形正确的是（　　）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得a2＞b2
C．由a＞b，得|a|＞|b| D．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b
5．若m＜n，则下列不等式不成立的是（　　）
A．m+5＜n+5 B．﹣3m＞﹣3n
C．m﹣1＞n﹣1 D．
二、填空题
6．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为 　 　．
7．问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b；这个规律，反过来也成立．
问题解决：已知A＝（2y+1）x+3y，B＝（2x+1）y+3x，若x﹣3（x﹣2）≥4，且2x+y﹣3＝0，试比较大小：A 　 　B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）．
8．若0＜x＜1，则、、x2的大小关系是　 　．
9．已知实数a，b，满足1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1且a﹣2b取最大值时，8a+2021b的值是 　 　．
10．若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为　 　．
11．已知a＞5，不等式（5﹣a）x＞a﹣5解集为　 　．
12．已知由（a﹣b）2≥0可得a2+b2≥2ab，当a＝b时，a2+b2＝2ab成立．运用上述结论解决问题：对于正数x，代数式x+1的最小值为　 　．
13．若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a的取值范围是　 　．
14．已知x+y+z＝0，且x＞y＞z，则的取值范围是　 　．
15．已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为　 　．
16．已知a、b、c都是正整数，且a+b＝6，a+c＝10，记a+b+c的最大值是M，最小值是N，则M﹣N＝　 　．
17．已知a≥b＞0且3a+2b﹣6＝ac+4b﹣8＝0，则c的取值范围是　 　．
三、填空题
18．【阅读材料】：
材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：K（1，2）＝a+2b；K（﹣2，3）＝﹣2a+3b．
已知：K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0．
材料二：“已知x，y均为非负数，且满足x+y＝8，求2x+3y的范围”，有如下解法：
∵x+y＝8，
∴x＝8﹣y，
∵x，y是非负数，
∴x≥0即8﹣y≥0，∴0≤y≤8，
∵2x+3y＝2（8﹣y）+3y＝16+y，∴16≤16+y≤24，∴16≤2x+3y≤24．
【回答问题】：
（1）求出a，b的值；
（2）已知x，y均为非负数，x+2y＝10，求4x﹣y的取值范围；
（3）已知x，y，z都为非负数，，求W＝x﹣3y+4z的最大值和最小值．
19．若2a+b＝12，其中a≥0，b≥0，又P＝3a+2b．试确定P的最小值和最大值．
20．阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，求x+y的取值范围．
解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2，
又∵x＞1，
∴y+2＞1，
∴y＞﹣1，
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0①，
∴﹣1+2＜y+2＜0+2，
即1＜x＜2②，
①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2，
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，则x的取值范围是 　 　；x+y的取值范围是 　 　；
（2）已知x﹣y＝a，且x＜b，y＞﹣b，根据上述做法得到﹣5＜2x+y＜4，求a、b的值．
21．对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“共联”的，这个整数称为“联点”．例如不等式x＞1和不等式x＜3是“共联”的，联点为2．
（1）不等式x﹣1＜2和x﹣2≥0是“共联”的，联点为 　 　；
（2）若2x﹣a＜0和x＞0是“共联”的，则a的最大值为 　 　．
（3）若不等式x+1＞2b和x+2b≤3是“共联”的，直接写出b的取值范围为 　 　．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、∵x＞y，
∴x+1＞y+1，
故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，
故B不符合题意；
C、当x＞y＞0时，1，
故C不符合题意；
D、∵x＞y，
∴，
故D符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：∵0＜x＜1，
∴令x，
∴x2＝（）2，
2，
∴2，
即x2＜x．
故选：D．
3．【解答】解：A．∵a＞b，
∴c+a＞c+b，故本选项不符合题意；
B．当c＜0时，由a＜b能推出ac＞bc，故本选项不符合题意；
C．当c＝0时，由a＜b能推出ac2＝bc2，故本选项不符合题意；
D．∵ac2＜bc2，
∴不等式的两边都除以c2，得a＜b，故本选项符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：A、由a＞b，根据不等式的性质1，两边同时减去2可得a﹣2＞b﹣2，故此变形错误；
B、由a＞b，得a2＞b2，错误，两边所乘的整式不相同，也不相等，故此变形错误；
C、由a＞b，得|a|＞|b|，错误，例如：﹣2＞﹣5，但是|﹣2|＜|﹣5|，故此变形错误；
D、由a＞b，得﹣2a＜﹣2b正确；
故选：D．
5．【解答】解：∵m＜n，
∴m+5＜n+5，
∴选项A不符合题意；
∵m＜n，
∴﹣3m＞﹣3n，
∴选项B不符合题意；
∵m＜n，
∴m﹣1＜n﹣1，
∴选项C符合题意；
∵m＜n，
∴，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
二、填空题
6．【解答】解：，
①+②，得3a+4b+5c＝130，
可得出a＝10，c＝20，
∵a，b，c为三个非负实数，
∴a＝100，c＝200，
∴0≤b≤20，
∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b，
∴当b＝0时，W＝130﹣2b的最大值为130，
故答案为：130．
7．【解答】解：∵x﹣3（x﹣2）≥4，
∴x≤1，
∵2x+y﹣3＝0，
∴x，
∴y≥1，
∴A﹣B＝（2y+1）x+3y﹣（2x+1）y﹣3x＝2y﹣2x＝2（y﹣x），
∵x≤1，y≥1，
∴A﹣B＝2（y﹣x）≥0，
∴A≥B，
故答案为：≥．
8．【解答】解：由0＜x＜1，得
x，1，x2＜x＜1，
故答案为：x2．
9．【解答】解：设a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），
∴a﹣2b＝（m+n）a+（m﹣n）b，
∴，
解得，
∴a﹣2b（a+b）（a﹣b），
∵1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1，
∴﹣2（a+b），0（a﹣b），
∴﹣2≤a﹣2b≤1，
∴a﹣2b有最大值为1，
此时（a+b），（a﹣b），
解得a＝1，b＝0，
∴8a+2021b＝8．
故答案为：8．
10．【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，
∴a＝0，则左边式子ax＝0，
∴b＜0一定成立，
∴a，b的取值范围为a＝0，b＜0．
11．【解答】解：∵a＞5，
∴5﹣a＜0，
∴解不等式（5﹣a）x＞a﹣5，得x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
12．【解答】解：∵x＞0．
∴原式＝x1
≥21
＝2×3+1
＝7．
当x时，等号成立．
即x＝3时等号成立．
故答案为7．
13．【解答】解：关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，
1﹣a＜0，
a＞1，
故答案为：a＞1．
14．【解答】解：∵x+y+z＝0，
∴y＝﹣x﹣z，
∴1，
∵x＞y＞z，x+y+z＝0，
∴x＞0，z＜0，
∵x＝﹣（y+z）＜﹣2z，
∴2，
∵z＝﹣（x+y）＞﹣2x，
∴，
∴11，即1，
故答案为：1．
15．【解答】解：∵正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，
∴c2＝16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16
同理：
有c2＝25﹣b2得到0＜c2＜25，所以0＜c2＜16
两式相加：a2+b2+2c2＝41
即a2+b2＝41﹣2c2
又∵﹣16＜﹣c2＜0
即﹣32＜﹣2c2＜0
∴9＜41﹣2c2＜41
即9＜k＜41．
16．【解答】解：∵a、b、c都是正整数，且a+b＝6，a+c＝10，
∴b＝6﹣a≥1，c＝10﹣a≥1，
∴a≤5且a≤9，
∴a≤5，
∴1≤a≤5，
∵a+b＝6，a+c＝10，
∴a+b+c＝16﹣a，
∴11≤16﹣a≤15，
∵a+b+c的最大值是M，最小值是N，
∴M＝15，N＝11，
∴M﹣N＝15﹣11＝4，
故答案为：4．
17．【解答】解：由3a+2b﹣6＝ac+4b﹣8＝0得：
①×2﹣②得（6﹣c）a＝4
∴a③
把③代入①得 b
∵a≥b＞0．
∴6﹣c＞0，c＜6
∴4≥12﹣3c＞0
∴c＜4
故答案为：c＜4．
三、解答题
18．【解答】解：（1）∵K（1，2）＝7，K（﹣2，3）＝0，K（x，y）＝ax+by，
∴，
∴解方程组得：；
（2）∵x+2y＝10，
∴x＝10﹣2y，
∵x，y是非负数，
∴x≥0即10﹣2y≥0，
∴0≤y≤5，
∵4x﹣y＝4（10﹣2y）﹣y＝40﹣9y，
∴﹣45≤﹣9y≤0，
∴﹣5≤40﹣9y≤40，
∴﹣5≤4x﹣y≤40．
（3）∵，而，
∴，
解得：，
∵x，y，z都为非负数，
∴，
解得：，
∴W＝x﹣3y+4z
＝x﹣12+18x+38x﹣18
＝57x﹣30；
当时，，
当时，．
19．【解答】解：∵2a+b＝12，a≥0，b≥0，
∴2a≤12．
∴a≤6．
∴0≤a≤6．
由2a+b＝12得；b＝12﹣2a，
将b＝12﹣2a代入P＝3a+2b得：
p＝3a+2（12﹣2a）
＝24﹣a．
当a＝0时，P有最大值，最大值为p＝24．
当a＝6时，P有最小值，最小值为P＝18．
20．【解答】（1）∵x﹣y＝5，
∴y＝x﹣5，
∵y＜0，
∴x﹣5＜0，
∴x＜5，
又∵x＞2，
∴x的取值范围是2＜x＜5，
x+y＝x+x﹣5＝2x﹣5，
∵2＜x＜5，
∴2×2﹣5＜2x﹣5＜2×5﹣5，
即﹣1＜2x﹣5＜5，
∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜5．
故答案为：2＜x＜5，﹣1＜x+y＜5．
（2）∵x﹣y＝a，
∴x＝y+a，
∵x＜b，
∴y+a＜b，
∴y＜﹣a+b．
∵y＞﹣b，
∴﹣b＜y＜﹣a+b①，
﹣b+a＜y+a＜b，
即﹣b+a＜x＜b，
∴﹣2b+2a＜2x＜2b②，
由①+②得：﹣3b+2a＜2x+y＜﹣a+3b，
∵﹣5＜2x+y＜4，
∴，
解得：，
即a＝﹣1，b＝1．
21．【解答】解：（1）x﹣1＜2，
x＜3，
x﹣2 0，
x≥2，
故不等式的解集为：2≤x＜3，
有且仅有x＝2时，使得这两个不等式同时成立，
∴不等式x﹣1＜2和x﹣2 0是“共联“的．
∴联点为2，
故答案为：2；
（2）2x﹣a＜0，
x，
不等式解集：0＜x，
是“共联”的，要包含 1但不包含2，
即：12，
解得：2＜a≤4．
∴a的最大值为4，
故答案为：4；
（3）x+1＞2b，
x＞2b﹣1，
x+2b 3，
x≤3﹣2b，
2b﹣1+3﹣2b＝2，
∴2b﹣1和3﹣2b关于1对称，
不等式解集：2b﹣1＜x≤3﹣2b，
是“共联”的，
0＜2b﹣1＜1，1＜3﹣2b＜2，
解得：b＜1．
故答案为：b＜1．