2025年小升初数学（人教版）专项复习7—鸽巢问题、找次品、 植树问题（含答案）

专项复习7—鸽巢问题、找次品、 植树问题
一、填空题
1．某校有 55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成4组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为　 　。
2．箱子里有红球13个，黄球10个，蓝球15个，从中摸出　 　个球，才能保证三种颜色的球都至少有4个。
3．有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是　 　克。
4．把红、黄、蓝三种颜色的球各5个放到一个袋子里。至少取　 　个球，可以保证取到两个不同颜色的球。
5．盒子里有红、黑、黄、蓝四种颜色的球各5个，要想摸出来的球一定有2个是同色的，最少要摸出　 　个球。要想摸出的球一定有2个是不同色的，最少要摸出　 　个球。
6．在下面的盒子中摸球，最少取出　 　个球，可以确保一定有两个球的颜色相同。
7． 学校成立了书法、绘画、音乐三个兴趣小组，每人至少参加一个兴趣小组。六（1）班有43人，至少有　 　人参加的兴趣小组相同。
8．一个口袋里有四种不同颜色的小球 . 每次摸出 2 个，要保证有 10 次所摸的结果是一样的，至少要摸　 　次。
9．把9枚邮票贴在8个信封上，不管怎么贴，总有一个信封至少贴上　 　枚邮票。
10． 一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基准分10分，每道题答对3分，答错扣1分，不答不得分。要保证至少有4人得分相同，至少需要（　　）人参加竞赛。
11．小芳练习跳绳，一分钟至少跳　 　次才能保证在某一秒内至少跳了2次。
12．学校组织研学旅行活动，五年级共有350名同学参加，至少有　 　人在同一个月过生日。在开展“找次品”比赛活动中，老师拿来13个乒乓球，有12个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称　 　次保证能找出这个乒乓球。
13．10个保温瓶中有2个是次品，要保证取出的瓶中至少有-一个是次品，则至少应取出　 　个。
14．12袋包装相同的小食品，其中有1袋较轻，用天平称，至少称　 　次，就能保证找出较轻的一袋小食品。
15．如图，电车从站经过站到达站，然后返回，去时站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时　 　千米。
16． 学校有一条长220米的小道，计划在道路两旁栽树，每隔5米栽一棵。如果两端都各栽一棵树，那么共需　 　棵树苗；如果两端都不栽树，那么共需　 　棵树苗；如果只有一端栽树，那么共需　 　棵树苗。
17．在一座长800 m的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏。若相邻两盏彩灯之间的距离相等，则相邻两盏彩灯之间的距离是　 　m。
18．植树节，学校要在长60m的教学楼前栽一排树，每3m 栽一棵树（两端都栽），需要准备　 　棵树苗。
19．公路边每相隔7米有一棵槐树，芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵，电车的速度是每分钟　 　米。
20．在一个半径是10米的湖的周围每隔3.14米种一棵树，如果树苗的成活率是80%，那么需要准备　 　棵树苗。
21．笑笑家住在12楼。一天停电，笑笑只好从1楼走楼梯回家。当她上到3楼时用了84秒，照这样的速度，路路从1楼走到12楼需要　 　秒。
22．锯木头，每锯一次4分钟，把一根木头锯成4段，一共要　 　分钟。
23．时钟敲3下用6秒，敲5下要用　 　秒。
24．一根木料锯成3段需要3.6分，锯成8段需要　 　分。
25．有9袋糖果，其中有一袋忘了放防潮剂，如果用没有砝码的天平称，至少要称　 　次才能保证找出这袋糖果。
26．有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称　 　次才能保证找到次品；天平左右两边各放　 　个，有可能一次就找出次品。
27．一批银币中只有一枚是假币，假币较轻，用天平最少称4次才能确保找出假币，这些银币至少有　 　枚，最多有　 　枚。
28．8个零件里有一个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称　 　次能保证找出次品。
29．有15瓶水，14瓶是纯净水，另外一瓶是盐水　 　次，保证能找到这瓶盐水。
30．在一批零件中，混杂了一个质量稍轻的次品，用天平（不用砝码）最少称5次才能把次品找出来。这批零件至少有　 　个。
答案解析部分
1．46
解：任意分成4组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1=9（人）
因为任意10人中必有男生，考虑“最不利的情况”的情况：那么最多9人是女生，只有1人是男生。
所以，女生是9人。
那么，男生人数是55-9=46（人）。
所以，参赛男生的人数为46人。
故答案为：46。
本题考查的是对鸽巢原理的理解和应用，为了确定女生的最大可能数量，我们可以考虑“最不利的情况”，即每组女生数量尽可能平均且接近的情况。
在最不利的情况下：我们将55人分成四组时，为了让女生数量尽可能平均，可以设想有三组各有2名女生，而第四组有3名女生。这样，女生的总数就是3组中的6名加上第四组中的3名，共9名女生。
再考虑另一个条件：参赛者中任何10人中必有男生。这也提示我们女生的数量不可能太多，因为如果女生数量过多，那么在某些10人组合中就可能全是女生，违反了这个条件。因此，我们可以推断出女生人数最多为9人，因为在最坏的情况下，即连续的9个人都是女生后，第10人必须是男生。
2．32
解：15＋13＋4
=28＋4
=32（个）。
故答案为：32。
箱子里有红球13个，黄球10个，蓝球15个，最差的情况是：取出的31个球中有15个蓝球、13个红球，3个黄球，此时只要再取出一个必为黄球，所以至少取31＋1=32个。
3．18
解：①10个砝码的总重量很显然应该是200克；
②其中最重的砝码应该最大是100克；
③最小的砝码很显然必须是1克。下一个如果还是1克，那3克重量是无法称出来的，下面还得是1克，这样后面所有的砝码就都是1克了，这显然不对，所以第二小的砝码最大应该是2克；
④目前已经有1克、2克砝码，可以称到最大的重量是3克，4克无法称出，所以第三小的砝码可以确定是4克；
⑤同理第四小的砝码应该是8克；
⑥依次类推，其他砝码依次为16克、32克、64克…
⑦9个砝码总和应该是100克，要使得最重的尽量少（其实是10个中第二重的），那么后面的就不需要那么大了；
⑧假设前面6个砝码为1克、2克、4克、8克、16克、32克…那么显然最重的应该为32克，不一定是最少的，
⑨假设前面5个砝码为1克、2克、4克、8克、16克，那么还有4个总和为100-31=69克，根据抽屉原理，可分配为17克、17克、17克、18克，最重的为18克，这是最少的。
⑩假设前面4个砝码为1克、2克、4克、8克，那么还有5个总和为100-15=85克，平均为85÷5=17克，又第五个最大是16克，所以最重的至少为18克，实质和上面一类是一样的。
综上，10个砝码中第二重的砝码最少18克，此时的砝码为：1克、2克、4克、8克、16克、17克、17克、17克、18克、100克。
故答案为：18克 。
本题先确定最小的砝码是1，其次砝码是2，然后按照规律往上增加，会发现每次都是2n-1的重量，此时可以先列出来砝码的重量排布：1、2、4、8、16、32...，而问题是“ 这10个砝码中第二重的砝码最少是多少克”，所以可以先假设最大的是100克，当然也可以假设最大的是别的重量，然后分析讨论，最后发现在16克前后的时候可以计算出第二重的是18克。
4．6
解：5＋1=6（个）。
故答案为：6。
保证取到两个不同颜色的球 ，是每种颜色的球的个数＋1。
5．5；6
解：4+1=5（个）；
5+1=6（个）；
故答案为：5；6。
盒子里有同样大小的红、黑、黄、蓝四种颜色的球，最坏的情况是，当摸出4个球的时候，红、黑、黄、蓝四种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出4+1=5个；
考虑最差情况：摸出5个球，都是同一种颜色的，此时再任意摸出一个球，即可保证有2个球颜色不同。
6．4
解：3+1=4（个）
故答案为：4。
根据鸽巢原理，盒中有三种颜色的球，所以至少要取出4个球。
7．7
解：3＋3＋1＝7（种）
43÷7＝6（个）……1（个）
6＋1＝7（个）
故答案为：7。
只参加1个兴趣小组的有3种情况，参加2个兴趣小组的有3种情况，参加3个兴趣小组的有1种情况，共有3＋3＋1＝7（种）情况；把这7种情况看作7个抽屉，把43人看作43个苹果，根据抽屉原理，要使每个抽屉中苹果的个数尽量平均，则每个抽屉中的苹果个数为43÷7＝6（个）……1（个），6＋1＝7（个），即至少有7人参加的兴趣小组相同。
8．91
解：摸出2个颜色相同时，有4种不同的结果，摸出2个颜色不同时，有3+2+1=6种不同的结果，即共有4+6=10种不同结果。
9×10+1=91（次）
故答案为：91。
首先计算出从四种不同颜色的小球中任意摸出2个的所有可能结果，然后应用鸽巢原理，将这10种不同结果看作10个鸽巢，确定至少需要摸多少次才能保证有10次所摸的结果是一样的。
9．2
解：9÷8=1（枚）……1（枚）
至少：1+1=2（枚）
故答案为：2。
抽屉原理的公式：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n=b……c，那么有一个抽屉至少放（b+1）个物体，此题中抽屉是信封，物品是邮票，据此解答。
10．115人
解：最高可得4×10=40（分），最低是倒扣：1×10=10（分），得10-1×10=0分，共有40+1=41（种）不同分数。
答对与答错之间的分数差为3+1=4分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为40-3=37分，最低分为40-3-1=36（分），中间的38分和39分都不会出现，后面对8道题的情况下，最多得40-2×3=34分，最少得40-2×4=32分，中间的35分不会出现，因此一共有41-2-1=38种分数；
为了保证至少有4人得分相同，那么参加竞赛的学生至少有：38×3+1=115（人）。
故答案为：115。
按这种记分方法，最高可得40分，最低是倒扣10分，得10-1×10=0分，共有40+1=41种不同分数。对1题加3分，答错1题扣1分，答对与答错之间的分数差为3+1=4分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为40-3=37分，最低分为40-3-1=36（分），中间的38分和39分都不会出现；后面对8道题的情况下，最多得40-2×3=34分，最少得40-2×4=32分，35分不会出现，因此一共有41-2-1=38种分数，然后根据抽屉原理计算参加竞赛的人数即可。
11．61
解：1分钟＝60秒，
60＋1＝61（次）；
答：一分钟至少跳61次才能保证某一秒钟内至少跳了两次。
1分钟等于60秒。可以把1分钟的时间看成一个抽屉，把跳绳的次数看成元素，把60个抽屉均分跳绳的次数，使每个抽屉放1个元素，还剩1个元素，这个元素无论放在哪个抽屉里，都会出现2个元素，据此即可得出答案。
12．30；3
解：第一问：350÷12=29……2，29+1=30（人），至少有30人在同一个月过生日。
第二问：把13个乒乓球分成4、4、5共三份，第一次：在天平两端各放4个乒乓球，如果平衡，较轻的就在剩下的5个中；如果不平衡，上升那端的4个中有一个是轻的。第二次：如果在5个中，天平两端各放2个，如果平衡，剩下的那个就是轻的；如果不平衡，上升那端的2个中有1个是轻的，再称第三次就能找出轻的；如果在4个中，天平两端各放2个，上升那端有1个是轻的，这样再称第三次就能找出轻的。
故答案为：30；3。
第一问：用350除以12求出商是29，余数是2，从最不利的情况考虑，每个月都有29人生日，那么剩下的2人无论在哪个月出生都至少有30人在同一个月过生日；
第二问：把物品平均分成3份，如果不能平均分也要使其中一份比另外两份多或少1个，这样称一次就能把次品缩小到最小范围；按照这样的方法确定称的次数即可。
13．9
解：8+1=9（个）；
故答案为：9。
根据抽屉原理，考虑最差情况：取出8个全是合格品，那么再任意取出1个，都会出现1个次品，据此求解。
14．3
第一次：把12袋糖果平均分成3份，每份4袋，任取其中的2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则稍轻的那袋即在未取的4袋中（再按照下面方法操作），若不平衡；第二次：把天平秤较高端的4袋糖果平均分成2份，每份2袋，分别放在天平秤两端；第三次：把天平秤较高端的2袋糖果，分别放在天平秤两端，较高端的糖果即为稍轻的那袋小食品。
故答案为：3。
此题主要考查了找次品的知识，根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。
15．72
解：48×(10－1)÷(19－13)
=48×9÷ 6
=72(千米/时)
故答案为：72。
依据‘路程=速度×时间’从站经过站到达站，用了(10-1)小时，从C到A用时(19-13)小时，根据往返的路程相等列式即可。
16．90；86；88
解：（220÷5＋1）×2
=45×2
=90（棵）；
（220÷5-1）×2
=43×2
=86（棵）；
220÷5×2
=44×2
=88（棵）。
故答案为：90；86；88。
两端都栽树的植树问题，植树的棵数=总长÷间距＋1棵；
两端都不栽树的植树问题，植树的棵数=总长÷间距-1棵；
一端植树一端不植树的植树问题，植树的棵数=总长÷间距；如果是两旁都栽树，要把一旁栽树的棵数乘2。
17．8
解：800÷（202÷2-1）
=800÷100
=8（米）。
故答案为：8。
相邻两盏彩灯之间的距离=大桥的长度÷（两边挂彩灯的总盏数÷2-1）。
18．21
解：60÷3＋1
=20＋1
=21（棵）。
故答案为：21。
两端都栽树的植树问题，植树的棵数=总长÷间距＋1棵。
19．350
解：(151-1)×7
=150×7
=1050(米)
1050÷3=350(米/分)
故答案为：350。
由题意可知，电车一共经过了棵树-1个间隔，根据全长=间隔数×间隔长度求出电车3分钟行驶的路程，再根据速度=路程÷时间代入数值即可解答。
20．25
解：3.14×10×2÷3.14÷80%
=20÷80%
=25（棵）
故答案为：25。
在圆形周边植树，棵数=间隔数。用湖的周长除以3.14求出间隔数，也就是植树的棵数。用植树棵数除以成活率即可求出需要准备树苗的棵数。
21．462
解：84÷(3-1)
=84÷2
=42(秒)；
42×(12-1)
=42×11
=462(秒)；
故答案为：462。
笑笑从1楼上到3楼一共上了(3-1)层台阶；用84除以(3-1)求出上一层台阶需要的时间；路路从1楼上到12楼一共上了(12-1)层台阶，再乘上一层台阶需要的时间即可解答。
22．12
解：4-1=3（次）
4×3=12（分钟）
故答案为：12。
将一根木头锯成4段，需要锯（4-1）次，每锯一次用的时间×锯的次数=一共需要的时间，据此列式解答。
23．12
解：6÷(3-1)×(5-1)
=6÷2×4
=12(秒)
故答案为：12
敲3下共2个间隔，敲5下共4个间隔，用6除以2求出一个间隔的时间，再乘4即可求出敲5下用的时间。
24．12.6
解：3.6÷（3-1）×（8-1）
=3.6÷2×7
=1.8×7
=12.6（分）。
故答案为：12.6。
锯成8段需要的时间=平均锯一次用的时间×锯的次数；其中，锯的次数=锯的段数-1。
25．2
解：第一次：把9袋糖果平均分成3组，每组3袋，天平两端各放6袋，6袋，如果天平平衡，次品在剩余的3袋中，如果不平衡，次品在较轻一端的3袋中；
第二次：把较轻的3袋分成3组，每组1袋，天平两端各放1袋，如果天平平衡，剩余的1袋就是次品，如果天平不平衡，较轻一端是次品；
因此，至少要称3次才能保证找出这袋糖果；
故答案为：2。
要辨别的物品数目在2~3个时，保证能找出次品至少需要测的次数是1次；要辨别的物品数目在4~9个时，保证能找出次品至少需要测的次数是2次；要辨别的物品数目在10~27个时，保证能找出次品至少需要测的次数是3次；要辨别的物品数目在28~81个时，保证能找出次品至少需要测的次数是4次；要辨别的物品数目在82~243个时，保证能找出次品至少需要测的次数是5次……。
26．2；1
解：有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称2次才能保证找到次品；天平左右两边各放1个，有可能一次就找出次品。
故答案为：2；1。
要辨别的物品数目在2~3个时，保证能找出次品至少需要测的次数是1次；要辨别的物品数目在4~9个时，保证能找出次品至少需要测的次数是2次；要辨别的物品数目在10~27个时，保证能找出次品至少需要测的次数是3次。
27．28；81
解：3×3×3＋1=28（枚）
3×3×3×3=81（枚）。
故答案为：28；81。
至少需要称量n次，才能保证测出次品的待测物品的数量就在（n-1）个3相乘的积加1与n个3 相乘的积之间。
28．2
把8个零件分成3份：3个、3个、2个，先在天平两别分别放三个观察：如果天平平衡，次品在剩下的2个里面；再把剩下的两个分别放在天平两边，则天平下沉的一边为次品。如果天平不平衡，次品在天平下沉的一边；再把下沉一边的3个拿出2个分别放在天平的两边，如果此时天平不平衡，下沉一边的就是次品；如果此时天平平衡，剩下的一个就是次品。所以，至少称2次能保证找到次品。
故答案为：2。
用天平平衡原理找次品的基本方法：把被测物体先分成3份，并且使3份得数量尽量同样多。
29．3
解：15(5，5，5)，其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成(2，2，1)，然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个!组的是次品，需要2次。如不平衡，可再把2分成(1，1)，再放在天平上称，可找出次品，则需要3次。所以至少3次保证可能找出这瓶盐水，
故答案为：3。
天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
30．82
解：3×3×3×3+1
=81+1
=82（个）
故答案为：82。
找次品的规律：2～3的1次方个物品，称1次；4～3的2次方个物品，称2次；10～3的3次方个物品，称3次；28～3的4次方个物品，称4次；82～3的5次方个物品，称5次。