北京师范大学附属实验中学24-2025学年度高一（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

北师大附属实验中学 2024-2025学年度第一学期期中试卷
高一年级数学
班级 姓名 学号 成绩
1. 本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，答题卡共 4 页，满分 150 分，
考
考试时间 120 分钟.
生
2. 在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.
须
3. 试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.
知
4. 在答题卡上，选择题须用 2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色
字迹签字笔作答.
第Ⅰ卷（共 100分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分）
1. 已知集合 A ={ 3, 1,0,2,4}，B ={x | 2 x 3}，则 A B =
A. { 1,0} B. {0,2} C. { 1,0,2} D. {0,2,4}
x
2. 函数 f (x) = 的定义域为
(x 1)2
A. [0,+ ) B. (1,+ )
C. ( ,1) (1,+ ) D. [0,1) (1,+ )
3. 若a b， c 0，则下列不等式恒成立的是
a b
A. B. ac bc C. ac2 bc2 D. ac3 bc3
c c
4. 下列函数中，是偶函数且在 (0,+ )上单调递增的是
1
A. y = x 1 B. y =1 x2 C. y = D. y = | x |
x
1
5. 已知函数 f (x) = 2 x ，在下列区间中，一定包含 f (x) 零点的区间是
x
1 1 1
A. , B. ,1 C. (1, 2) D. (2,4)
4 2 2
1/6
1 1

6. 设 a = 2 1，b = 5 2 ， c = 27 3 ，则
A. c b a B. c a b
C. b c a D. a b c
7. “a 0”是“关于 x 的不等式 ax2
1
x + 0的解集为 ”的
a
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知某商品每件的成本为 8 元，每月销量 y（万件）与每件售价 x（元）的
18
函数关系近似为： y = 1，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为
x
（注：净利润=销售总额 总成本）
A. 10 元 B. 12 元
C. 15 元 D. 16 元
x2 + 2x, x ≤3

9. 对于函数 f (x) = 4 ，下列说法正确的是
, x 3
x
A. f (x)存在最大值
B. f (x) 0的解集为 ( ,0)
C. f (x)在[1,+ ) 上单调递减
D. 对任意 x 0，有 f ( x) f (x)
10. 已知集合 A ={(x, y) | x + y = a}，B ={(x, y) | xy = 4 ，b≤ x ≤b + 2}，若存在
b 0，使得 A B中恰有 2 个元素，则 a的取值范围是
A. (4,2 5] B. (4,5]
C. [2 5,+ ) D. [5,+ )
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二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分）
11. 命题“ x N， x2 ≤ 2”的否定是 .
12. 计算：2log2 6 log2 9 = .
y
13. 设实数 x, y满足：1≤ x≤2，6≤ y ≤8，则 的取值范围是 .
x
14. 若函数 f (x) = x2 6x+5在[0,m]上的值域为[ 4,5]，则m 的最小值为 ；
最大值为 .
15. 已知 f (x)是R上的奇函数，记不等式[ f (x) x] [ f ( x) x]≥0的解集为 S .
给出下列四个结论：
① 一定有0 S ；
② 可能存在 x0 S 且 x ； 0 S
k
③ 若当 x 0时， f (x) = (k 0)，则一定有 S R；
x
④ 若当 x 0时， f (x) = x2 ax，且[ 1,1] S ，则 a的取值范围是[0,1] .
其中所有正确结论的序号是 .
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三、解答题（本大题共 3小题，共 35分）
16. （本小题满分 10 分）
设集合 A={x | x2 + 2x 3≤0}，B ={x | x a | 2} .
（Ⅰ）若a = 0，求 A B， A ( RB) ；
（Ⅱ）若 A B = A，求 a的取值范围.
17. （本小题满分 13 分）
已知关于 x 的方程 x2 (2m+ 4)x+m2 = 0有两个不相等的正．实．数．根．x1, x . 2
（Ⅰ）求m 的取值范围；
x
（Ⅱ）若 1
x
+ 2 = 7，求m 的值；
x2 x1
（Ⅲ）若 x1 + x2 = 2，求m 的取值范围.
18. （本小题满分 12 分）
1 x
已知函数 f (x)为R上的偶函数，且当 x≥0时， f (x) = .
1+ x
（Ⅰ）当 x 0时，求 f (x)的解析式；
（Ⅱ）判断 f (x)在[0,+ )上的单调性，并依据单调性的定义证明；
（Ⅲ）若 a+b =1，且a b，试比较 f (a)与 f (b)的大小，并说明理由.
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第Ⅱ卷（共 50分）
四、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
1 1
19. 给出能够说明“若 a b ，则 ”是假命题的一组 a,b 的值：
a2 +1 b2 +1
a = ；b = .
20. 已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}， A, B U 且 A B ，满足： A B ={1,4}，
A {3,5}= ， (A B) ={2,7}，则 A = ；B = . U
x2 + tx +1
21. 已知 f (x) = 为奇函数.
x
① t = ；
② 若 | f (x) |≤m 恰有两个整数解，则m 的取值范围是 .
| x +3 | 2, x ≤ a,
22. 函数 f (x) = 2
x + ax + f (a), x a .
① 当a = 2时， f (x)的单调递增区间为 ；
② 若 f (x)恰有三个零点，则 a的取值范围是 .
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五、解答题（本大题共 3小题，共 30分）
23. （本小题满分 8 分）
已知m 0，n 0 .
4m n
（Ⅰ）求 + 的最小值；
n m
2k
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中取得最小值的每组m,n，都有 m2≤ 2n +5恒成立，
k +1
求 k 的取值范围.
24. （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = x2 4ax+ a .
（Ⅰ）当 a =1时，求证： f (x) x2 2；
（Ⅱ）若 f (x)在[0,2]上的最小值为 3，求 a的值；
1 f (x)
（Ⅲ）若存在 x ,1 ，使得1≤ ≤ 2，求 a的取值范围. 2
3 x
25. （本小题满分 10 分）
对于非空有限数集 *A，记 A ={a a A或 a A}，| A |表示 A中所有元素
的个数.
（Ⅰ）若 A ={ 1,0,2}，用列举法直接写出 A*；
（Ⅱ）给定 k N* 且 k ≥2 ，设 A ={1,2, ,k}，对于1≤m≤ k 且 m N* ，记
Bm ={x | x+m A}，求 | B
*
m |的最小值（用 k 表示）；
（Ⅲ）设非空有限数集 A1, A2 满足以下条件：
| A | | A | 2
① A1 A2 = ；② (A1 A2)
* = A A ；③ 1 = 21 2 = .
| A* | | A*1 2 | 3
求证： | A1 |=| A2 | .
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