2.4一元一次不等式培优练习（含解析）

2.4一元一次不等式培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．定义新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b．若关于x的不等式x m＞1的解集为x＞﹣1，则m的值（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜3，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
3．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
二、填空题
4．已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　．
5．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞2，则m的最大整数值为m＝　 　．
6．如果一元一次不等式（m+3）x＞m+3的解集为x＜1，则m的取值范围为 　 　．
7．写一个合适的整数a，使关于x，y的方程组的解满足x+y＞2，则a＝　 　．
8．若关于x的不等式ax＞b的解集为x＜﹣5，则关于x的不等式bx＞a的解集为 　 　．
9．已知关于x，y的二元一次方程组满足x+y＞0，则a的取值范围为 　 　．
三、解答题
10．解不等式：1．
11．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞5m+2，求m的取值范围，并写出m的最大负整数值．
12．阅读下列新定义，解答后面的问题．对于实数x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax﹣by（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如T（1，﹣1）＝a×1﹣b×（﹣1）＝a+b，T（﹣1，2）＝a×（﹣1）﹣b×2＝﹣a﹣2b．已知T（3，1）＝13，T（﹣2，﹣3）＝﹣4，
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式T（m，2﹣m）﹣T（m﹣2，m）≤P恰好有2个正整数解，求实数P的取值范围．
13．求不等式的正整数解．
14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0．
（1）求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x＜2k+1的解为x＞1，请写出符合条件的k的整数值．
15．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
16．某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从A地行驶至B地，全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0.8元．
（1）求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费；
（2）从A地行驶至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？
17．某校为提高学生的阅读品味，计划为同学们购买甲、乙两种书籍．已知购买1本甲种书籍和2本乙种书籍共需170元，购买2本甲种书籍和3本乙种书籍共需290元．
（1）求每本甲种书籍和每本乙种书籍的价格分别为多少元？
（2）班级计划购买甲种书籍和乙种书籍共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种书籍多少本？
18．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为40元、120元，如表是近两个月的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种材质 B种材质
第一个月 2套 5套 846元
第二个月 3套 10套 1644元
（1）求A，B两种材质的围棋每套的售价．
（2）若商家准备用不多于2700元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求B种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为650元的目标？请说明理由．
19．某水果店经销A，B两种水果，第一次购进A种水果10件，B种水果15件，共花费2800元：第二次购进A种水果6件，B种水果5件，共花费1200元．
（1）求购进A，B两种水果的单价分别是多少元；
（2）若该水果店准备再次购进两种水果共40件，总费用不超过4440元，那么至少购进A种水果多少件？
（3）根据市场行情，销售一件A种水果可获利20元，销售一件B种水果可获利40元，在（2）的条件下，该水果店希望40件水果销售完时，所获的利润不少于1200元，试问水果店有哪几种进货方案？
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵a b＝a﹣2b，
∴x m＝x﹣2m．
∵x m＞1，
∴x﹣2m＞1，
∴x＞2m+1．
∵关于x的不等式x m＞1的解集为x＞﹣1，
∴2m+1＝﹣1，
∴m＝﹣1．
故选：B．
2．【解答】解：，
①﹣②得：x+y＝﹣2m﹣2，
∵x+y＜3，
∴﹣2m﹣2＜3，
解得：m，
故选：A．
3．【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
二、填空题
4．【解答】解：∵不等式（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，
∴|m﹣3|＝1，且m﹣4≠0，
解得：m＝4（舍去）或m＝2，
则m的值为2，
故答案为：2．
5．【解答】解：，
由②﹣①得：x﹣y＝1﹣m，
∵x﹣y＞2，
∴1﹣m＞2，
∴m＜﹣1，
m的最大整数值为﹣2．
故答案为：﹣2．
6．【解答】解：∵一元一次不等式（m+3）x＞m+3的解集为x＜1，
∴m+3＜0，
解得：m＜﹣3．
故答案为：m＜﹣3．
7．【解答】解：两方程相减得x+y＝a﹣3，
∵x+y＞2，
∴a﹣3＞2，
解得a＞5，
则符合条件的整数a的值可以是6，
故答案为：6（答案不唯一）．
8．【解答】解：∵关于x的不等式ax＞b的解集是x＜﹣5，
∴，
∴b＝﹣5a＞0，
故可得不等式bx＞a的解集为：．
故答案为：．
9．【解答】解：两个方程相加，得：3x+3y＝3a+3，
则x+y＝a+1，
∵x+y＞0，
∴a+1＞0，
解得a＞﹣1，
故答案为：a＞﹣1．
三、解答题
10．解不等式：1．
【解答】解：不等式两边都乘以12，得：
4（x+1）﹣12＜3（x﹣1），
即4x+4﹣12＜3x﹣3，
4x﹣3x＜8﹣3，
解得x＜5，
∴原不等式组的解集是x＜5．
11．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞5m+2，求m的取值范围，并写出m的最大负整数值．
【解答】解：解方程组得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞5m+2，
∴2﹣m+1﹣3m＞5m+2，
解得m．
故m的最大负整数解是﹣1．
12．阅读下列新定义，解答后面的问题．对于实数x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax﹣by（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如T（1，﹣1）＝a×1﹣b×（﹣1）＝a+b，T（﹣1，2）＝a×（﹣1）﹣b×2＝﹣a﹣2b．已知T（3，1）＝13，T（﹣2，﹣3）＝﹣4，
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式T（m，2﹣m）﹣T（m﹣2，m）≤P恰好有2个正整数解，求实数P的取值范围．
【解答】解：（1）∵T（3，1）＝13，T（﹣2，﹣3）＝﹣4，T（x，y）＝ax﹣by，
∴，
解得，
即a的值为5，b的值为2；
（2）∵T（m，2﹣m）﹣T（m﹣2，m）≤P，
∴5m﹣2（2﹣m）﹣[5（m﹣2）﹣2m]≤P，
解得m，
∵不等式T（m，2﹣m）﹣T（m﹣2，m）≤P恰好有2个正整数解，
∴这两个正整数解为1，2，
∴23，
解得14≤P＜18．
13．求不等式的正整数解．
【解答】解：去分母得：3（2+x）≥2（2x﹣4）+12，
去括号得：6+3x≥4x﹣8+12，
移项、合并同类项得：﹣x≥﹣2，
∴x≤2，
∴不等式的正整数解是1，2．
14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0．
（1）求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x＜2k+1的解为x＞1，请写出符合条件的k的整数值．
【解答】解：，
①﹣②，得x﹣y＝﹣2﹣k，
∵x﹣y＜0，
∴﹣2﹣k＜0，
解得，k＞﹣2；
（2）不等式（2k+1）x＜2k+1移项得：（2k+1）x＜2k+1，
∵不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解集为x＞1，
∴2k+1＜0，
解得：k，
又∵k＞﹣2，
∴k的取值范围为﹣2＜k，
整数k的值为﹣1．
15．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤37，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得：
（200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850，
解得：x＞35，
∵x≤37，且x应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
16．某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从A地行驶至B地，全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0.8元．
（1）求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费；
（2）从A地行驶至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？
【解答】解：（1）设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为（x+0.8）元，
由题意得：，
解得：x＝0.16，
检验，当x＝0.16时，x（x+0.8）≠0，
∴x＝0.16是原分式方程的解，
∴该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费为0.16元；
（2）A地到B的路程为：16÷0.16＝100（千米），
设从A地行驶至B地用电行驶y千米，则用油行驶（100﹣y）千米，
由题意得：0.16y+0.96（100﹣y）≤40，
解得：y≥70，
∴从A地行驶至B地，至少用电行驶70千米．
17．某校为提高学生的阅读品味，计划为同学们购买甲、乙两种书籍．已知购买1本甲种书籍和2本乙种书籍共需170元，购买2本甲种书籍和3本乙种书籍共需290元．
（1）求每本甲种书籍和每本乙种书籍的价格分别为多少元？
（2）班级计划购买甲种书籍和乙种书籍共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种书籍多少本？
【解答】解：（1）设每本甲种书籍的价格是x元，每本乙种书籍的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每本甲种书籍的价格是70元，每本乙种书籍的价格是50元；
（2）设购买甲种书籍m本，则购买乙种书籍（30﹣m）本，
根据题意得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5，
∴m的最大值为5．
答：最多可购买甲种书籍5本．
18．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为40元、120元，如表是近两个月的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种材质 B种材质
第一个月 2套 5套 846元
第二个月 3套 10套 1644元
（1）求A，B两种材质的围棋每套的售价．
（2）若商家准备用不多于2700元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求B种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为650元的目标？请说明理由．
【解答】解：（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种材质的围棋每套的售价为48元，B种材质的围棋每套的售价为150元；
（2）设采购m套B种材质的围棋，则采购（30﹣m）套A种材质的围棋，
根据题意得：48（30﹣m）+150m≤2700，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为12．
答：B种材质的围棋最多能采购12套；
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为650元的目标，理由如下：
假设能实现利润为650元的目标，根据题意得：
（48﹣40）（30﹣m）+（150﹣120）m＝650，
解得：m，
又∵m，
∴m不符合题意，
∴假设不成立，
即在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为650元的目标．
19．某水果店经销A，B两种水果，第一次购进A种水果10件，B种水果15件，共花费2800元：第二次购进A种水果6件，B种水果5件，共花费1200元．
（1）求购进A，B两种水果的单价分别是多少元；
（2）若该水果店准备再次购进两种水果共40件，总费用不超过4440元，那么至少购进A种水果多少件？
（3）根据市场行情，销售一件A种水果可获利20元，销售一件B种水果可获利40元，在（2）的条件下，该水果店希望40件水果销售完时，所获的利润不少于1200元，试问水果店有哪几种进货方案？
【解答】解：（1）设购进A种水果的单价是x元，B种水果的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种水果的单价是100元，B种水果的单价是120元；
（2）设购进m件A种水果，则购进（40﹣m）件B种水果，
根据题意得：100m+120（40﹣m）≤4440，
解得：m≥18，
∴m的最小值为18．
答：至少购进18件A种水果；
（3）根据题意得：20m+40（40﹣m）≥1200，
解得：m≤20，
又∵m≥18，且m为整数，
∴m可以为18，19，20，
∴水果店共有3种进货方案，
方案1：购进18件A种水果，22件B种水果；
方案2：购进19件A种水果，21件B种水果；
方案3：购进20件A种水果，20件B种水果．