2.6一元一次不等式组培优练习（含解析）

2.6一元一次不等式组培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A．13 B．18 C．21 D．26
2．点P（x﹣2，x+1）在第二象限，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1＜x＜2 D．x＞2
3．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（　　）
A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
4．我们用[a]来表示不大于a的最大整数．例如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]+4＝1，则x的取值范围是（　　）
A．﹣3≤x＜﹣2 B．﹣3≤x≤﹣2 C．﹣3＜x≤﹣2 D．﹣3＜x＜﹣2
5．若关于x，y的方程组的解满足x为正数，y为负数，则k的取值范围（　　）
A．k＞8 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4 D．﹣4＜k＜8
6．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（　　）
A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0≤m＜1 D．0＜m≤1
7．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（　　）
A．a＜4 B．a＝4 C．a≤4 D．a≥4
8．已知关于x，y的方程组的解都是正数，m+n＝5，p＝2m﹣4n﹣10，则p的取值范围为（　　）
A．p＜﹣42 B．ρ＞﹣42 C．p＜﹣24 D．p＞﹣24
9．若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为y人，宿舍间数为x间，下列选项正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如果关于x，y的不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
11．若关于x，y的方程组的解满足不等式组，则满足条件的m的整数值是（　　）
A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，﹣3 D．﹣2，3
12．关于x的不等式组的解集为4＜x＜5，则a、b的值是（　　）
A． B．
C． D．
13．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A．a＜4 B．a＝4 C．a≤4 D．a≥4
二、填空题
14．关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是 　 　．
15．若2x＝8y+16＝4z，且x＞0，y≥﹣1，z＜8，设b＝y+z﹣x，且b为整数，求b所有可能值的和 　 　．
16．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于x的方程2+a＝3（4﹣x）有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　．
17．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　 　．
三、解答题
18．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣5|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1．
18．某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
第一次 第二次
甲品牌耳机（个） 20 30
乙品牌耳机（个） 40 50
总费用（元） 10800 14600
（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
19．某中学为落实体育中考的要求，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元．
（1）求篮球和足球的单价分别是每个多少元？
（2）学校计划采购篮球，足球共100个，并要求篮球个数不超过足球个数的三倍，且总费用不超过8300元．求有几种购买方案？（不要求写出具体方案）
（3）购买时发现，每个篮球上涨了a元，足球价格不变，在（2）的条件下，最低费用需8625元，请直接写出a的值．
20．定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”．
只要其中任意两个代数式的和大于第三个代数式；
满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数．
例如：若三个代数式A，B和C构成关于x的不等式满足A+B＞C且解集为x＞2，则称A，B和C构成“和谐不等式”．
（1）判断代数式A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2是否构成“和谐不等式”？请说明理由．
（2）若A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”，则m＝　 　．
（3）若A＝ax+a，B＝﹣bx，C＝2b构成“和谐不等式”，求关于x的一元一次不等式组的解集．
21．某商店购进甲，乙两种商品，若购进甲种商品5件和乙种商品6件，共需950元；若购进甲种商品3件和乙种商品2件，共需450元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若商店计划甲商品每件售价130元，乙商品每件售价95元，根据市场需求，购进的乙商品数量比购进的甲商品数量的2倍还多4件，且乙商品最多可购进40件，销售完后总利润不低于1200元，共有多少种进货方案？
（3）为减少库存，采取优惠活动，现决定购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品售价下调a元（5≤a≤15），乙种商品售价保持原价．若该商店保持甲、乙两种商品进价不变，并且该商店无论如何进货，甲乙两种商品销售总利润不变，求出a的值．
22．定义运算：f（x，y）＝ax+by．已知f（2，3）＝7，f（3，4）＝10．
（1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若关于x的不等式组无解，求t的取值范围；
（3）若f（mx+3n，2m﹣nx）≥3m+4n的解集为，求不等式：f（mx﹣m，3n﹣nx）＞m+n的解集．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：，
解得，
∵关于x的不等式组最多有2个整数解，
∴或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，
∴，
解得k＜8；
解3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7，
得y＝10﹣2k，
∵方程的解为非正数，
∴10﹣2k≤0，
解得k≥5，
综上：5≤k＜8，
符合条件的k的整数值为：5，6，7，和为5+6+7＝18；
故选：B．
2．【解答】解：∵点P（x﹣2，x+1）在第二象限，
∴，
解得﹣1＜x＜2，
故选：C．
3．【解答】解：，
①+②得：4x+4y＝k+4，
即x+y，
由题意可得01，
即，
解得：﹣4＜k＜0，
所以k的取值范围是﹣4＜k＜0．
故选：A．
4．【解答】解：由题知，
因为[a]表示不大于a的最大整数，
所以a﹣1＜[a]≤a．
因为[x]+4＝1，
所以[x]＝﹣3，
则x﹣1＜﹣3≤x．
由x﹣1＜﹣3得，
x＜﹣2，
又因为x≥﹣3，
所以﹣3≤x＜﹣2．
故选：A．
5．【解答】解：，
解得：，
∵x为正数，y为负数，
∴，
解得：k＞8，
故选：A．
6．【解答】解：，
解不等式①可得x＞m，
解不等式②可得x≤3，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为m＜x≤3，
∵该不等式组恰好有三个整数解，
∴整数解为1，2，3，
∴0≤m＜1．
故选：C．
7．【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组的解集为x＜4，
∴a≥4．
故选：D．
8．【解答】解：解方程组得，
∵方程组的解都是正数，
∴，
解得m＞1，
∵m+n＝5，即n＝5﹣m，
∴p＝2m﹣4（5﹣m）﹣10
＝2m﹣20+4m﹣10
＝6m﹣30，
则6m＞6，
∴6m﹣30＞﹣24，
∴p＞﹣24，
故选：D．
9．【解答】解：设学生人数为y人，宿舍间数为x间，
根据题意可得，学生的总人数为y＝4x+19，
如果每间住6人，那么还有一间不空不满，
则，
整理得，
故选：B．
10．【解答】解：由x+3＜3x﹣1得，x＞2；
由于②的解集为x＞m，
只有当m≤2时，不等式组的解集才能为x＞2，
故m≤2．
故选：D．
11．【解答】解：，
②﹣①×2，得7y＝4，
解得y，
把y代入①，得x＝m，
将代入不等式组，得，
即，
解得﹣4＜m，
则m的整数值为﹣3或﹣2．
故选：C．
12．【解答】解：，
解不等式①得：x，
解不等式②得：x，
所以不等式组的解集是x，
∵关于x的不等式组的解集为4＜x＜5，
∴，
解得：．
故选：A．
13．【解答】解：，
由①得，x＞4，
∵不等式组无解，
∴a≤4．
故选：C．
二、填空题
14．【解答】解：解5x﹣2＜4x+1得：x＜3，
∵关于x的不等式组的整数解仅有4个，
∴﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故答案为：﹣5≤m＜﹣4．
15．【解答】解：∵2x＝8y+16＝4z，
∴x＝4y+8，z＝2y+4，
∴b＝y+z﹣x＝y+2y+4﹣4y﹣8＝﹣y﹣4，
∴y＝﹣b﹣4，
∵x＞0，y≥﹣1，z＜8，
∴，
解得﹣1≤y＜2，
∴﹣1≤﹣b﹣4＜2，
解得﹣6＜b≤﹣3，
∵b为整数，
∴b的值为﹣5或﹣4或﹣3，
∴b所有可能值的和为﹣5﹣4﹣3＝﹣12．
故答案为：﹣12．
16．【解答】解：解不等式1（x﹣1）得：x≥﹣3，
解不等式2x﹣a≤3（1﹣x），得：x，
则不等式组的解集为﹣3≤x，
∵不等式组只有三个整数解，即整数解为﹣3、﹣2、﹣1，
∴﹣10，
解得﹣8≤a＜﹣3，
解方程2+a＝3（4﹣x）得x，
∵方程有整数解，
∴a＝﹣8或﹣5，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣8+（﹣5）＝﹣13．
故答案为：﹣13．
17．【解答】解：由2x﹣3≥0得：x，
由x≤m且不等式组无解，知m，
故答案为：m．
三、解答题
18．【解答】解：（1）解方程组得：，
∵x为非正数，y为负数，
∴，
解得﹣2＜m≤3；
（2）∵﹣2＜m≤3，
∴m﹣5＜0，m+2＞0，
则原式＝5﹣m﹣m﹣2＝3﹣2m
（3）由不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1，知2m+1＜0；
所以，
又因为﹣2＜m≤3，
所以，
因为m为整数，
所以m＝﹣1．
19.【解答】解：（1）设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，
根据题意得：，
即，
解得：．
答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元；
（2）设第三次购进m个甲品牌耳机，则购进（200﹣m）个乙品牌耳机，
根据题意得：，
解得：30≤m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多能购进50个甲品牌耳机．
20．【解答】解：（1）设篮球的单价是x元/个，足球的单价是y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价是80元/个，足球的单价是90元/个；
（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，
根据题意得：，
解得：70≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以为70，71，72，73，74，75，
∴共有6种购买方案．
答：共有6种购买方案；
（3）当0＜a＜10时，篮球的单价低于足球的单价，
∴购买75个篮球时，费用最低，
∴75（80+a）+90×25＝8625，
解得：a＝5；
当a≥10时，篮球的单价不低于足球的单价，
∴购买70个篮球时，费用最低，
∴70（80+a）+90×30＝8625，
解得：a（不符合题意，舍去）．
答：a的值为5．
21．【解答】解：（1）A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2可以构成“和谐不等式”，
∵x﹣4+x+2＞2，即2x﹣2＞2的解集为x＞2，
∴A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2可以构成“和谐不等式”，
（2）∵A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”，
①当2x+m+x＞3m+2时，则x，
∴x＞2
∴2，
∴m＝2．
②当2x+m+3m+2＞x时，则x＞﹣4m﹣2，
∵x＞2，
∴﹣4m﹣2＝2，
∴m＝﹣1．
③x+3m+2＞2x+m时，则x＜2m+2，此时与定义不符，舍去．
综上，m的值为﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
（3）①当ax+a﹣bx＞2b时，则（a﹣b）x＞2b﹣a，
∵x＞2，
∴，
解得：，
代入得：﹣2＜x．
②当ax+a+2b＞﹣bx时，则（a+b）x＞﹣a﹣2b，
∵x＞2，
∴，
解得：，
代入得：，
∴无解．
③当﹣bx+2b＞ax+a时，则（a+b）x＜2b﹣a，
∵x＞2，
∴，
解得：a＝0，
∴不成立．
综上：﹣2＜x．
22．【解答】解：（1）设每件甲种商品的进价是x元，每件乙种商品的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件甲种商品的进价是100元，每件乙种商品的进价是75元；
（2）设购进m件甲种商品，则购进（2m+4）件乙种商品，
根据题意得：，
解得：16≤m≤18，
又∵m为正整数，
∴m可以为16，17，18，
∴共有3种进货方案；
（3）设购进n件甲种商品，该商店销售完两种商品后获得的总利润为w元，则购进（100﹣n）件乙种商品，
根据题意得：w＝（130﹣a﹣100）n+（95﹣75）（100﹣n），
即w＝（10﹣a）n+2000，
∵w的值与n值无关，
∴10﹣a＝0，
解得：a＝10．
答：a的值为10．
23．【解答】解：（1）把f（2，3）＝7，f（3，4）＝10代入f（x，y）＝ax+by，得：，
解得：；
故答案为：2，1；
（2）根据题意得：，
解得：t≤﹣20；
（3）根据题意得：2（mx+3n）+2m﹣nx≥3m+4n，
整理得：（2m﹣n）x≥m﹣2n，
∵此不等式解集为x，
∴2m﹣n＜0，且，
整理得：m＝5n（m≠0，n≠0），
所求不等式化简得：2（mx﹣m）+3n﹣nx＞m+n，即（2m﹣n）x＞3m﹣2n，
把m＝5n代入得：9nx＞13n，
解得：x．