4.3公式法培优练习（含解析）

4.3公式法培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（　　）
A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1
3．我们定义：一个整式能表示成a2+b2（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x、y是整式），所以M为“完全式”．若S＝x2+4y2﹣8x+12y+k（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（　　）
A．23 B．24 C．25 D．26
4．已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（　　）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
5．已知x，y，z都是正整数，其中x＞y，且x2﹣xz﹣xy+yz＝23，设a＝x﹣z，则[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（　　）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
6．已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，则它的形状为（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7．已知x2+3x﹣12＝0，则代数式x3﹣21x+5的值是（　　）
A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣41
8．已知a﹣b＝5，且c﹣b＝10，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac等于（　　）
A．105 B．100 C．75 D．50
9．若x2﹣3x＝1，则代数式x4﹣6x3+9x2+2024的值是（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
10．若a、b、c是△ABC的三边，且满足a2﹣10a+b2﹣24b169＝0，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
11．已知a+b＝3，a3+b3＝9，则a7+b7＝（　　）
A．129 B．225 C．125 D．675
12．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝30，y＝20，用上述方法产生的密码不可能是（　　）
A．301050 B．103020 C．305010 D．501030
13．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．2 B．5 C．20 D．9
二、解答题
14．因式分解：
（1）2x2﹣2；
（2）﹣4ax2+8axy﹣4ay2．
15．因式分解：
（1）x3y+2x2y+xy；
（2）a2（1﹣b）+b2（b﹣1）．
16．先阅读下面材料，再解决问题：
已知x2+bx+c＝0．在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c．就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．
例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x2（x+4）的值．
解：∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4．
∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8．
∴x2（x+4）＝8．
请用“降次代换法”，完成下列各小题：
（1）若x2+x﹣15＝0，则代数式（x+4）（x﹣3）的值为 　 　．
（2）若x2+5x+1＝0，则代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为 　 　．
（3）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3+12x2+8x+3的值．
17．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式：　 　．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
18．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2﹣2xy+y2﹣25＝（x2﹣2xy+y2）﹣25＝（x﹣y）2﹣52＝（x﹣y﹣5）（x﹣y+5），
②拆项法：
例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式；
①用分组分解法：x2+2x﹣y2+1；
②用拆项法：x2﹣4x+3；
（2）已知：a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周长．
19．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 　 　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．
（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．
20．分解因式：
（1）x2﹣3x﹣4；
（2）mx2﹣6mxy+8my2；
（3）x2﹣y2﹣4x+4；
（4）x2﹣2xy+y2﹣4x+4y+4．
参考答案
1．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
即△ABC的是等腰三角形．
故选：A．
2．【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，
∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故选：B．
3．【解答】解：S＝x2﹣8x+16+4y2+12y+9+k﹣25＝（x﹣4）2+（2y+3）2+k﹣25，
∵S＝x2+4y2﹣8x+12y+k（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，
∴k﹣25＝0，
解得：k＝25，
故选：C．
4．【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a3﹣a2﹣8a+4
＝2a a2﹣a2﹣8a+4
＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4
＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4
＝3a2﹣6a+4
＝3（a2﹣2a）+4
＝3×1+4
＝7．
故选：B．
5．【解答】解：x2﹣xz﹣xy+yz＝23，
x2﹣xz﹣xy+yz＝23，
x（x﹣z）﹣y（x﹣z）＝23，
（x﹣y）（x﹣z）＝23，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∵x，y，z都是正整数，
∴x﹣z＝1，x﹣y＝23或x﹣z＝23，x﹣y＝1，
∴a＝x﹣z＝1或23，
[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a
＝（3a2+6a﹣a﹣2﹣5a+2）÷a
＝3a2÷a
＝3a，
∵a＝x﹣z，
∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a
＝3a
＝3（x﹣z），
当x﹣z＝1时，3a＝3，
当x﹣z＝23时，3a＝69，
∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝3或69，
故选：C．
6．【解答】解：∵（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a2﹣b2＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a2＝b2或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
7．【解答】解：∵x2+3x﹣12＝0，
∴x2+3x＝12，
∴x3+3x2＝12x即x3＝12x﹣3x2，
∴x3﹣21x+5＝12x﹣3x2﹣21x+5＝﹣3（x2+3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣31．
故选：B．
8．【解答】解：∵a﹣b＝5，c﹣b＝10
∴a﹣c＝﹣5
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2][52+（﹣10）2+（﹣5）2]＝75
故选：C．
9．【解答】解：∵x2﹣3x＝1，
∴（x2﹣3x）2＝12，
∴x4﹣6x3+9x2＝1，
∴x4﹣6x3+9x2+2024＝1+2024＝2025，
故选：C．
10．【解答】解：a2﹣10a+b2﹣24b169＝0，
（a﹣5）2+（b﹣12）20，
可得a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，即a＝5，b＝12，c＝13，
∵52+122＝132，
则三角形形状为直角三角形．
故选：D．
11．【解答】解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9，
∴a2+b2＝9﹣2ab，
∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[（a+b）2﹣3ab）]＝9，
∴ab＝2．
联立解得，
或，
∴a7+b7＝17+27＝129或a7+b7＝27+17＝129，
∴a7+b7＝129；
故选：A．
12．【解答】解：x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y），
当x＝30，y＝20时，
x＝30，x+y＝50，x﹣y＝10，
∴组成的密码应包含30，50，10，
∴不能组成的密码为103020．
故选：B．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题关键．
13．【解答】解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，
（a+b）2﹣c2＝10，
（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，
∵a+b+c＝5，
∴5（a+b﹣c）＝10，
解得a+b﹣c＝2．
故选：A．
二、解答题
14．【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣1）
＝2（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝﹣4a（x2﹣2xy+y2）
＝﹣4a（x﹣y）2．
15．【解答】解：（1）x3y+2x2y+xy
＝xy（x2+2x+1）
＝xy（x+1）2；
（2）a2（1﹣b）+b2（b﹣1）
＝a2（1﹣b）﹣b2（1﹣b）
＝（1﹣b）（a2﹣b2）
＝（1﹣b）（a+b）（a﹣b）．
16．【解答】解：（1）（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣12，
∵x2+x﹣15＝0，
∴x2＝15﹣x，
∴x2+x﹣12＝15﹣x+x﹣12＝15﹣12＝3，
∴代数式（x+4）（x﹣3）的值为3．
故答案为：3；
（2）∵x2+5x+1＝0，
∴x2＝﹣5x﹣1
x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）
＝x（﹣5x﹣1+5x）+x2+6x﹣7
＝﹣x+（﹣5x﹣1）+6x﹣7
＝﹣6x+6x﹣7﹣1
＝﹣8，
∴代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为﹣8．
故答案为：﹣8；
（3）∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
2x4+8x3+12x2+8x+3
＝2（1﹣2x）2+8x（1﹣2x）+12x2+8x+3
＝2（1﹣4x+4x2）+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝2﹣8x+8x2+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝5+4x2+8x
＝5+4（1﹣2x）+8x
＝5+4﹣8x+8x
＝9，
∴2x4+8x3+12x2+8x+3的值为9．
17．【解答】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝121﹣76
＝45．
18．【解答】解：（1）①x2+2x﹣y2+1
＝x2+2x+1﹣y2
＝（x+1）2﹣y2
＝（x+1+y）（x+1﹣y）；
②x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1
＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）；
（2）a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0
a2﹣4ab+4b2+b2﹣6b+9+c2﹣10c+25＝0
∴（a﹣2b）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，
∴b＝3，c＝5，a＝6，
∴△ABC的周长为3+5+6＝14．
19．【解答】解：（1）∵正方形面积为（a+b+c）2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴由面积相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）由（1）可知2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36；
∴2（ab+bc+ac）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）＝100﹣36＝64，
∴．
（3）由题意知，BC＝2a，DE＝3a，EH＝CF＝b，EF＝CD+CF﹣DE＝x+b﹣3a，
∵S＝S长方形ABCD﹣S长方形EFGH，
∴S＝CD BC﹣EH EF＝x 2a﹣b （x+b﹣3a），
即S＝2ax﹣bx﹣b2+3ab＝（2a﹣b）x﹣b2+3ab，
又∵S为定值，
∴2a﹣b＝0，即b＝2a．
20．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）；
（2）mx2﹣6mxy+8my2
＝m（x2﹣6xy+8y2）
＝m（x﹣2y）（x﹣4y）；
（3）x2﹣y2﹣4x+4
＝（x2﹣4x+4）﹣y2
＝（x﹣2）2﹣y2
＝（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）；
（4）x2﹣2xy+y2﹣4x+4y+4
＝（x2﹣2xy+y2）﹣（4x﹣4y）+4
＝（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4
＝（x﹣y﹣2）2．