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第八章 实数
8.1 平方根（第一课时）
1.了解平方根的概念，掌握平方根的特征。
2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根。
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)，R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m).
怎样求v呢
这就要用到平方根的概念.
随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长度值不是有理数，这就需要引入一种新的数——无理数。实际中对第二宇宙速度等的计算也要用到无理数。
我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方。反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？
思考1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
因为32=9，所以这个数可以是3，又因为 (-3)2=9，所以这个数也可以是-3。
除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9。
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3。
填写下表：
x2 1 16 36 49
x ±1 ±4 ±6 ±7 ±
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根.
即：x2＝a，那么x叫做a的平方根或二次方根。
例：3和-3是 9的平方根，简记±3是9的平方根.
求平方
求平方根
平方
开平方
互逆 运算
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。
例1：求下列各数的平方根。
（1）64； （2）； （3）0.01
解:（1）因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8 ；
（2）因为 (±)2＝ ，所以 的平方根是±；
（3）因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1 ．
负数没有平方根.
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是 0；
思考2：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
任何一个数的平方都是非负数，所以负数没有平方根.
正数a的正的平方根记为“ ”；读作“根号a”，a叫作被开方数；
正数a的负的平方根，可以用 ”- ”表示，
故正数a的平方根可以用”± ”表示，
读作 “正、负根号a”．
例如，± 表示9的平方根， ± ＝±3，
特别地，0的平方根记为
为相反数
注意：有当a ≥0时，有意义，而当a<0时，无意义。
例2：下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2)﹣5； (3) (﹣4)2； (4)； (5) 13
解：(1) 因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6；
(2) 因为-5是负数，所以-5没有平方根；
(3) 因为( -4 )2 = 16是正数，所以 ( -4 )2有两个平方根，
±=±=±4.
例2：下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2)﹣5； (3) (﹣4)2； (4)； (5) 13
解：(4) 因为 = 是正数，所以有两个平方根，
±= ±=± ；
(5) 因为13是正数，所以13有两个平方根是±.
求一个数的平方根，注意三点免出错
（1）求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把负的平方根遗漏．
（2）如果被开方数为带分数，要先把它化成假分数．
（3）若一个正数 a 不能写成一个数的平方的形式，则可以将 a 的平方根表示为±．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列说法正确的是（ ）
A．一个数的平方根一定有两个
B．任何非负数都有两个平方根
C．没有平方根的数一定是负数
D．一个数的平方根一定小于这个数本身
C
【知识技能类练习】必做题：
2．用等式表示“的平方根等于”，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．求下列各式中的值：
(1)； (2)．
解：（1），
，
∴，
即；
（2），
，
，
即，
∴或．
【知识技能类练习】选做题：
4．若与是同一个正数的平方根，则a的值为 ．
1或5
解：∵与是同一个正数的平方根，则两式互为相反数或两式相等，
或，
或
【综合拓展类练习】
5．如下图，将一个棱长为的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为、宽是高的2倍的长方体容器里．求长方体容器的高．
解：设长方体容器的高为，则宽为．
依题意，得，
解得．
故长方体容器的高为．
平方根
平方根的表示
平方根的相关概念
平方与开平方的关系
平方根的性质
【知识技能类作业】必做题：
1．已知正数的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．下列式子中，无意义的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
3．解方程：
(1)； (2)．
解：（1），
，
解得：；
（2），
，
，
解得：，．
【知识技能类作业】选做题：
4．已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数．
解：和是同一个正数的两个平方根，
，
解得，
则，，
这个正数为．
【综合拓展类作业】
5．如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是，求原正方形铁皮的边长．
解：从四个顶点处分别剪掉一个面积为25的正方形，
剪掉的正方形边长为5，
设原来正方形的边长为 ，
由题意可得：，
，
，
解得：或（不合题意，舍去），
原来正方形的边长为16．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 8.1 平方根（第一课时） 单元 第八章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1.了解平方根的概念，掌握平方根的特征。 2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根。
重点 掌握平方根的概念并会求一个数的平方根。
难点 认识和会表示一个数的平方根。
探究过程
导入新课 【引入思考】 阅读：当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)，R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m). 怎样求v呢 这就要用到平方根的概念. 随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长度值不是有理数，这就需要引入一种新的数——无理数。实际中对第二宇宙速度等的计算也要用到无理数。
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助平方运算，研究平方根。 问题：我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方。反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？ 思考1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 解：因为32=___，所以这个数可以是____， 又因为 (___)2=9，所以这个数也可以是____。 除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于____。 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是____或____。 填写下表： x21163649x
归纳：一般地，如果一个数x的_____等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的______或________. 即：x2＝a，那么____叫做______的平方根或二次方根。 例：3和-3是 9的平方根，简记_____是9的平方根. 填图： 归纳：求一个数a的________的运算，叫做开平方。 平方和开平方互为____运算 根据这种互逆关系，可以求一个数的________. 例1：求下列各数的平方根。 （1）64； （2）； （3）0.01 思考2：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 归纳：正数有_____个平方根，它们互为________；0 的平方根是_____；负数______平方根. 注意：任何一个数的平方都是________，所以负数没有_______. 正数a的正的平方根记为“ ”；读作“根号a”，a叫作________； 正数a的负的平方根，可以用“________ ”表示， 故正数a的平方根可以用“________ ”表示，读作 “正、负根号a”． 例如，±表示_____的平方根， ±＝______， 特别地，0的平方根记为 (1)为相反数 (2)有当a ≥0时，____意义，而当a<0时，____意义。 例2：下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36；(2)﹣5；(3) (﹣4)2；(4)；(5)13 归纳：求一个数的平方根，注意三点免出错 （1）求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把_____的平方根遗漏． （2）如果被开方数为带分数，要先把它化成______分数． （3）若一个正数 a 不能写成一个数的平方的形式，则可以将a的平方根表示为______．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列说法正确的是（ ） A．一个数的平方根一定有两个 B．任何非负数都有两个平方根 C．没有平方根的数一定是负数 D．一个数的平方根一定小于这个数本身 2．用等式表示“的平方根等于”，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 选做题： 4．若与是同一个正数的平方根，则a的值为 ． 【综合拓展类练习】 5．如下图，将一个棱长为的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为、宽是高的2倍的长方体容器里．求长方体容器的高．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知正数的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（ ） A． B． C． D． 2．下列式子中，无意义的是（ ） A． B． C． D． 3．解方程： (1)； (2)． 选做题： 4．已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 【综合拓展类作业】 5．如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是，求原正方形铁皮的边长．
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分课时教学设计
第一课时《 8.1 平方根（第一课时） 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要内容是平方根的概念和性质。是在学生学习了有理数以及有理数乘方的基础上来学习平方根，之前的有理数乘方的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础，更利于学生找出一个正数的两个平方根.它不仅是对前面所学知识的巩固，也为后面算术平方根的学习奠定了基础。
学习者分析 本节课的学习是建立有理数乘方学习的基础上，由具体数字引入，让学生更加清晰深刻地理解平方根的定义。本节课学生学习的困难之处在于能表示一个数的平方根，理解平方根，正的平方根，负的平方根表示的区别，能在具体题目中理解“±”、“”、“-”这三种所代表的不一样的意义。
教学目标 1.了解平方根的概念，掌握平方根的特征。 2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根。 3.经历探索平方根的概念的过程，感受平方根的求法。 4.学生经历由特殊到一般，培养学生观察，归纳，类比的能力，培养学生的分类能力和合作能力，体会数系扩张的实际应用价值。
教学重点 掌握平方根的概念并会求一个数的平方根。
教学难点 认识和会表示一个数的平方根。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.了解平方根的概念，掌握平方根的特征。 2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 播放视频：《5分钟带你看天问一号从发射到着陆全过程》 引言：当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)，R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m). 追问：怎样求v呢 这就要用到平方根的概念. 随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长度值不是有理数，这就需要引入一种新的数——无理数。实际中对第二宇宙速度等的计算也要用到无理数。学生活动2： 学生认真观看视频，并听老师的讲解活动意图说明： 用熟悉的情景问题吸引学生的注意力，激发学生学习的兴趣，并培养学生爱国主义情感。环节三：新知讲解教师活动3： 设问：我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方。反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？ 思考1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 预设：因为32=9，所以这个数可以是3，又因为 (-3)2=9，所以这个数也可以是-3。 除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9。 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3。 填写下表： x21163649x
答案： x21163649x±1±4±6±7±
归纳：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根. 即：x2＝a，那么x叫做a的平方根或二次方根。 例：3和-3是 9的平方根，简记±3是9的平方根. 填图： 答案： 指出：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 追问：左右两图中的运算有什么关系？ 答案：互为逆运算 指出：根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根. 例1：求下列各数的平方根。 （1）64； （2）； （3）0.01 解:（1）因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8 ； （2）因为 (±)2＝ ，所以 的平方根是±； （3）因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1 ． 思考2：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0； 负数没有平方根. 强调：任何一个数的平方都是非负数，所以负数没有平方根. 讲解：正数a的正的平方根记为“ ”；读作“根号a”，a叫作被开方数； 正数a的负的平方根，可以用 ”- ”表示， 故正数a的平方根可以用”± ”表示， 读作 “正、负根号a”． 例如，± 表示9的平方根， ± ＝±3， 特别地，0的平方根记为 注意：为相反数 有当a ≥0时，有意义，而当a<0时，无意义。 例2：下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36；(2)﹣5；(3) (﹣4)2；(4)；(5)13 解：(1) 因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6； (2) 因为-5是负数，所以-5没有平方根； (3) 因为( -4 )2 = 16是正数，所以 ( -4 )2有两个平方根， ±=±=±4. (4) 因为 = 是正数，所以有两个平方根， ±= ±=± ； (5) 因为13是正数，所以13有两个平方根是±. 归纳：求一个数的平方根，注意三点免出错 （1）求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把负的平方根遗漏． （2）如果被开方数为带分数，要先把它化成假分数． （3）若一个正数 a 不能写成一个数的平方的形式，则可以将 a 的平方根表示为±．学生活动3： 学生认真观察、思考、动手操作、计算，然后小组合作探究，班内汇报，然后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过活动，层层深入，让学生自主探究平方根的概念，开平方运算，平方根的表示方法，并掌握用平方和开平方的互逆运算关系求一个非负数的平方根，掌握平方根的性质。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：8.1 平方根（第一课时）一、平方根的概念 二、平方根的性质 三、平方根的表示方法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列说法正确的是（ ） A．一个数的平方根一定有两个 B．任何非负数都有两个平方根 C．没有平方根的数一定是负数 D．一个数的平方根一定小于这个数本身 答案：C 2．用等式表示“的平方根等于”，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 解：（1）， ， ∴， 即； （2）， ， ， 即， ∴或． 选做题： 4．若与是同一个正数的平方根，则a的值为 ． 答案：1或5 解：∵与是同一个正数的平方根，则两式互为相反数或两式相等， 或， 或， 故答案为：1或5． 【综合拓展类练习】 5．如下图，将一个棱长为的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为、宽是高的2倍的长方体容器里．求长方体容器的高． 解：设长方体容器的高为，则宽为． 依题意，得， 解得． 故长方体容器的高为．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知正数的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．下列式子中，无意义的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．解方程： (1)； (2)． 解：（1）， ， 解得：； （2）， ， ， 解得：，． 选做题： 4．已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 答案：， 解：和是同一个正数的两个平方根， ， 解得， 则，， 这个正数为． 【综合拓展类作业】 5．如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是，求原正方形铁皮的边长． 解：从四个顶点处分别剪掉一个面积为25的正方形， 剪掉的正方形边长为5， 设原来正方形的边长为 ， 由题意可得：， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 原来正方形的边长为16．
教学反思 本课通过具体实例展示平方运算与平方根的逆运算关系，将抽象的平方根概念直观化，契合学生认知规律，助力学生理解，为后续学习筑牢基础，培养逻辑思维与解题能力。教学着重让学生领悟概念本质与实际应用，而非单纯记忆定义。 在教学中运用启发式教学法，设计层次分明的问题链，引导学生自主探索、合作交流，归纳平方根的性质，如非负性，锻炼逻辑推理与独立思考能力。在课堂组织上，借助小组讨论、同伴互评，促进学生互动交流与合作学习，让学生都能表达见解、解决疑惑，提升整体学习效果。同时把控课堂节奏，关注个体差异，兼顾不同层次学生需求，适时调整讲解速度与难度，给予针对性辅导与反馈。
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