浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题
1．（2024高二上·奉化期末）若直线过点（1，2），（2，2+ ），则此直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·奉化期末）空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·奉化期末）在等差数列中，已知则等于（ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
4．（2024高二上·奉化期末）已知正四棱柱中，，则到平面的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（2024高二上·奉化期末）已知离心率为2的双曲线，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，设、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·奉化期末）已知是数列的前n项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·奉化期末）已知，，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·奉化期末）已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·奉化期末）下列结论正确的是（ ）
A．直线的方向向量，平面的法向量，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数
D．若，，，则点在平面内
10．（2024高二上·奉化期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．若，则直线的斜率为1
11．（2024高二上·奉化期末）已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（ ）
A．若是等比数列，则
B．若满足，则
C．若满足，则
D．若满足，则
12．（2024高二上·奉化期末）已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在处取得极大值
C．当时，
D．的图象关于点中心对称
13．（2024高二上·奉化期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则 .
14．（2024高二上·奉化期末）点 到直线 距离的最大值 .
15．（2024高二上·奉化期末）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 .
16．（2024高二上·奉化期末）已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等式的解集为 ．
17．（2024高二上·奉化期末）已知圆的圆心为，且与直线相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆M交于A，B两点，求.
18．（2024高二上·奉化期末）已知等差数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
19．（2024高二上·奉化期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
（1）证明：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
20．（2024高二上·奉化期末）牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入 ()
21．（2024高二上·奉化期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
22．（2024高二上·奉化期末）已知椭圆离心率等于，长轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】 直线过点
直线的斜率
则直线的倾斜角 满足
，
故答案为：
【分析】根据点的坐标求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角.
2．【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由、可得，
故.
故答案为：C.
【分析】由点为中点结合中点坐标公式可得点坐标，再结合空间两点距离公式，从而得出点到的中点的距离.
3．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】在等差数列中，则。所以由及通项公式得，公差d=3得，所以=3=3（)=42，故选B.
【分析】简单题，在等差数列中，则。
4．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：设，连接，
由题意可知，是中点，∴，
又因为，，平面，
所以平面，
作于点，如图，
则平面，∴，
因为，平面，
所以平面，
在正四棱柱中，侧棱与底面垂直，
则必垂直该底面上的直线，
在中，，，
因此，
所以，
所以到平面的距离为．
故答案为：D．
【分析】设，作于点，利用等腰三角形三线合一证出线线垂直，再利用线线垂直证出直线平面，利用正四棱柱的结构特征得出线面垂直，则由线面垂直的定义证出线线垂直，再结合勾股定理和对应边成比例，从而得出点到平面的距离.
5．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设右焦点，
依题意，F是AB的中点，渐近线为，
F到渐近线的距离为 ，
因为、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，F是AB的中点，
所以，所以，故，得 ，
又因为离心率，得，
故双曲线的方程为.
故答案为：A.
【分析】先将、到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，从而得到b值，再根据双曲线的离心率公式结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出a的值，进而得到双曲线的标准方程.
6．【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的应用
【解析】【解答】因为，所以当时，.因为，所以.当时，
，两式相减得.因为，
所以.因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，
所以，所以
所以，，
所以.
故答案为：
【分析】由，得到，两式相减得，进而得到得到数列从第二项起是公比为的等比数列，求得数列的通项公式，得到，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，，，
，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较，
设，则，
当时，；当时，；当时，，
在上，单调递减，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较，再构造函数，则求导判断出函数的单调性，从而判断出a，b，c的大小．
8．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题可知，
即，，
在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得：，
即，整理得，
易得面积，
又因为的内切圆的半径为，利用等面积法可知：，
所以，
由，得，
则，即，
在中，利用正弦定理知，
即，
又因为，整理得，
两边同除以，则，解得或（舍去）.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出向量夹角的值，再利用椭圆的定义和余弦定理以及三角形的面积公式，从而得出的面积，由等面积法得出的内切圆的半径，则根据和正弦定理以及椭圆中a，b，c三者的关系式，进而由椭圆的离心率公式得出答案.
9．【答案】B,D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：对于A：因为，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，因此，故B正确；
对于C：因为，所以，因此，即，故C错误；
对于D：因为，所以向量共面，即点四点共面，
则点P在平面ABC内，故D正确.
故答案为：.
【分析】由可得，则判断出选项A；利用两向量垂直数量积为0的等价关系，证得，则可得，从而判断出选项B；由可得，解出的值，则可判断出选项C；利用共面向量的判断方法，从而证出共面，则可判断出点在平面内，进而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线：的焦点为，准线，设点，
对于A，显然在抛物线上，则，故A正确；
对于B，因为，
当且仅当时取等号，
当时，，则，
因此当时取得最小值5，故B不正确；
对于C，因为，线段AB的中点M纵坐标为，
则，显然点M是以线段为直径的圆的圆心，
则点M到直线的距离为，
所以圆M与直线相切，故C正确；
对于D，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，
由消去y得：，则，
由得：，则，解得，故D不正确.
故答案为：AC.
【分析】利用抛物线的标准方程求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出点A，B的坐标，再结合焦点弦公式判断出选项A；利用两点距离公式和几何法求出的最小值，则判断出选项B；利用过焦点的弦长公式和中点坐标公式以及直线与圆相切的位置关系判断方法，则判断出选项C；利用已知条件设出直线方程，再联立直线与椭圆方程结合韦达定理和向量共线的坐标表示，从而得出直线的斜率，进而得出直线AB方程，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由无穷数列的前3项分别为2，4，8，…
A、若是等比数列，则公比，故，故A正确；
BC、若满足，则，故B错，C正确；
D、若满足，则，
所以时，，
又因为适合上式，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件求得等比数列的通项公式即可判断A；根据数列的周期性计算即可判断BC；利用累加法求通项即可判断D．
12．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于A：因为，由题意，，得，故A正确；
对于B：，由得或，
易知在，上，为增函数；
在上，为减函数，
所以在处取得极大值，故B正确；
对于C：由选项B知：，，，
故在上的值域为，故C错误；
对于D：令且为奇函数，则，
又因为图象关于中心对称，所以关于中心对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由导数的几何意义求出参数a的值，则判断出选项A；利用导数判断函数的单调性，从而确定函数是否存在极大值，则判断出选项B；根据选项B判断区间内的端点值、极值，进而确定函数在区间上的值域，则判断出选项C；令，则，从而确定函数图象的对称中心，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
13．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为点为抛物线上一点，
所以，解得：，所以焦点，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和代入法得出p的值，从而求出抛物线标准方程，进而求出焦点坐标，再根据两点距离公式得出的值.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为直线 显然过点 ，即 ， ，
连接 ，若 ，则点 到直线 的距离为 ；
若 不垂直 ，则点 到直线 的距离 必小于 ，
综上，点 到直线 距离的最大值 .
故答案为： .
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求出点 到直线 距离的最大值。
15．【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，
，则，
故答案为：.
【分析】由题意可得，两边平方转化为向量的数量积运算求解即可．
16．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，故单调递减．因为为奇函数，定义域为，所以，故，
将转化为，即，
因为单调递减，所以，解得．
故答案为：．
【分析】设，由导数判断出函数的单调性，将转化为，则根据函数的单调性得出不等式的解集．
17．【答案】（1）解：因为圆心为，
所以圆心M到切线的距离= ，
所以半径，
所以圆M的标准方程为：+.
（2）解：由题可知圆心M到直线的距离= ，
又由（1）知半径，
所以=，
所以=．
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由圆心到切线的距离等于半径，从而求得圆的半径，进而得出圆的标准方程.
（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式，从而求出圆心到弦所在直线的距离，再由勾股定理求得弦长的值．
（1）因为圆心为，所以圆心M到切线的距离= ，所以半径，
所以圆M的标准方程为：+；
（2）由题可知圆心M到直线的距离= ，又由（1）知半径，
所以=，
所以=．
18．【答案】（1）解：设数列的公差为，
则，
解得，
所以.
（2）解：由（1）得，
则，
，
两式相减得：
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等差数列前项和公式，从而列出关于首项和公差的方程组，则解方程得出数列的通项公式.
（2）由（1）结合，从而得出数列的通项公式，再利用错位相减法求出数列的前n项和.
（1）设数列的公差为，则，
解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
，
两式相减得：
，
所以.
19．【答案】（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，得.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.（1）利用直线与平面垂直的性质可得：，利用勾股定理逆定理得可证明：，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角计算公式计算可得：，据此可求出结论；
（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，得.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为
20．【答案】（1）解：由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）解：设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即
令，则上式化为，
即，解得，
即，所以，，
即，所以，
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.
【知识点】换底公式及其推论；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等比数列求和公式，从而可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入的表达式.
(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，再结合(1)进行化简，则由换元法得出一元二次表达式，从而解不等式得出t的取值范围，再利用指数式与对数式的互化公式，则根据换底公式得出牧草销售总收入超过总投入至少经过的年数.
（1）由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，则上式化为，
即，
解得，即，所以，，
即，所以.
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.
21．【答案】（1）解：因为，所以，
①当时，在单调递减；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，，
要证明，只要证，即证，
设，则，
令得，列表得：
a 1
0
单调递减 极小值 单调递增
所以，即，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求得，再对进行分类讨论，则根据导数判断单调性的方法，从而求得的单调区间.
（2）将要证明的不等式转化为证明，再利用构造函数的方法结合导数，从而证出当时，不等式成立.
（1）因为，所以．
①当时，在单调递减；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，
要证明，只要证，即证，
设，则，令得，列表得
a 1
0
单调递减 极小值 单调递增
所以，即，所以．
22．【答案】（1）解：由题意得，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，
联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，
所以，即，
则，
，
由韦达定理代入可得：，
整理得，
又因为
则点到直线的距离，
所以，
把代入，则，
可得是定值1．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率公式、长轴的定义和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列出关于的方程组，再求解后得出椭圆的标准方程.
（2）设，联立直线方程和椭圆方程，整理后应用韦达定理得， 代入斜率乘积化简得出的关系，则由弦长公式计算弦长，再由点到直线距离公式求得三角形的高，则根据三角形的面积公式得出的面积是定值，并求出该定值．
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，
所以，即，
则，
，
，
把韦达定理代入可得：，
整理得，
又，
而点到直线的距离，
所以，
把代入，则，可得是定值1．
1 / 1浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题
1．（2024高二上·奉化期末）若直线过点（1，2），（2，2+ ），则此直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】 直线过点
直线的斜率
则直线的倾斜角 满足
，
故答案为：
【分析】根据点的坐标求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角.
2．（2024高二上·奉化期末）空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由、可得，
故.
故答案为：C.
【分析】由点为中点结合中点坐标公式可得点坐标，再结合空间两点距离公式，从而得出点到的中点的距离.
3．（2024高二上·奉化期末）在等差数列中，已知则等于（ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】在等差数列中，则。所以由及通项公式得，公差d=3得，所以=3=3（)=42，故选B.
【分析】简单题，在等差数列中，则。
4．（2024高二上·奉化期末）已知正四棱柱中，，则到平面的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：设，连接，
由题意可知，是中点，∴，
又因为，，平面，
所以平面，
作于点，如图，
则平面，∴，
因为，平面，
所以平面，
在正四棱柱中，侧棱与底面垂直，
则必垂直该底面上的直线，
在中，，，
因此，
所以，
所以到平面的距离为．
故答案为：D．
【分析】设，作于点，利用等腰三角形三线合一证出线线垂直，再利用线线垂直证出直线平面，利用正四棱柱的结构特征得出线面垂直，则由线面垂直的定义证出线线垂直，再结合勾股定理和对应边成比例，从而得出点到平面的距离.
5．（2024高二上·奉化期末）已知离心率为2的双曲线，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，设、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设右焦点，
依题意，F是AB的中点，渐近线为，
F到渐近线的距离为 ，
因为、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，F是AB的中点，
所以，所以，故，得 ，
又因为离心率，得，
故双曲线的方程为.
故答案为：A.
【分析】先将、到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，从而得到b值，再根据双曲线的离心率公式结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出a的值，进而得到双曲线的标准方程.
6．（2024高二上·奉化期末）已知是数列的前n项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的应用
【解析】【解答】因为，所以当时，.因为，所以.当时，
，两式相减得.因为，
所以.因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，
所以，所以
所以，，
所以.
故答案为：
【分析】由，得到，两式相减得，进而得到得到数列从第二项起是公比为的等比数列，求得数列的通项公式，得到，即可求解.
7．（2024高二上·奉化期末）已知，，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，，，
，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较，
设，则，
当时，；当时，；当时，，
在上，单调递减，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较，再构造函数，则求导判断出函数的单调性，从而判断出a，b，c的大小．
8．（2024高二上·奉化期末）已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题可知，
即，，
在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得：，
即，整理得，
易得面积，
又因为的内切圆的半径为，利用等面积法可知：，
所以，
由，得，
则，即，
在中，利用正弦定理知，
即，
又因为，整理得，
两边同除以，则，解得或（舍去）.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出向量夹角的值，再利用椭圆的定义和余弦定理以及三角形的面积公式，从而得出的面积，由等面积法得出的内切圆的半径，则根据和正弦定理以及椭圆中a，b，c三者的关系式，进而由椭圆的离心率公式得出答案.
9．（2024高二上·奉化期末）下列结论正确的是（ ）
A．直线的方向向量，平面的法向量，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数
D．若，，，则点在平面内
【答案】B,D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：对于A：因为，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，因此，故B正确；
对于C：因为，所以，因此，即，故C错误；
对于D：因为，所以向量共面，即点四点共面，
则点P在平面ABC内，故D正确.
故答案为：.
【分析】由可得，则判断出选项A；利用两向量垂直数量积为0的等价关系，证得，则可得，从而判断出选项B；由可得，解出的值，则可判断出选项C；利用共面向量的判断方法，从而证出共面，则可判断出点在平面内，进而找出结论正确的选项.
10．（2024高二上·奉化期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．若，则直线的斜率为1
【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线：的焦点为，准线，设点，
对于A，显然在抛物线上，则，故A正确；
对于B，因为，
当且仅当时取等号，
当时，，则，
因此当时取得最小值5，故B不正确；
对于C，因为，线段AB的中点M纵坐标为，
则，显然点M是以线段为直径的圆的圆心，
则点M到直线的距离为，
所以圆M与直线相切，故C正确；
对于D，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，
由消去y得：，则，
由得：，则，解得，故D不正确.
故答案为：AC.
【分析】利用抛物线的标准方程求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出点A，B的坐标，再结合焦点弦公式判断出选项A；利用两点距离公式和几何法求出的最小值，则判断出选项B；利用过焦点的弦长公式和中点坐标公式以及直线与圆相切的位置关系判断方法，则判断出选项C；利用已知条件设出直线方程，再联立直线与椭圆方程结合韦达定理和向量共线的坐标表示，从而得出直线的斜率，进而得出直线AB方程，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2024高二上·奉化期末）已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（ ）
A．若是等比数列，则
B．若满足，则
C．若满足，则
D．若满足，则
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由无穷数列的前3项分别为2，4，8，…
A、若是等比数列，则公比，故，故A正确；
BC、若满足，则，故B错，C正确；
D、若满足，则，
所以时，，
又因为适合上式，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件求得等比数列的通项公式即可判断A；根据数列的周期性计算即可判断BC；利用累加法求通项即可判断D．
12．（2024高二上·奉化期末）已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在处取得极大值
C．当时，
D．的图象关于点中心对称
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于A：因为，由题意，，得，故A正确；
对于B：，由得或，
易知在，上，为增函数；
在上，为减函数，
所以在处取得极大值，故B正确；
对于C：由选项B知：，，，
故在上的值域为，故C错误；
对于D：令且为奇函数，则，
又因为图象关于中心对称，所以关于中心对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由导数的几何意义求出参数a的值，则判断出选项A；利用导数判断函数的单调性，从而确定函数是否存在极大值，则判断出选项B；根据选项B判断区间内的端点值、极值，进而确定函数在区间上的值域，则判断出选项C；令，则，从而确定函数图象的对称中心，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
13．（2024高二上·奉化期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则 .
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为点为抛物线上一点，
所以，解得：，所以焦点，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和代入法得出p的值，从而求出抛物线标准方程，进而求出焦点坐标，再根据两点距离公式得出的值.
14．（2024高二上·奉化期末）点 到直线 距离的最大值 .
【答案】
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为直线 显然过点 ，即 ， ，
连接 ，若 ，则点 到直线 的距离为 ；
若 不垂直 ，则点 到直线 的距离 必小于 ，
综上，点 到直线 距离的最大值 .
故答案为： .
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求出点 到直线 距离的最大值。
15．（2024高二上·奉化期末）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，
，则，
故答案为：.
【分析】由题意可得，两边平方转化为向量的数量积运算求解即可．
16．（2024高二上·奉化期末）已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，故单调递减．因为为奇函数，定义域为，所以，故，
将转化为，即，
因为单调递减，所以，解得．
故答案为：．
【分析】设，由导数判断出函数的单调性，将转化为，则根据函数的单调性得出不等式的解集．
17．（2024高二上·奉化期末）已知圆的圆心为，且与直线相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆M交于A，B两点，求.
【答案】（1）解：因为圆心为，
所以圆心M到切线的距离= ，
所以半径，
所以圆M的标准方程为：+.
（2）解：由题可知圆心M到直线的距离= ，
又由（1）知半径，
所以=，
所以=．
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由圆心到切线的距离等于半径，从而求得圆的半径，进而得出圆的标准方程.
（2）利用已知条件结合点到直线的距离公式，从而求出圆心到弦所在直线的距离，再由勾股定理求得弦长的值．
（1）因为圆心为，所以圆心M到切线的距离= ，所以半径，
所以圆M的标准方程为：+；
（2）由题可知圆心M到直线的距离= ，又由（1）知半径，
所以=，
所以=．
18．（2024高二上·奉化期末）已知等差数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：设数列的公差为，
则，
解得，
所以.
（2）解：由（1）得，
则，
，
两式相减得：
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等差数列前项和公式，从而列出关于首项和公差的方程组，则解方程得出数列的通项公式.
（2）由（1）结合，从而得出数列的通项公式，再利用错位相减法求出数列的前n项和.
（1）设数列的公差为，则，
解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
，
两式相减得：
，
所以.
19．（2024高二上·奉化期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
（1）证明：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，得.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.（1）利用直线与平面垂直的性质可得：，利用勾股定理逆定理得可证明：，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角计算公式计算可得：，据此可求出结论；
（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，得.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为
20．（2024高二上·奉化期末）牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入 ()
【答案】（1）解：由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）解：设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即
令，则上式化为，
即，解得，
即，所以，，
即，所以，
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.
【知识点】换底公式及其推论；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等比数列求和公式，从而可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入的表达式.
(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，再结合(1)进行化简，则由换元法得出一元二次表达式，从而解不等式得出t的取值范围，再利用指数式与对数式的互化公式，则根据换底公式得出牧草销售总收入超过总投入至少经过的年数.
（1）由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，则上式化为，
即，
解得，即，所以，，
即，所以.
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.
21．（2024高二上·奉化期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）解：因为，所以，
①当时，在单调递减；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，，
要证明，只要证，即证，
设，则，
令得，列表得：
a 1
0
单调递减 极小值 单调递增
所以，即，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求得，再对进行分类讨论，则根据导数判断单调性的方法，从而求得的单调区间.
（2）将要证明的不等式转化为证明，再利用构造函数的方法结合导数，从而证出当时，不等式成立.
（1）因为，所以．
①当时，在单调递减；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，
要证明，只要证，即证，
设，则，令得，列表得
a 1
0
单调递减 极小值 单调递增
所以，即，所以．
22．（2024高二上·奉化期末）已知椭圆离心率等于，长轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，
联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，
所以，即，
则，
，
由韦达定理代入可得：，
整理得，
又因为
则点到直线的距离，
所以，
把代入，则，
可得是定值1．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率公式、长轴的定义和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列出关于的方程组，再求解后得出椭圆的标准方程.
（2）设，联立直线方程和椭圆方程，整理后应用韦达定理得， 代入斜率乘积化简得出的关系，则由弦长公式计算弦长，再由点到直线距离公式求得三角形的高，则根据三角形的面积公式得出的面积是定值，并求出该定值．
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，
所以，即，
则，
，
，
把韦达定理代入可得：，
整理得，
又，
而点到直线的距离，
所以，
把代入，则，可得是定值1．
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