第2节 密度、压强、浮力综合推导
考向 密度、压强、浮力综合推导（7年6考）
1.（2024天津13题3分）（多选）水平桌面上有一底面积为S1的柱形平底薄壁容器，容器底部直立一底面积为S2的实心圆柱体（与容器底不密合），圆柱体对容器底的压强为p，如图所示。向容器中注入质量为m的液体后，圆柱体仍直立于容器底且未完全浸没，则
A.圆柱体所受浮力为mg
B.圆柱体所受浮力为mg
C.容器底所受液体压强可能为
D.容器底所受液体压强可能为
2.（2020天津13题3分）（多选）水平桌面上有一底面积为S1的圆柱形薄壁容器，容器内装有质量为m的水。现将一个底面积为S2的圆柱形木块（不吸水）缓慢放入水中，松开手后，木块直立在水中且与容器底接触（部分露出水面），如图所示。若此时木块对容器底的压力刚好为零，则
A．放入木块前水对容器底的压强为
B．放入木块后水对容器底的压强为
C．木块所受的重力为mg
D．木块所受的重力为mg
3.（2019天津13题3分）（多选）在底面积为S的薄壁柱形容器内注入适量的水，让空烧杯漂浮在水面上，测出水的深度为h0，如图所示；再将一金属球放入烧杯中，此时烧杯仍漂浮在水面上，测出水的深度为h1，最后将该金属球取出放入水中（空烧杯仍漂浮在水面上），待金属球沉底后测出水的深度为h2。已知水的密度为ρ水，则
A．金属球的密度为ρ水
B．金属球的密度为ρ水
C．金属球沉底后，它对容器底的压力为ρ水g（h1-h2）S
D．金属球沉底后，它对容器底的压力为ρ水g（h1-h0）S
4.（2018天津13题3分）（多选）如图所示，水平地面上放有上下两部分均为柱形的薄壁容器，两部分的横截面积分别为S1、S2。质量为m的木球通过细线与容器底部相连，细线受到的拉力为T，此时容器中水深为h（水的密度为ρ0）。下列说法正确的是
A．木球的密度为ρ0
B．木球的密度为ρ0
C．剪断细线，待木球静止后水对容器底的压力变化量为T
D．剪断细线，待木球静止后水对容器底的压力变化量为T
5.（2021天津25题6分）水平桌面上有一底面积为5S0的圆柱形薄壁容器，容器内装有一定质量的水。将底面积为S0、高为h0的柱形杯装满水后（杯子材料质地均匀），竖直放入水中，静止后容器中水的深度为h0，如图1所示；再将杯中的水全部倒入容器内，把空杯子竖直正立放入水中，待杯子自由静止后，杯底与容器底刚好接触，且杯子对容器底的压力为零，容器中水的深度为h0，如图2所示。已知水的密度为ρ0。求：
（1）空杯子的质量；
（2）该杯子材料的密度。
重难点 密度、压强、浮力综合推导
类型一 漂浮、悬浮、拉拽类
1.（2024红桥区结课）（多选）用同种材料制成质量相等的方形盒和实心玩具鱼，把玩具鱼密封在盒内，将盒放入水中，盒在水中静止时的位置如图所示，材料密度为ρ，盒的体积为V，水的密度为ρ水，则
A．玩具鱼的质量为
B．盒与玩具鱼的体积之比为ρ∶ρ水
C．水对盒下表面的压力为ρ水gV
D．盒空心部分的体积为V-
2.（2023河西区一模）（多选）一底面积为S0的圆柱形容器放在水平桌面上，容器中装有一定深度且密度为ρ0的水，水对容器底部的压强为2p0。现将一实心物体放入容器中，静止时有一半的体积露出水面，如图甲所示，此时水对容器底部的压强为3p0。将该物体放入另一种液体中时仍漂浮，当用竖直向下、大小为F0的力压它时，物体浸没液体中，如图乙所示。下列判断正确的是
A.物体的质量为
B.物体的密度为 ρ0
C.物体的体积为
D.另一种液体的密度为
3.（2023河东区一模）（多选）水平桌面上有一个底面积为S的薄壁圆柱形容器，内盛密度为
ρ0的某种液体，将质量均为m,密度分别为ρA、ρB的实心小球A、B放入液体中，A球漂浮，B球沉底，如图所示，下列选项正确的是
A．小球A受到的浮力大小为
B．小球B受到的浮力大小为
C．只取出A球，液体对容器底部的压强变化了
D．只取出B球，液体对容器底部的压强变化了
4.（2024和平区一模）（多选）小明在探究沉与浮的条件时，用一根细线连接A、B两个物体，放在盛水的烧杯中，处于悬浮状态，如图甲所示。剪断细线后，A物体处于漂浮状态，B物体沉到烧杯底部，如图乙所示。已知B物体的重力为G，体积为V，烧杯的底面积为S，水的密度为ρ，则以下关系式正确的有
A．图甲中细线的拉力F=G-ρgV
B．甲、乙两图烧杯对桌面的压强分别为p1、p2，则p1>p2
C．水对烧杯底部的压强变化Δp=G-
D．图乙相对于图甲烧杯中水面高度变化Δh=-
5.（2024河西区一模）（多选）如图甲所示，一底面积为S0的圆柱形容器装有适量密度为ρ0的水，一实心小球沉在容器底，小球对容器底的压力为F0；一烧杯漂浮在水面上，此时烧杯底受到水的压力为F1。把小球从水中捞起并放入烧杯中，静止时烧杯仍漂浮，如图乙所示，此时烧杯底受到水的压力为F2。下列判断正确的是
A．小球的重力为F2-F1
B．小球被捞起前受到的浮力为F2-F1+F0
C．图乙中烧杯排开水的体积比图甲中增大了V=
D．图乙中容器底受到水的压强比图甲中增大了
6. （2024部分区二模）如图甲，圆筒内放一圆柱形木块（木块不吸水），用细线将木块底部与筒底连接，线长为L0（细线被压在木块下，图中未画出）。木块底面积为S0、高度为h0。现向圆筒内缓慢注水，直到水面恰好与木块上方相平为止，如图乙所示。细线重力和体积忽略不计，（已知：水的密度为ρ水，木块的密度为ρ水）请解答下列问题。
（1）求当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，注入水的深度；
（2）求细线对木块的最大拉力；
（3）请在图丙中，定性画出注水过程木块所受浮力与水的深度关系图像。
、
7.（2023滨海新区二模）如图1所示，水平桌面上有一底面积为S1的薄壁柱形容器，内装适量的水。底面积为S2的圆柱体，上表面中央沿竖直方向固定一根质量、体积均不计的细杆，下表面与容器底接触。现将圆柱体通过细杆竖直向上以速度v匀速取出，细杆对圆柱体的作用力F的大小与时间t的关系图像如图2所示（t1、t2、t3为已知量）。圆柱体的密度小于水的密度，水的密度为ρ水，完成下列任务：
（1）画出t1时刻，细杆对圆柱体作用力的示意图；
（2）推导出圆柱体密度ρ物与水的密度ρ水的关系式；
（3）求出整个过程中，水对容器底部压强的最大变化量。
类型二 注水、排水、出水、入水类
8.（2024和平区三模）（多选）如图甲所示，一个薄壁轻质圆柱形容器置于水平桌面上，容器底面积为S1，容器内放有一个实心均匀长方体A，其底面积为S2。现向容器内缓慢匀速注入液体，直至将容器注满。已知在注入液体过程中，长方体A始终处于直立状态。容器底所受液体压强的大小与注入液体质量的变化图像如图乙所示。以下说法正确的是
A．则长方体A所受最大浮力一定是
B．注入液体质量为m1时，液体对容器底压强可能是
C．液体对容器底的最大压力一定是+m2g
D．容器对桌面的最大压力可能是+m2g
9.（2024部分区二模）如图所示，水平桌面上有一圆柱形薄壁容器，容器内竖直正立一材料质地均匀、高为h、底面积为S0的杯子。现只向容器中注水，当容器中水的深度为 h时，杯子对容器底部的压力刚好为零；接下来同时向容器和杯中注水，并继续保持杯子与容器底压力为零，当杯口与容器中水面相平时，杯中水刚好达到杯子容积的一半（整个过程中，杯底与容器底部始终接触但不紧密）。已知水的密度为ρ0，请完成下列任务：
（1）空杯子的质量是 ；
（2）求该杯子材料的密度；
（3）继续向杯中注水直至注满，求此时杯子对容器底部的压强。
10.（2024红桥区结课）如图甲所示，一个底面积为3S0的薄壁圆柱形容器放在水平桌面上，将一横截面积为S0、高度为h0的均匀实心圆柱体A竖直放在容器底部，现向容器内缓慢注入某种液体，圆柱体始终直立，圆柱体对容器底部的压力与注入液体质量的关系如图乙所示。求：
（1）液体的密度；
（2）圆柱体受到的最大浮力；
（3）圆柱体对容器底的最小压强。
11.（2023河北区一模）在物理课外拓展活动中，力学兴趣小组的同学进行了如图甲的探究。用细线P将A、B两个不吸水的长方体连接起来，再用细线Q将A、B两物体悬挂放入水平桌面上的圆柱形容器中，初始时B物体对容器底的压力恰好为零。从t=0时开始向容器内匀速注水(水始终未溢出)，细线Q的拉力FQ随时间t的变化关系如图乙所示。已知A、B两物体的底面积SA=SB=S0,A、B的密度均大于水的密度，细线P、Q不可伸长，细线P的长度是B高度的倍，水的密度用ρ水表示。求:
（1）t=t1时，B物体受到水的浮力；
（2）每秒向容器内注入水的体积；
（3）当FQ=1.5F1时，水对容器底部的压力。
类型三 液面变化类
12.（2024河北区二模）（多选）如图甲所示，足够大圆柱形薄壁容器A放在水平桌面上，容器中盛有少量密度为ρ0的水，其底面积为3S0，现将一底面积为S0的木块B（不吸水）放入容器中，水面上升的高度为h0，此时物块B部分露出水面，如图乙所示。若此时木块对容器底的压强为p0。则
A.容器内水的质量为6ρ0S0h0
B.容器内水的质量为3ρ0S0h0
C.木块所受的重力为2ρ0gh0S0+p0S0
D.木块所受的重力为3ρ0gh0S0+p0S0
13.（2024南开区二模）（多选）如图所示，烧杯中装有适量的水（水的密度为ρ0），现有质地均匀，不吸水且不溶于水的a、b两实心柱体，质量之比为3∶1，体积之比为4∶1，将b置于a上面一起放入烧杯中，静止时a的上表面刚好与液面相平，下列说法正确的是
A.a的密度为0.75ρ0
B.单独把a放入烧杯中，有的体积露出液面
C.单独把b放入烧杯中，有的体积露出液面
D.单独把a放入烧杯中，其下表面液体压强与图中a的下表面液体压强之比为3∶4
14.（2023东丽区二模）（多选）如图甲所示，将适量的某种液体加入到底面积为S的圆柱形平底玻璃容器里，然后缓慢放入盛有水的水槽中。当容器下表面所处的深度为h1时，容器处于直立漂浮状态。向玻璃容器中再加入体积为V的该液体后，容器下表面所处的深度为h2，容器仍处于直立漂浮状态，如图乙所示。下列说法正确的是(水的密度用ρ0表示)
A.图甲中水对玻璃容器下表面的压强为ρ0gh1
B.再加入液体的质量为ρ0V
C.液体的密度为
D.液体的密度为
15.（2024河北区一模）如图甲所示，装有部分水的平底试管竖直漂浮在圆柱形容器内的水面上，试管中的水面恰与容器壁上的A点相平。现将一小石块完全浸没在试管内的水中，试管仍漂浮在水面上，且试管中的水面恰好仍与容器壁上的A点相平，如图乙所示。若试管粗细均匀、试管壁与容器壁的厚度均不计，试管的横截面积为S1，容器的横截面积为S2，水的密度为ρ0，请解答以下问题：
（1）证明容器壁上A点受到水的压强变化量Δp1与容器底部受到水的压强变化量Δp2的大小相等；
（2）求出石块的密度。
（温馨提示：推导计算过程中需要的物理量，请提前设定！）
素养提升综合练·优练
1. （2024福建）质量为m0的杯子，装入适量的水后放在水平的电子秤上，如图甲；接着把草莓轻放入水中，草莓漂浮，如图乙；然后用细针将草莓轻压入水中，如图丙；水均未溢出，电子秤示数依次为m1、m2、m3，不计细针体积。下列判断正确的是
A.图甲，水对杯底的压力为（m1-m0）g
B.图乙，草莓的质量为m2-m1-m0
C.图丙，草莓排开水的体积为
D.图丙，细针对草莓的压力为（m3-m2-m0）g
2.（2024河西区一模）水平桌面上有一底面积为3S0、高为h0的圆柱形薄壁容器，将一密度为ρ0、底面积为S0、高为h0的圆柱形物体竖直放置在容器底部，如图1所示。然后向容器内缓慢注入某种液体，物体始终处于直立状态。请解答如下问题：
(1)注入液体前柱形物体对容器底部的压强p= ；
(2)若注入液体的密度为ρ0，在图2所示的坐标系中，画出从刚开始注入液体到容器装满液体的过程中，物体对容器底部压力随容器中液面高度变化的图像，并标出始、末两端点的坐标；
(3)若注入液体的密度为2ρ0,与未注入液体时相比，当液体对容器底的压强增加量与容器对桌面的压强增加量的比值恰为6∶5时，求出此时容器中液体的深度。
3. （2024和平区一模）同学们模拟古人利用浮力打捞铁牛，模拟过程和测量值如图所示。
①把正方体A放在架空水槽底部的方孔处（忽略A与水槽的接触面积），往水槽内装入适量的水，把一质量与A相等的柱形薄壁水杯放入水中漂浮，如图甲所示；
②向水杯中装入质量为水杯质量二倍的铁砂时，水杯底到A上表面的距离等于A的边长，如图乙所示；
③用细线连接水杯和A，使细线拉直且无拉力，再将铁砂从杯中取出，当铁砂取完后，A恰好可被拉起，完成打捞后，如图丙所示。
请你完成：
（1）画出图丙中的水杯受到的力；
（2）求图乙中水杯浸入水中的深度h；
（3）水杯与正方体A的底面积之比S杯∶SA= 。
（温馨提示：推导计算过程中需要的物理量，请提前设定!）
4.（2023和平区一模）如图甲所示，将边长为h的正方体木块A放入水中时，有h0浸入水中;将金属块B放在木块中央静止后，用刻度尺测出此时木块露出水面的高度h1,如图乙所示，再用轻质细线（图中未画出）将金属块绑在木块中央，放入水中静止后测出此时木块露出水面高度h2,如图丙所示，求:
(1)木块A的质量;
(2)金属块B的体积;
(3)木块A与金属块B的密度之比ρA∶ρB。
(温馨提示:推导计算过程中需要的物理量，请提前设定!)第2节 密度、压强、浮力综合推导
考向 密度、压强、浮力综合推导（7年6考）
1.（2024天津13题3分）（多选）水平桌面上有一底面积为S1的柱形平底薄壁容器，容器底部直立一底面积为S2的实心圆柱体（与容器底不密合），圆柱体对容器底的压强为p，如图所示。向容器中注入质量为m的液体后，圆柱体仍直立于容器底且未完全浸没，则（ BD ）
A.圆柱体所受浮力为mg
B.圆柱体所受浮力为mg
C.容器底所受液体压强可能为
D.容器底所受液体压强可能为
2.（2020天津13题3分）（多选）水平桌面上有一底面积为S1的圆柱形薄壁容器，容器内装有质量为m的水。现将一个底面积为S2的圆柱形木块（不吸水）缓慢放入水中，松开手后，木块直立在水中且与容器底接触（部分露出水面），如图所示。若此时木块对容器底的压力刚好为零，则（ AD ）
A．放入木块前水对容器底的压强为
B．放入木块后水对容器底的压强为
C．木块所受的重力为mg
D．木块所受的重力为mg
3.（2019天津13题3分）（多选）在底面积为S的薄壁柱形容器内注入适量的水，让空烧杯漂浮在水面上，测出水的深度为h0，如图所示；再将一金属球放入烧杯中，此时烧杯仍漂浮在水面上，测出水的深度为h1，最后将该金属球取出放入水中（空烧杯仍漂浮在水面上），待金属球沉底后测出水的深度为h2。已知水的密度为ρ水，则（ AC ）
A．金属球的密度为ρ水
B．金属球的密度为ρ水
C．金属球沉底后，它对容器底的压力为ρ水g（h1-h2）S
D．金属球沉底后，它对容器底的压力为ρ水g（h1-h0）S
4.（2018天津13题3分）（多选）如图所示，水平地面上放有上下两部分均为柱形的薄壁容器，两部分的横截面积分别为S1、S2。质量为m的木球通过细线与容器底部相连，细线受到的拉力为T，此时容器中水深为h（水的密度为ρ0）。下列说法正确的是（ AD ）
A．木球的密度为ρ0
B．木球的密度为ρ0
C．剪断细线，待木球静止后水对容器底的压力变化量为T
D．剪断细线，待木球静止后水对容器底的压力变化量为T
5.（2021天津25题6分）水平桌面上有一底面积为5S0的圆柱形薄壁容器，容器内装有一定质量的水。将底面积为S0、高为h0的柱形杯装满水后（杯子材料质地均匀），竖直放入水中，静止后容器中水的深度为h0，如图1所示；再将杯中的水全部倒入容器内，把空杯子竖直正立放入水中，待杯子自由静止后，杯底与容器底刚好接触，且杯子对容器底的压力为零，容器中水的深度为h0，如图2所示。已知水的密度为ρ0。求：
（1）空杯子的质量；
（2）该杯子材料的密度。
解：（1）将杯中的水全部倒入容器内，待杯子自由静止后，杯底与容器底刚好接触，且杯子对容器底的压力为零，可知此时杯子可视为漂浮状态，
则有F浮＝G＝mg＝G排＝ρ0V排g，即m＝ρ0V排，
观察图可知，此时V排＝S0×h0＝S0h0，
将V排＝S0h0代入m＝ρ0V排得m＝ρ0S0h0；
（2）由图2知，杯子的体积与杯内水的体积之和等于S0×h0，即V总＝V杯+V水＝S0h0，则V杯＝S0h0-V水，
将杯中的水倒入容器中，容器中增加水的体积就是杯中水的体积，即V水＝ΔV＝（5S0-S0）×Δh＝4S0×（h0-h0）＝S0h0，
将V水＝S0h0代入V杯＝S0h0-V水得V杯＝S0h0-S0h0＝S0h0，
由密度公式可得杯子的密度ρ＝＝＝2ρ0。
重难点 密度、压强、浮力综合推导
类型一 漂浮、悬浮、拉拽类
1.（2024红桥区结课）（多选）用同种材料制成质量相等的方形盒和实心玩具鱼，把玩具鱼密封在盒内，将盒放入水中，盒在水中静止时的位置如图所示，材料密度为ρ，盒的体积为V，水的密度为ρ水，则（ AD ）
A．玩具鱼的质量为
B．盒与玩具鱼的体积之比为ρ∶ρ水
C．水对盒下表面的压力为ρ水gV
D．盒空心部分的体积为V-
2.（2023河西区一模）（多选）一底面积为S0的圆柱形容器放在水平桌面上，容器中装有一定深度且密度为ρ0的水，水对容器底部的压强为2p0。现将一实心物体放入容器中，静止时有一半的体积露出水面，如图甲所示，此时水对容器底部的压强为3p0。将该物体放入另一种液体中时仍漂浮，当用竖直向下、大小为F0的力压它时，物体浸没液体中，如图乙所示。下列判断正确的是（ AC ）
A.物体的质量为
B.物体的密度为ρ0
C.物体的体积为
D.另一种液体的密度为
3.（2023河东区一模）（多选）水平桌面上有一个底面积为S的薄壁圆柱形容器，内盛密度为
ρ0的某种液体，将质量均为m,密度分别为ρA、ρB的实心小球A、B放入液体中，A球漂浮，B球沉底，如图所示，下列选项正确的是（ BC ）
A．小球A受到的浮力大小为
B．小球B受到的浮力大小为
C．只取出A球，液体对容器底部的压强变化了
D．只取出B球，液体对容器底部的压强变化了
4.（2024和平区一模）（多选）小明在探究沉与浮的条件时，用一根细线连接A、B两个物体，放在盛水的烧杯中，处于悬浮状态，如图甲所示。剪断细线后，A物体处于漂浮状态，B物体沉到烧杯底部，如图乙所示。已知B物体的重力为G，体积为V，烧杯的底面积为S，水的密度为ρ，则以下关系式正确的有（ ACD ）
A．图甲中细线的拉力F=G-ρgV
B．甲、乙两图烧杯对桌面的压强分别为p1、p2，则p1>p2
C．水对烧杯底部的压强变化Δp=G-
D．图乙相对于图甲烧杯中水面高度变化Δh=-
5.（2024河西区一模）（多选）如图甲所示，一底面积为S0的圆柱形容器装有适量密度为ρ0的水，一实心小球沉在容器底，小球对容器底的压力为F0；一烧杯漂浮在水面上，此时烧杯底受到水的压力为F1。把小球从水中捞起并放入烧杯中，静止时烧杯仍漂浮，如图乙所示，此时烧杯底受到水的压力为F2。下列判断正确的是（ ACD ）
A．小球的重力为F2-F1
B．小球被捞起前受到的浮力为F2-F1+F0
C．图乙中烧杯排开水的体积比图甲中增大了V=
D．图乙中容器底受到水的压强比图甲中增大了
6.【构建模型】（2024部分区二模）如图甲，圆筒内放一圆柱形木块（木块不吸水），用细线将木块底部与筒底连接，线长为L0（细线被压在木块下，图中未画出）。木块底面积为S0、高度为h0。现向圆筒内缓慢注水，直到水面恰好与木块上方相平为止，如图乙所示。细线重力和体积忽略不计，（已知：水的密度为ρ水，木块的密度为ρ水）请解答下列问题。
（1）求当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，注入水的深度；
（2）求细线对木块的最大拉力；
（3）请在图丙中，定性画出注水过程木块所受浮力与水的深度关系图像。
解：（1）当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，设水的深度为h水，
因木块漂浮，受到的浮力和自身的重力相等，
所以，由F浮=ρ液gV排=ρ液gS木h水和G=mg=ρVg=ρShg可得：ρ水gS木h水=ρ木S木h0g,
解得：h水=ρ木ρ水h0=ρ水ρ水h0=h0；
（2）当木块完全浸没时受到的浮力最大，最大浮力：F浮大=ρ水gV排=ρ水gV木=ρ水gS0h0，
此时木块受到重力、浮力和绳的拉力作用，处于平衡状态，根据力的平衡关系可知，细线对木块的最大拉力：F拉大=F浮大-G=ρ水gS0h0-ρ木gS0h0=ρ水gS0h0-ρ水gS0h0=ρ水gS0h0；
（3）由（1）可知，木块对圆筒底部的压力恰好为0时，注入水的深度为h0，此时木块处于漂浮状态，即F浮=G=ρ水gS0h0；
继续注水，当细线刚好被拉直时，注入水的深度为h0+L0，此时木块仍处于漂浮状态；
当木块完全浸没时受到的浮力最大，注入水的深度为h0+L0，此时木块受到的最大浮力为F浮大=ρ水gS0h0；
则注水过程木块所受浮力与水的深度关系图像如下图所示：
7.（2023滨海新区二模）如图1所示，水平桌面上有一底面积为S1的薄壁柱形容器，内装适量的水。底面积为S2的圆柱体，上表面中央沿竖直方向固定一根质量、体积均不计的细杆，下表面与容器底接触。现将圆柱体通过细杆竖直向上以速度v匀速取出，细杆对圆柱体的作用力F的大小与时间t的关系图像如图2所示（t1、t2、t3为已知量）。圆柱体的密度小于水的密度，水的密度为ρ水，完成下列任务：
（1）画出t1时刻，细杆对圆柱体作用力的示意图；
（2）推导出圆柱体密度ρ物与水的密度ρ水的关系式；
（3）求出整个过程中，水对容器底部压强的最大变化量。
解：（1）结合两图分析可知，当物体完全浸没在水中时，细杆对圆柱体的作用力向下，受力示意图如图所示；
（2）当物体开始露出水面时即t1时，杆对物体A的压力减小，当t2时，杆对物体A的压力为零，在t2时之后，杆对物体A产生向上的拉力，当t3时，物体完全露出水面，由上述过程可得：F浮=G物，ρ水g（t3-t2）vS2=ρ物g（t3-t1）vS2，解得：ρ物=ρ水；
（3）水对容器底部压强的最大变化过程为刚开始露出水面到完全露出水面，所以水对容器底部压强的最大变化量：Δp==。
类型二 注水、排水、出水、入水类
8.（2024和平区三模）（多选）如图甲所示，一个薄壁轻质圆柱形容器置于水平桌面上，容器底面积为S1，容器内放有一个实心均匀长方体A，其底面积为S2。现向容器内缓慢匀速注入液体，直至将容器注满。已知在注入液体过程中，长方体A始终处于直立状态。容器底所受液体压强的大小与注入液体质量的变化图像如图乙所示。以下说法正确的是（ ACD ）
A．则长方体A所受最大浮力一定是
B．注入液体质量为m1时，液体对容器底压强可能是
C．液体对容器底的最大压力一定是+m2g
D．容器对桌面的最大压力可能是+m2g
9.（2024部分区二模）如图所示，水平桌面上有一圆柱形薄壁容器，容器内竖直正立一材料质地均匀、高为h、底面积为S0的杯子。现只向容器中注水，当容器中水的深度为h时，杯子对容器底部的压力刚好为零；接下来同时向容器和杯中注水，并继续保持杯子与容器底压力为零，当杯口与容器中水面相平时，杯中水刚好达到杯子容积的一半（整个过程中，杯底与容器底部始终接触但不紧密）。已知水的密度为ρ0，请完成下列任务：
（1）空杯子的质量是 ρ0hS0 ；
（2）求该杯子材料的密度；
（3）继续向杯中注水直至注满，求此时杯子对容器底部的压强。
解:（1）容器中水的深度为h时，杯子对容器底部的压力刚好为0，此时杯子恰好漂浮，
则有F浮=G杯，V排=S0×h=S0h，
F浮=ρ水gV排=ρ0gS0h=G杯=m杯g，
故空杯的质量：m杯=ρ0S0h；
（2）当杯口与容器中水面相平时，杯中水刚好达到杯子容积的一半，杯子对容器底的压力为0，
此时V排′=S0h，F浮′=G杯+G水，V水=V杯内，
ρ水gV排′=G杯+ρ水gV水，
ρ0gS0h=ρ0gS0h+ρ0gV杯内，
所以V杯内=S0h，
又因为V杯=S0h，则该杯子材料的体积：V=V杯-V杯内=S0h-S0h=13S0h，
则该杯子材料的密度：ρ材料===2ρ0，
（3）杯中注满水时，V水=V杯内=S0h，
G水=m水g=ρ水gV水=ρ0gS0h，
F浮′=ρ水gV排′=ρ0gS0h，
对容器的压力：F=G杯+G水-F浮′=ρ0gS0h+ρ0gS0h-ρ0gS0h=ρ0gS0h，
则杯子对容器底部的压强：p===ρ0gh。
10.（2024红桥区结课）如图甲所示，一个底面积为3S0的薄壁圆柱形容器放在水平桌面上，将一横截面积为S0、高度为h0的均匀实心圆柱体A竖直放在容器底部，现向容器内缓慢注入某种液体，圆柱体始终直立，圆柱体对容器底部的压力与注入液体质量的关系如图乙所示。求：
（1）液体的密度；
（2）圆柱体受到的最大浮力；
（3）圆柱体对容器底的最小压强。
解：（1）由图甲可知，圆柱体对容器底部的压力始终不为零，表明物体的密度大于液体的密度，
当注入液体的质量为m0时，圆柱体恰好浸没，
此时薄壁圆柱形容器内液体的体积：V液＝（S容-SA）h0＝（3S0-S0）h0＝2S0h0，
则液体的密度：ρ液＝＝；
（2）圆柱体浸没时受到的浮力最大，此时圆柱体排开液体的体积：V排＝S0h0，
则圆柱体受到的最大浮力：F浮＝ρ液gV排＝×g×S0h0＝m0g；
（3）由图乙可知，容器内没有液体时圆柱体对容器底部的压力为F0，
因物体对水平面的压力和自身的重力相等，
所以，圆柱体的重力：G＝F0，
圆柱体浸没时，受到的浮力最大，其对容器底的压力最小，对容器底的压强最小，
圆柱体对容器底的最小压力：F＝G-F浮＝F0-m0g，
则圆柱体对容器底的最小压强：p＝＝＝。
11.（2023河北区一模）在物理课外拓展活动中，力学兴趣小组的同学进行了如图甲的探究。用细线P将A、B两个不吸水的长方体连接起来，再用细线Q将A、B两物体悬挂放入水平桌面上的圆柱形容器中，初始时B物体对容器底的压力恰好为零。从t=0时开始向容器内匀速注水(水始终未溢出)，细线Q的拉力FQ随时间t的变化关系如图乙所示。已知A、B两物体的底面积SA=SB=S0,A、B的密度均大于水的密度，细线P、Q不可伸长，细线P的长度是B高度的倍，水的密度用ρ水表示。求:
（1）t=t1时，B物体受到水的浮力；
（2）每秒向容器内注入水的体积；
（3）当FQ=1.5F1时，水对容器底部的压力。
解：（1）根据称重法可得，B浸没时受到浮力：F浮B=F0-F10=3F1-2F1=F1；
（2）t=t1时，B物体排开水的体积：V排B==，
已知B物体的密度大于水的密度，
则由图像信息可知，t=t1时B物体刚好浸没，物体B的体积和排开液体体积相等，
即B的体积：VB=V排B=，
B的高度：hB==，
0～t1时，B排开液体体积增大，所受浮力增大，则B始终接触容器底面，这段时间注水体积：V水1=（S-SB）hB，
t1～3t1时，2t1秒内注入的水体积：V水3=Sl=2V水1,
联立方程可得：2×（S-S0）×hB=S×hB，解得S=3S0,
注水速度：v==；
（3）当FQ=1.5F1时，根据称重法有：F浮总=F1-FQ′，
即：F浮总=3F1-1.5F1=1.5F1，
此时A和B排开水的总体积：V排总==,
物体A和B浸入水中的总深度：h浸总==,
B始终沉底，则此时水的深度：h=h浸总+l=+l,
所以，水对容器底部的压强：p=ρ水gh=ρ水g×（+）=,
水对容器底部的压力：F=pS=×3S0=8.5F1。
类型三 液面变化类
12.（2024河北区二模）（多选）如图甲所示，足够大圆柱形薄壁容器A放在水平桌面上，容器中盛有少量密度为ρ0的水，其底面积为3S0，现将一底面积为S0的木块B（不吸水）放入容器中，水面上升的高度为h0，此时物块B部分露出水面，如图乙所示。若此时木块对容器底的压强为p0。则（ AD ）
A.容器内水的质量为6ρ0S0h0
B.容器内水的质量为3ρ0S0h0
C.木块所受的重力为2ρ0gh0S0+p0S0
D.木块所受的重力为3ρ0gh0S0+p0S0
13.（2024南开区二模）（多选）如图所示，烧杯中装有适量的水（水的密度为ρ0），现有质地均匀，不吸水且不溶于水的a、b两实心柱体，质量之比为3∶1，体积之比为4∶1，将b置于a上面一起放入烧杯中，静止时a的上表面刚好与液面相平，下列说法正确的是（ AD ）
A.a的密度为0.75ρ0
B.单独把a放入烧杯中，有的体积露出液面
C.单独把b放入烧杯中，有的体积露出液面
D.单独把a放入烧杯中，其下表面液体压强与图中a的下表面液体压强之比为3∶4
14.（2023东丽区二模）（多选）如图甲所示，将适量的某种液体加入到底面积为S的圆柱形平底玻璃容器里，然后缓慢放入盛有水的水槽中。当容器下表面所处的深度为h1时，容器处于直立漂浮状态。向玻璃容器中再加入体积为V的该液体后，容器下表面所处的深度为h2，容器仍处于直立漂浮状态，如图乙所示。下列说法正确的是(水的密度用ρ0表示)（ AD ）
A.图甲中水对玻璃容器下表面的压强为ρ0gh1
B.再加入液体的质量为ρ0V
C.液体的密度为
D.液体的密度为
15.（2024河北区一模）如图甲所示，装有部分水的平底试管竖直漂浮在圆柱形容器内的水面上，试管中的水面恰与容器壁上的A点相平。现将一小石块完全浸没在试管内的水中，试管仍漂浮在水面上，且试管中的水面恰好仍与容器壁上的A点相平，如图乙所示。若试管粗细均匀、试管壁与容器壁的厚度均不计，试管的横截面积为S1，容器的横截面积为S2，水的密度为ρ0，请解答以下问题：
（1）证明容器壁上A点受到水的压强变化量Δp1与容器底部受到水的压强变化量Δp2的大小相等；
（2）求出石块的密度。
（温馨提示：推导计算过程中需要的物理量，请提前设定！）
解：（1）根据图可知，从液面到容器壁上A点的深度变化量Δh1与容器底部深度的变化量
Δh2的关系Δh1＝Δh2，
由p＝ρgh可知，容器壁上A点受到水的压强变化量Δp1与容器底部受到水的压强变化量Δp2的大小关系Δp1＝Δp2；
（2）石块完全浸没在该试管水中后，设试管中液体上升的高度是h0，试管底部应再下沉的深度h1，试管下沉容器液面上升的高度h2，
试管内石块体积：V石＝V石排＝S1h0，
石块的重力：G石＝ρ石gV石＝ρ石gS1h0，
试管增加的浮力：F浮＝ρ0gS1（h1+h2），
容器底部增加的压力：F压＝ρ0gS2h2，
因为试管放入石块后，试管仍处于漂浮状态，
所以，G石＝F浮＝F压，
ρ石gS1h0＝ρ0gS1（h1+h2）＝ρ0gS2h2，
由ρ0gS1（h1+h2）＝ρ0gS2h2可得：
h2＝，
因试管中的水面恰好仍与容器壁上的A点相平，所以h0＝h1，
由ρ石gS1h0＝ρ0gS1（h1+h2）可得：
ρ石＝ρ0＝ρ0＝ρ0。
素养提升综合练·优练
1.【津津甄选】（2024福建）质量为m0的杯子，装入适量的水后放在水平的电子秤上，如图甲；接着把草莓轻放入水中，草莓漂浮，如图乙；然后用细针将草莓轻压入水中，如图丙；水均未溢出，电子秤示数依次为m1、m2、m3，不计细针体积。下列判断正确的是（ C ）
A.图甲，水对杯底的压力为（m1-m0）g
B.图乙，草莓的质量为m2-m1-m0
C.图丙，草莓排开水的体积为
D.图丙，细针对草莓的压力为（m3-m2-m0）g
2.（2024河西区一模）水平桌面上有一底面积为3S0、高为h0的圆柱形薄壁容器，将一密度为ρ0、底面积为S0、高为h0的圆柱形物体竖直放置在容器底部，如图1所示。然后向容器内缓慢注入某种液体，物体始终处于直立状态。请解答如下问题：
(1)注入液体前柱形物体对容器底部的压强p= ρ0gh0 ；
(2)若注入液体的密度为ρ0，在图2所示的坐标系中，画出从刚开始注入液体到容器装满液体的过程中，物体对容器底部压力随容器中液面高度变化的图像，并标出始、末两端点的坐标；
(3)若注入液体的密度为2ρ0,与未注入液体时相比，当液体对容器底的压强增加量与容器对桌面的压强增加量的比值恰为6∶5时，求出此时容器中液体的深度。
解：（1）注入液体前柱形物体对容器底部的压力等于自身重力，即F=G=mg=ρVg=ρ0S0h0g,
注入液体前柱形物体对容器底部的压强：p===ρ0gh0；
（2）注入液体前柱形物体对容器底部的压力等于自身重力，即F=G=ρ0S0h0g,
注入液体的密度为ρ0，物体密度大于液体密度，物体沉底，
注入液体高度h0时，物体全部浸没，物体受到的浮力最大，为F浮=ρ液gV排=ρ0gS0h0，
柱形物体浸没后对容器底部的压力：F′=G-F浮=ρ0S0h0g-ρ0gS0h0=ρ0gS0h0，
柱形物体浸没后对容器底部的压力不变，如图：
（3）注入液体的密度为2ρ0，物体密度小于液体密度，物体漂浮，
根据p=可得物体漂浮前液体对容器底的压强增加量为Δp1=，
容器对桌面的压强增加量为Δp2=，
则液体对容器底的压强增加量与容器对桌面的压强增加量的比为∶=3∶2，与题意不符，
物体已漂浮且与容器底不再接触，则设液体的深度为h,
根据液体压强公式，液体对容器底的压强增加量：
Δp1′=2ρ0gh……①，
根据G=mg、m=ρV、V=Sh、p=可得，容器对桌面的压强增加量：
Δp2′==……②，
由题意可知①②=，解得：h=h0。
3.【情境设置·【解决问题】】（2024和平区一模）同学们模拟古人利用浮力打捞铁牛，模拟过程和测量值如图所示。
①把正方体A放在架空水槽底部的方孔处（忽略A与水槽的接触面积），往水槽内装入适量的水，把一质量与A相等的柱形薄壁水杯放入水中漂浮，如图甲所示；
②向水杯中装入质量为水杯质量二倍的铁砂时，水杯底到A上表面的距离等于A的边长，如图乙所示；
③用细线连接水杯和A，使细线拉直且无拉力，再将铁砂从杯中取出，当铁砂取完后，A恰好可被拉起，完成打捞后，如图丙所示。
请你完成：
（1）画出图丙中的水杯受到的力；
（2）求图乙中水杯浸入水中的深度h；
（3）水杯与正方体A的底面积之比S杯∶SA= 9∶2 。
（温馨提示：推导计算过程中需要的物理量，请提前设定!）
解：（1）水杯受到竖直向下的重力、竖直向下的拉力和竖直向上的浮力，如下图所示；
（2）甲中杯子漂浮，浮力等于重力，设水的密度为ρ，杯子的底面积为S杯，杯子的总高度为H，A的边长为a，则甲中杯子所受浮力：F浮杯=ρg（h+-h0）S杯=G杯，
乙中杯子也是漂浮状态，所以F乙浮=ρgS杯h=G杯+铁砂=3G杯，
两式相除，解得h=h0，
则杯子的总高度：H=h+h0=h0+h0=h0;
（3）图丙中物体处于漂浮状态，浮力等于重力，又因为A与杯的重力相等，
所以2G杯=ρg[（h0-h0）S杯+VA]=ρg（h0S杯+VA）,
由图甲可知：
G杯=ρg（h0-h0）S杯=ρgh0S杯，
联立可得：h0S杯=h0S杯+VA，
解得：VA=h0S杯，
图丙中绳子刚好拉直但没有拉力，图丙中铁砂取出后A恰好被拉起，所以铁砂的重力等于拉力，则2G杯=G杯+ρgSA（34h0+a），即：G杯=ρgSA（h0+a），
则h0S杯=SA×h0+h0S杯，
解得S杯∶SA=9∶2。
4.（2023和平区一模）如图甲所示，将边长为h的正方体木块A放入水中时，有h0浸入水中;将金属块B放在木块中央静止后，用刻度尺测出此时木块露出水面的高度h1,如图乙所示，再用轻质细线（图中未画出）将金属块绑在木块中央，放入水中静止后测出此时木块露出水面高度h2,如图丙所示，求:
(1)木块A的质量;
(2)金属块B的体积;
(3)木块A与金属块B的密度之比ρA∶ρB。
(温馨提示:推导计算过程中需要的物理量，请提前设定!)
解：（1）由图甲可知，木块A漂浮，受力为重力和浮力，二力平衡，
所以GA=F浮=ρ水gV排=ρ水gh2h0，
所以木块A的质量：mA=GAg==ρ水h2h0；
（2）图乙中，木块浸入水中的体积：V排′=h2（h-h1），
则图乙中正方体木块A和金属块B受到的浮力：F浮′=ρ水gV排′=ρ水gh2（h-h1）,
正方体木块A和金属块B漂浮，
则GA+GB=F浮′=ρ水gh2（h-h1），
B的重力：GB=F浮′-GA=ρ水gh2（h-h1）-ρ水gh2h0=ρ水gh2（h-h1-h0），
图丙中木块A浸入水中的体积：V浸=h2（h-h2），
由图乙和图丙可知，A和B整体漂浮在水中，它们排开水的体积相等，
则金属块B的体积：VB=V排′-V浸=h2（h-h1）-h2（h-h2）=h2（h2-h1）；
（3）木块A的体积:VA=h×h×h=h3,
则A的密度：ρA==·ρ水,
B的密度：ρB====·ρ水，
木块A与金属块B的密度之比：
ρA：ρB=·ρ水：·ρ水=h0（h2-h1）：h（h-h1-h0）。
