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专题8.1 整式的乘除法【十大题型】
【苏科版2024】
【题型1 由整式乘除法求代数式的值】 3
【题型2 由整式乘除法求字母的值】 4
【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】 7
【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】 10
【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】 13
【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】 15
【题型7 整式乘除法的应用】 17
【题型8 整式乘除法中的规律问题】 20
【题型9 整式乘除法中的新定义问题】 24
【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】 29
知识点：整式的乘法、除法
1．单项式与单项式相乘
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【注意】
（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
2．单项式与多项式相乘
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】
单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检
验在运算中是否漏乘某些项．
（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
3．多项式与多项式相乘
（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
4．单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
5．多项式除以单项式
多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【题型1 由整式乘除法求代数式的值】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ．
【变式1-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，那么 ．
【变式1-2】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的值是 ．
【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知有理数满足，则 ．
【题型2 由整式乘除法求字母的值】
【例2】（24-25八年级上·福建泉州·期中）设实数满足，若，则的值是 ．
【变式2-1】（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ．
【变式2-2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ．
【变式2-3】（22-23八年级上·福建福州·阶段练习）若，求 ．
【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】
【例3】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）多项式展开后不含的一次项，则的值为 ．
【变式3-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 ．
【变式3-2】（24-25七年级上·重庆·期末）将展开得到一个关于的多项式，若此关于的多项式中不含二次项和一次项，则 ．
【变式3-3】（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中的值满足的结果中不含的二次项和一次项．
【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】
【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，且的值与无关，求的值．
【变式4-1】（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，．
(1)求证：代数式的值与的取值无关；
(2)若，求的值．
【变式4-2】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）计算求值：
(1)计算：；
(2)已知，，求的值．
(3)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【变式4-3】（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾]
已知代数式的值与的取值无关，求的值．
解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即．
[理解应用]
(1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；
(2)已知的值与无关，求的值；
(3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．
【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】
【例5】（21-22七年级下·湖南永州·期末）某人计算时，已正确得出结果中的一次项系数为，不小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为 ．
【变式5-1】（22-23八年级上·河南洛阳·期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ．
【变式5-2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数．
【变式5-3】（2024七年级上·上海·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】
【例6】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）小明在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ．
【变式6-1】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
(1)求这个多项式；
(2)求正确的计算结果．
【变式6-2】（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是．
(1)求这个多项式
(2)正确的计算结果应该是多少？
【变式6-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小马虎同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
(1)这个多项式A是多少？
(2)正确的计算结果是多少？
【题型7 整式乘除法的应用】
【例7】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a．
(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）．
②当时，求园子的面积．
(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）．
【变式7-1】（23-24七年级·重庆·期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．
【变式7-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上地板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a元/平方米，地板的价格元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？
【变式7-3】（23-24七年级·全国·专题练习）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：a、2a、a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、；配件②是一个正方体，其棱长为a
(1)生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
(2)若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【题型8 整式乘除法中的规律问题】
【例8】（23-24七年级·四川成都·期中）观察：下列等式，，…据此规律，当时，代数式的值为 ．
【变式8-1】（23-24七年级·广东揭阳·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是年11月份的日历，我们任意用一个的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？
(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为 ．
(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．
【变式8-2】（23-24七年级·福建宁德·期末）“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进行研究．
小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．
例如：
，结果为624；
，结果为2016；
小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．
例如：
，结果为2925；
，结果为2625；
(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算的速算过程；
(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；
(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字母的等式表示该规律．
友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．
【变式8-3】（23-24七年级·福建宁德·期中）下图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过天是星期 ．
……
……
……
……
【题型9 整式乘除法中的新定义问题】
【例9】（23-24七年级·陕西榆林·期末）【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定：．
例如：．
【问题推广】（1）先化简，再求值：，其中，；
【拓展提升】（2）若，求p，q的值
【变式9-1】（23-24七年级·浙江宁波·期中）定义，如．已知，（为常数）
(1)若，求的值；
(2)若中的满足时，且，求的值．
【变式9-2】（23-24七年级·湖南株洲·期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；
根据以上信息，完成下列问题:
(1)计算：， ；
(2)计算：；
(3)计算：
【变式9-3】（23-24七年级·内蒙古乌兰察布·期末）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果．则称B是A的“郡园多项式”如果，则称B是A的“郡园志勤多项式”．
(1)若，，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由；
(2)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则_____；
(3)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值．
【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】
【例10】（23-24七年级·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．
请解答下列问题：
(1)填空：______；
(2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值．
【变式10-1】（23-24七年级·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶
(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．
(2)当，时，求阴影部分面积．
【变式10-2】（23-24七年级·广东佛山·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．
(1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）；
(2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 ，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）；
(3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由．
【变式10-3】（23-24七年级·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为，长为b的小长方形纸片，不重叠的放在矩形内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②．
(1)用含、b的代数式表示：______________；______________．
(2)用含、b的代数式表示区域①、区域②的面积；
(3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差．
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专题8.1 整式的乘除法【十大题型】
【苏科版2024】
【题型1 由整式乘除法求代数式的值】 3
【题型2 由整式乘除法求字母的值】 4
【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】 7
【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】 10
【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】 13
【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】 15
【题型7 整式乘除法的应用】 17
【题型8 整式乘除法中的规律问题】 20
【题型9 整式乘除法中的新定义问题】 24
【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】 29
知识点：整式的乘法、除法
1．单项式与单项式相乘
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【注意】
（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
2．单项式与多项式相乘
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】
单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检
验在运算中是否漏乘某些项．
（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
3．多项式与多项式相乘
（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
4．单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
5．多项式除以单项式
多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【注意】
（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【题型1 由整式乘除法求代数式的值】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值，将m与n的值代入求解即可．
【详解】解：
∵展开后的结果中不含和的项，
∴，
∴，；
∵，
∴
．
故答案为：．
【变式1-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．先计算出，再根据，可得，，求出、，即可求解．
【详解】解：，
，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
【变式1-2】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的值是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知有理数满足，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了单项式乘单项式，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．已知等式利用非负数性质求出a，b，c的值，代入原式求出值即可．
【详解】解：，
则，
，
．
【题型2 由整式乘除法求字母的值】
【例2】（24-25八年级上·福建泉州·期中）设实数满足，若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，由已知可得，代入进行降次计算可得，进而可得：，，，，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
又∵，
∴
，
，，，
，
故答案为：．
【变式2-1】（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ．
【答案】 1
【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可．
【详解】恒成立，
．
故答案为：1，．
【变式2-2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ．
【答案】
【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键．
【详解】解：
，
的值与无关，
，
．
故答案为：．
【变式2-3】（22-23八年级上·福建福州·阶段练习）若，求 ．
【答案】/0.4
【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解．
【详解】，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了整式的乘法，多项式相等对应项系数相等进解题的关键．
【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】
【例3】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）多项式展开后不含的一次项，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，正确计算多项式乘多项式是解此题的关键．先根据多项式乘以多项式法则进行计算，即可得出，求出即可．
【详解】解：
，
多项式展开后不含的一次项，
，
解得：，
故答案是：．
【变式3-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，代数式求值，先根据多项式乘多项式的运算法则展开乘积，再根据展开式中不含和项，可得含和项的系数为，求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：
，
∵乘积展开式中不含和项，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式3-2】（24-25七年级上·重庆·期末）将展开得到一个关于的多项式，若此关于的多项式中不含二次项和一次项，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，整式的无关项问题，掌握整式的混合运算法则，无关项的含义是解题的关键．
先根据整式的混合运算化简，再根据无关项得到关于的多项式中二次项和一次项的系数，使其为零，可解出的值的，代入计算即可．
【详解】解：
，
∵关于的多项式中不含二次项和一次项，
∴，
解得，，
∴，
故答案为： ．
【变式3-3】（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中的值满足的结果中不含的二次项和一次项．
【答案】，59
【分析】本题主要考查整式的化简求值，涉及两个乘法公式，多项式乘多项式等知识，解题的关键是熟练掌握相关运算法则及乘法公式．利用多项式乘多项式法则计算，由积中不含x的二次项和一次项令其系数为0，即可求出a与b的值，再代入到化简后的整式中求值即可．
【详解】解：
，
．
因为的结果中不含的二次项和一次项，所以，解得．
当时，原式．
【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】
【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，且的值与无关，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的化简求值．根据整式的混合运算顺序和法则化简，根据其值与x无关得出，即可得出答案．
【详解】解：因为
，
因为，
所以
．
由题意，得，
解得．
【变式4-1】（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，．
(1)求证：代数式的值与的取值无关；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查整式的乘法以及化简求值．
（1）将代数式化简即可求解；
（2）计算，进而将字母的值代入，即可求解．
【详解】（1）解：证明：
∴代数式的值与的取值无关
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
【变式4-2】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）计算求值：
(1)计算：；
(2)已知，，求的值．
(3)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数混合运算，同底数幂的乘法公式逆用，幂的乘方公式逆用，整式加减中的无关型问题，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减即可；
（2）先根据，计算得，，再把原式化简为计算即可；
（3）先计算出，根据的值与的取值无关可推出，即可得到值．
【详解】（1）解：
（2）解：，
，
（3）解：， ，
的值与的取值无关
解得：
的值为．
【变式4-3】（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾]
已知代数式的值与的取值无关，求的值．
解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即．
[理解应用]
(1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；
(2)已知的值与无关，求的值；
(3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得．
【详解】（1）解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得；
（2）解：
，
关于的多项式的值与的取值无关的值与无关，
，
解得；
（3）解：设，
由图可知，，，
则
，
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】
【例5】（21-22七年级下·湖南永州·期末）某人计算时，已正确得出结果中的一次项系数为，不小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为 ．
【答案】1
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行运算，再结合所给的条件进行求解即可．
【详解】解：（x－2）（x+■）=x2+（■－2）x－2■，
∵一次项系数为－1，
∴■－2=－1，
解得：■=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算时注意符号的变化．
【变式5-1】（22-23八年级上·河南洛阳·期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ．
【答案】1
【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可．
【详解】解：设，
则原式，
∵结果中的一次项系数为，
∴，解得，
故答案为：1．
【变式5-2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；设一次项系数为，由多项式乘以多项式得，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键．
【详解】解：设一次项系数为，
正确答案是不含三次项，
，
，
故原题中被遮住的一次项系数为．
【变式5-3】（2024七年级上·上海·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
（1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可；
（2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设被遮住的一次项系数为，
即
，
∵这个题目的正确答案不含一次项的，
∴，
解得：，
∴被遮住的一次项系数为．
【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】
【例6】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）小明在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，，从而可求解得．
本题主要考查了整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：由题意可得：，
解得，
故答案为：．
【变式6-1】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
(1)求这个多项式；
(2)求正确的计算结果．
【答案】(1)
(2)正确的计算结果是
【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键．
（1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式的值；
（2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可．
【详解】（1）解：根据题意，
．
（2）解：
．
【变式6-2】（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是．
(1)求这个多项式
(2)正确的计算结果应该是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键．
（1）用错误结果减去，可得出原式；
（2）用计算出的原式乘得出正确结果．
【详解】（1）解：这个多项式是：
，
（2）正确的计算结果为：．
【变式6-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小马虎同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
(1)这个多项式A是多少？
(2)正确的计算结果是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查多项式乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键．
（1）根据多项式的减法计算法则得出代数式A的值；
（2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可．
【详解】（1）解：根据题意，
∴；
（2）解：
．
【题型7 整式乘除法的应用】
【例7】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a．
(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）．
②当时，求园子的面积．
(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）．
【答案】(1)①；②1200
(2)增大；
【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键．
（1）①先用和的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把，代入①中的代数式进行计算即可；
（2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积．
【详解】（1）解：①总长为，宽为，
园子的长为：，
园子的面积为：；
故答案为：；
②当，时，
；
（2）解：园子的宽不变，长增加了，
园子的面积增大了，
在园子的长边上开了1的门，
园子的长为：，
园子的面积为：，
园子增加的面积为：，
答：园子的面积增加了，此时园子的面积．
故答案为：增大．
【变式7-1】（23-24七年级·重庆·期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．
【答案】
【分析】设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为，白黄瓜的种植面积为，青黄瓜的种植面积为，水果黄瓜的种植面积为，据此求出水果黄瓜的产量是，进而得到水果黄瓜的亩产量为，再根据种植面积的比值即可得到答案．
【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为，白黄瓜的种植面积为，青黄瓜的种植面积为，水果黄瓜的种植面积为，
∴青黄瓜的产量为，白黄瓜的产量为，
∴水果黄瓜的产量是，
∴水果黄瓜的亩产量为，
∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为是解题的关键．
【变式7-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上地板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a元/平方米，地板的价格元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？
【答案】需要平方米的地砖，购买地板和地砖至少共需要元
【分析】根据图形表示出客厅，卫生间，以及厨房的面积，相加，在乘地砖的单价；算出卧室的面积，再乘地板的单价，算出总价格即可．
【详解】解：平方米，
元，
则需要平方米的地砖，购买地板和地砖至少共需要元．
【点睛】此题考查了整式的运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-3】（23-24七年级·全国·专题练习）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：a、2a、a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、；配件②是一个正方体，其棱长为a
(1)生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
(2)若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【答案】(1)生产配件①需要的原材料的体积是：a3；生产配件②需要的原材料的体积是：a3
(2)元
【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a的正方体体积，即可得出配件②的体积；
（2）先计算出生产玩具的个数，再计算获利即可．
【详解】（1）生产配件①需要的原材料的体积是：；
生产配件②需要的原材料的体积是：；
（2）根据题意得：（元），
答：体积的这种原材料可使该厂最多获利元．
【点睛】本题主要考查了整式的运算的应用，掌握运算法则是解题的关键．
【题型8 整式乘除法中的规律问题】
【例8】（23-24七年级·四川成都·期中）观察：下列等式，，…据此规律，当时，代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索、求代数式的值，由题意得出根据，结合，得到，求出，代入到代数式求值即可．
【详解】解：∵，，…
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
【变式8-1】（23-24七年级·广东揭阳·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是年11月份的日历，我们任意用一个的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？
(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为 ．
(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)7
(2)有同样的规律，证明见解析
【分析】（1）按照题目要求列式计算即可；
（2）设方框框出的四个数分别为，按照题中方法计算后即可得到结论．
【详解】（1）解：，
故答案为：7；
（2）有同样的规律，
证明：设方框框出的四个数分别为，
则
．
【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，熟练掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键．
【变式8-2】（23-24七年级·福建宁德·期末）“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进行研究．
小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．
例如：
，结果为624；
，结果为2016；
小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．
例如：
，结果为2925；
，结果为2625；
(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算的速算过程；
(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；
(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字母的等式表示该规律．
友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．
【答案】(1)4221
(2)，验证见解析
(3)
【分析】（1）根据小明发现的速算规律对进行计算即可得出答案；
（2）设其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，则另一个两位数的十位数为a，个位数为c，其中，那么这两个两位数分别为，，然后将常规计算得到的结果与小明速算方法得到的结果进行比较即可得出结论；
（3）仔细阅读小红发现的速算规律，再进行推广，并用字母表示出来即可．
【详解】（1）；
（2）小明所发现的速算规律是：，其中．
验证小明的速算规律：
设其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，
则另一个两位数的十位数为a，个位数为c，其中，
∴这两个两位数分别为：，，
常规的计算方法是：
，
∵，
∴，
小明的速算方法是：
，
∴小明的速算方法是正确的．
（3）小颖发现的速算规律是：，其中．
证明如下：
设其中一个两位数的十位数为x，个位数为y，
则另一个两位数的十位数为z，个位数为y，其中，
∴这两个两位数分别为：，，
常规的计算方法是：
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了数字变化的规律，读懂题目中的信息，理解“十位相同，个位互补”和“十位互补，个位相同”数字的变换规律的探索过程是解答此题的关键．
【变式8-3】（23-24七年级·福建宁德·期中）下图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过天是星期 ．
……
……
……
……
【答案】天（日）
【分析】本题考查了多项式乘法的展开式，能发现展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
根据可知除以7的余数为2，从而可得答案．
【详解】解：∵
∴
∴
∴除以7的余数为2，
∴假如今天是星期五，那么再过天是星期天．
故答案为：天．
【题型9 整式乘除法中的新定义问题】
【例9】（23-24七年级·陕西榆林·期末）【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定：．
例如：．
【问题推广】（1）先化简，再求值：，其中，；
【拓展提升】（2）若，求p，q的值
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）先运用新运算法则化简，然后将、代入计算即可；
（2）先对括号内用新运算法则化简，然后再对括号外运算，然后结合即可求解．
【详解】解：（1）
．
当，时，原式；
（2）
．
又∵，
∴，
∴，，
∴，．
【点睛】本题主要考查了新定义运算、整式的四则混合运算、同类项等知识点，理解新运算法则是解答本题的关键．
【变式9-1】（23-24七年级·浙江宁波·期中）定义，如．已知，（为常数）
(1)若，求的值；
(2)若中的满足时，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】()根据题目中的新定义，先化简，然后根据，即可得到的值；
()根据，可以得到的值，再根据，可得，由代入计算即可求解；
本题考查了整式的混合运算、新定义，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
，
；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（）知，，
∵，
，
，
∴
，
，
，
．
【变式9-2】（23-24七年级·湖南株洲·期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；
根据以上信息，完成下列问题:
(1)计算：， ；
(2)计算：；
(3)计算：
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】(1)根据定义即可分别求得结果；
(2)首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果；
(3)首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：，，，，，，，，…，
每4个为一循环，且，
，
．
【点睛】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律．
【变式9-3】（23-24七年级·内蒙古乌兰察布·期末）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果．则称B是A的“郡园多项式”如果，则称B是A的“郡园志勤多项式”．
(1)若，，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由；
(2)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则_____；
(3)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值．
【答案】(1)B是A的“郡园多项式”，理由见解析
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
（1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论；
（2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出；
（3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或．
【详解】（1）解：B是A的“郡园多项式”，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“郡园多项式”；
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“郡园志勤多项式”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（3）解：∵，，
∴
，
当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；
当时，，
∵B是A的“郡园志勤多项式”，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】
【例10】（23-24七年级·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．
请解答下列问题：
(1)填空：______；
(2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求的值，其中；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)24
【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式：
（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可；
（3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可；
（4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：
∵代数式中不含x的一次项，
∴，
∴；
（3）解：
∵，
∴原式；
（4）解：根据题意得：，
整理得：，
∴
．
【变式10-1】（23-24七年级·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶
(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．
(2)当，时，求阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式运算的应用；能表示出阴影部分的面积是解题的关键．
（1）由图可求得小长方形的长为，小长方形的宽为，可求大正方形的边长，由，即可求解；
（2）将，代入计算，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：
长方形的长为： ，
长方形的宽为： ，
大正方形的长为：，
；
（2）解： ，，
．
【变式10-2】（23-24七年级·广东佛山·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．
(1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）；
(2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 ，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）；
(3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)正确，有关，无关
(3)存在使得S为定值，理由见解析
【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．
（1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为；
（2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可；
（3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，
故答案为：；
（2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关，
故答案为：正确，有关，无关；
（3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
∴当时，为定值，定值为．
【变式10-3】（23-24七年级·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为，长为b的小长方形纸片，不重叠的放在矩形内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②．
(1)用含、b的代数式表示：______________；______________．
(2)用含、b的代数式表示区域①、区域②的面积；
(3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题考查了整式加减的应用，找到图中的线段间的关系是解题的关键．
（1）线段为2个小长方形的宽加1个小长方形的长，线段为1个小长方形的宽加1个小长方形的长，列出式子并化简即可；
（2）区域①的面积为长，宽的长方形的面积减去一个边长为的小正方形的面积列式化简即可得出；区域②的面积：长为小长方形纸片的长，宽为的长方形的面积加上一个边长为的小正方形的面积列式化简即可得出；
（3）将两式相减化简后，将值代入即可得出答案．
【详解】（1）小长方形纸片宽为，长为b
，
故答案为：，；
（2）由图可知，，，
，
区域①的面积为：
区域②的面积为：
；
（3）由（2）知，区域①的面积为：，区域②的面积为：
区域①、区域②的面积的差为：
当=，时，原式
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