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专题7.1 幂的运算【八大题型】
【苏科版2024】
【题型1 由幂的运算进行求化简求值】 3
【题型2 由幂的运算进行简便运算】 4
【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】 6
【题型4 由幂的运算求字母的值】 7
【题型5 由幂的运算表示代数式】 9
【题型6 由幂的运算比较大小】 11
【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】 14
【题型8 幂的运算中的新定义问题】 16
知识点：幂的运算
1．同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==．
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．
（m，n，…，p都是正整数）．
（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．
2．幂的乘方
（1）幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．
（2）幂的乘方法则：
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【拓展】
幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）．
（2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）．
3．积的乘方
（1）积的乘方的意义：
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
（积的乘方的意义）
=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）
=a3b3．
积的乘方法则：
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有．
语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】
（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，
例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
【题型1 由幂的运算进行求化简求值】
【例1】（24-25八年级上·广东广州·期末）若，则 ．
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ．
【变式1-3】（24-25八年级上·广东潮州·期末）若，，则 ．
【题型2 由幂的运算进行简便运算】
【例2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算
【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）计算：．
【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】
【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式3-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则 .
【变式3-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则 ．
【变式3-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，求的值
【题型4 由幂的运算求字母的值】
【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式4-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）若与的和是单项式，则
【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ．
【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ．
【题型5 由幂的运算表示代数式】
【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）（推理能力）阅读下面例题的解题过程：
例：已知，请你用含的代数式表示．
解：因为，所以，或．
解决问题：若，试用含的代数式表示．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，用含有m，n的代数式表示．
【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，试用的代数式表示．
【变式5-3】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知
(1)求的值．
(2)若用含x的代数式表示y值．
(3)求
【题型6 由幂的运算比较大小】
【例6】（23-24七年级·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较和的大小．
解：∵，且
∴，即
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较和的大小
解：∵，且
∴，即
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较、、的大小
(2)比较、、的大小
(3)已知，，比较a、b的大小
【变式6-1】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）比较大小： （用“＞”“＜”或“＝”填空）．
【变式6-2】（23-24七年级·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ．
【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则的大小关系是 （填“”或“”）．
解：；，且，
，
，
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(2)比较的大小；
(3)比较与的大小．
【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】
【例7】（2024七年级·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是
①；②；③；④
【变式7-1】（2024·河北唐山·七年级期末）若，则k与m（k，m都为正整数，且）的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24七年级·江苏泰州·阶段练习）已知，，，那么，，满足的等量关系是 ．
【变式7-3】（23-24七年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
【题型8 幂的运算中的新定义问题】
【例8】（23-24七年级·湖北随州·期末）阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，，则，
∴，由对数的定义得
又∵，
∴．
请解决以下问题：
(1)将指数式转化为对数式_______；
(2)求证： ；
(3)拓展运用：计算______．
【变式8-1】（23-24七年级·山东济南·期中）我们定义：三角形＝ab ac，五角星＝z （xm yn），若＝4，则的值＝ ．
【变式8-2】（23-24七年级·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ．
【变式8-3】（23-24七年级·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，；
(1)请根据上述定义，填空：
______；______；______；
(2)已知，，，且，求的值．
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专题7.1 幂的运算【八大题型】
【苏科版2024】
【题型1 由幂的运算进行求化简求值】 3
【题型2 由幂的运算进行简便运算】 4
【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】 6
【题型4 由幂的运算求字母的值】 7
【题型5 由幂的运算表示代数式】 9
【题型6 由幂的运算比较大小】 11
【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】 14
【题型8 幂的运算中的新定义问题】 16
知识点：幂的运算
1．同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==．
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．
（m，n，…，p都是正整数）．
（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．
2．幂的乘方
（1）幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．
（2）幂的乘方法则：
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【拓展】
幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）．
（2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）．
3．积的乘方
（1）积的乘方的意义：
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
（积的乘方的意义）
=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）
=a3b3．
积的乘方法则：
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有．
语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】
（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，
例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
【题型1 由幂的运算进行求化简求值】
【例1】（24-25八年级上·广东广州·期末）若，则 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：8．
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：因为，
所以，
所以
故答案为：．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ．
【答案】54
【分析】本题考查了幂的乘法的逆用，根据进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：54．
【变式1-3】（24-25八年级上·广东潮州·期末）若，，则 ．
【答案】16
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，式子变形得出再代入即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：16．
【题型2 由幂的运算进行简便运算】
【例2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数乘方运算及积的乘方逆运算．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是将两个因数的指数变为相同．根据积的乘方的逆用可以简化计算．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式2-2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算
【答案】
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方．逆用幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘等知识，逆用幂的乘方法则、同底数幂相乘法则计算即可．
【详解】解：原式
【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】
【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．将变形成，即可得到答案．
【详解】解：，
，
故选B．
【变式3-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则 .
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，先根据题意得到，再根据幂的乘方计算和同底数幂除法计算法则得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
，
故答案为：．
【变式3-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键．
由，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：16．
【变式3-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，求的值
【答案】8
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方．根据幂的乘方结合同底数幂的乘法法则得到，再整体代入求解即可，
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【题型4 由幂的运算求字母的值】
【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据求解即可得．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式4-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）若与的和是单项式，则
【答案】4
【分析】本题考查同类项的定义以及幂的运算，解题的关键是根据两个单项式的和是单项式得出这两个单项式是同类项．
先根据两个单项式的和是单项式判断出它们是同类项，再根据同类项定义求出m，n的值，最后代入计算．
【详解】由题意可得：
，解得，
，
将代入，
可得：．
故答案为：4．
【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）．根据幂的乘方法则化简后得出即可求解．
【详解】解：因为，
所以，
解得．
故答案为：1．
【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，正确运用法则是解题的关键．先根据同底数幂的乘法法则进行运算，根据底数相同，指数也相同即可列方程求解．
【详解】解：，
，
，
解得，
故答案为：2．
【题型5 由幂的运算表示代数式】
【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）（推理能力）阅读下面例题的解题过程：
例：已知，请你用含的代数式表示．
解：因为，所以，或．
解决问题：若，试用含的代数式表示．
【答案】．
【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方．逆用积的乘方得到，再逆用幂的乘方得到，代入数据求解即可．
【详解】解：．
将代入，得．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，用含有m，n的代数式表示．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键．
（1）先逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则变形，然后把代入计算；
（2）先逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则变形，然后把代入计算．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，试用的代数式表示．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则．
把所求的底数12写成的形式，然后利用积的乘方法则进行计算，再根据幂的乘方法则，写成含有的形式，然后把已知条件中的换成即可．
【详解】解：
．
【变式5-3】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知
(1)求的值．
(2)若用含x的代数式表示y值．
(3)求
【答案】(1)1
(2)
(3)2
【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理，再分别代入进行计算，即可作答．
（2）运用幂的乘方得出，再代入，进行化简，即可作答．
（3）先整理出，，然后得出，即，再结合，把代入求值，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
．
（2）解：∵
∴
（3）解：∵
∴，
即，
∵
∴
即，
∴，得，
即，
∴，
．
【题型6 由幂的运算比较大小】
【例6】（23-24七年级·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较和的大小．
解：∵，且
∴，即
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较和的大小
解：∵，且
∴，即
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较、、的大小
(2)比较、、的大小
(3)已知，，比较a、b的大小
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
（1）根据，，，再比较底数的大小即可；
（2）根据，，，再比较底数的大小即可；
（3）根据，，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴，
即；
（3）解：∵，，
又∵，
∴．
【变式6-1】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）比较大小： （用“＞”“＜”或“＝”填空）．
【答案】＞
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，先整理，，结合，得出，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴
∴
故答案为：＞．
【变式6-2】（23-24七年级·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则的大小关系是 （填“”或“”）．
解：；，且，
，
，
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(2)比较的大小；
(3)比较与的大小．
【答案】(1)C
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算：
（1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可；
（2）根据，，进行求解即可；
（3）根据，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则，
故答案为：C；
（2）解：∵，，，且，
∴；
（3）解：∵，，且，
∴．
【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】
【例7】（2024七年级·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是
①；②；③；④
【答案】①②③
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断．
【详解】解：，,
，
，
，②关系成立；
，
，①关系成立；
，
，③关系成立；
则①②③成立，
故答案为：①②③．
【变式7-1】（2024·河北唐山·七年级期末）若，则k与m（k，m都为正整数，且）的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据幂的意义得出，然后利用幂的乘方可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式7-2】（23-24七年级·江苏泰州·阶段练习）已知，，，那么，，满足的等量关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，根据题意，得到，逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式7-3】（23-24七年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
【答案】3a+b-c=2
【分析】由题意知，则有，化简求解即可．
【详解】解：由题意知
∴
∴
∴
∴a、b、c之间满足的等量关系是
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法．解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘法、同底数幂的除法的运算法则．
【题型8 幂的运算中的新定义问题】
【例8】（23-24七年级·湖北随州·期末）阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若 (且)，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，，则，
∴，由对数的定义得
又∵，
∴．
请解决以下问题：
(1)将指数式转化为对数式_______；
(2)求证： ；
(3)拓展运用：计算______．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．
（2）根据指数与对数的关系求证．
（3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解．
【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：．
故答案为：．
（2）解：设 ，则，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键．
【变式8-1】（23-24七年级·山东济南·期中）我们定义：三角形＝ab ac，五角星＝z （xm yn），若＝4，则的值＝ ．
【答案】32
【分析】根据题意可得出算式，根据同底数幂的乘法得出，求出，根据题意得出所求的代数式是，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：根据题意得：，
所以，
即，
所以
，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是能灵活运用整式的运算法则进行计算．
【变式8-2】（23-24七年级·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．设，，，易得，，，且，然后根据，即可求得的值．
【详解】解：设，，，
则有，，，且，
∴，即有．
故答案为：30．
【变式8-3】（23-24七年级·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，；
(1)请根据上述定义，填空：
______；______；______；
(2)已知，，，且，求的值．
【答案】(1)2，6，4；
(2)．
【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案；
（2）根据新定义可得，，，然后利用同底数幂的乘法法则求出即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，， ，
故答案为：2，6，4；
（2）解：∵，，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、新定义、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，正确理解新定义是解题的关键．
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