6.1 平面向量的概念 —— 高一数学人教 A 版（2019）必修第二册同步课时作业（含解析）

6.1 平面向量的概念
高一数学人教 A 版（2019）必修第二册同步课时作业
一、选择题（每题 5 分，共 50 分）
1.下列物理量中，不是向量的是（ ）
A. 质量B. 速度C. 位移D. 力
2.下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 向量就是有向线段
C. 只有零向量的模等于 0
D. 单位向量都相等
3.若向量与不相等，则与一定（ ）
A. 有不相等的模
B. 不共线
C. 不可能都是零向量
D. 不可能都是单位向量
4.已知，则四边形是（ ）
A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 正方形
5.如图，在正六边形中，与相等的向量是（ ）
A. B. C. D.
6.下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
7.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
8.设，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 以上都不对
9.若，，是直线上不同的三个点，若不在上，存在实数使得，则（ ）
A. B. C. D. 或
10下列说法中：
① 两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
② 两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
③ 两个有共同起点且共线的向量，其终点一定相同；
④ 若，则，反之也成立。
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题（每题 5 分，共 25 分）
11.与非零向量平行的单位向量有______个。
12.已知与是两个不共线向量，且，（），若，，，四点共线，则______。
13.给出下列命题：① 若与同向，且，则；
② 若，则与的长度相等且方向相同或相反；
③ 若，且与方向相同，则；
④ 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任何向量平行；
⑤ 若向量与平行，则向量与方向相同或相反。
其中正确命题的序号是______。
14.已知，，，，且四边形为平行四边形，则______。（填序号）
① ；
② ；
③ ；
④ 。
15.已知向量，满足，，且与的夹角为，则______。
三、解答题（16 题 10 分，17 题 12 分，18 题 13 分，共 35 分）
16.已知，是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由。
(1) ； (2) 。
17.设点为正八边形ABCDEFGH的中心，分别写出与OA、OB、OC、OD相等的向量
18已知，，是不共线的三点，是内一点，若，求证：是的重心。
【答案】与【解析】
1.【答案】：A
【解析】：向量是既有大小又有方向的量，质量只有大小没有方向，不是向量；速度、位移、力都既有大小又有方向，是向量。
2.【答案】：C
【解析】：零向量方向是任意的，A 错误；有向线段只是向量的一种表示形式，向量与有向线段不是等同概念，B 错误；只有零向量的模为 0 ，C 正确；单位向量模都为 1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，D 错误。
3.【答案】：C
【解析】：若与不相等，它们可能模相等方向不同，也可能共线，A、B 错误；若，都是零向量，则，所以与不相等时，不可能都是零向量，C 正确；它们可能都是单位向量但方向不同，D 错误。
4.【答案】：B
【解析】：因为，即平行且等于，所以四边形是平行四边形。
5.【答案】：B
【解析】：在正六边形中，与方向相同，长度相等，所以。
6.【答案】：B
【解析】：向量相等不仅模相等，方向也要相同，A 错误；若，则，B 正确；向量不能比较大小，C 错误；若，则，是向量，0 是数量，D 错误。
7.【答案】：A
【解析】：，所以与共线，，，三点共线。
8.【答案】：C
【解析】：单位向量模都为 1，即，但方向不一定相同或平行，所以不一定等于，也不一定平行。
9.【答案】：C
【解析】：因为，，共线，对于，变形可得，即，由于，，共线，所以。
10【答案】：B
【解析】：① 两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；② 两个有公共终点的向量，不一定共线，错误；③ 两个有共同起点且共线的向量，终点不一定相同，错误；④ 若，则，反之，方向不一定相同，所以不一定等于，错误。所以正确的只有 1 个。
11.【答案】：2
【解析】：与非零向量平行的单位向量方向与相同或相反，所以有 2 个。
12.【答案】：1
【解析】：因为，，，四点共线，则存在实数，使得，又，，所以，因为与不共线，则，，即。
13.【答案】：③
【解析】：① 向量不能比较大小，错误；② 若，只能说明长度相等，方向不一定相同或相反，错误；③ 正确；④ 零向量与任意向量平行，错误；⑤ 若其中有零向量，零向量方向任意，错误。
14.【答案】：②
【解析】：因为四边形是平行四边形，则，即，移项可得。
15.【答案】：
【解析】：，所以。
16.(1) 【答案】：假命题
【解析】：当，不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，；当，共线且同向时，，所以原命题为假命题。
(2) 【答案】：假命题
【解析】：当，不共线时，根据三角形两边之差小于第三边，；当，共线且同向时，（）或（）；当，共线且反向时，（），所以原命题为假命题。
17.【【答案】】OA=EO,OB=FO,OC=GO,OD=HO
【分析】根据正八边形的性质及相等向量的定义判断即可.
【详解】依题意可得OA=EO,OB=FO,OC=GO,OD=HO
18.证明：设中点为，则（平行四边形法则：以，为邻边作平行四边形，对角线交点为，则等于过点与平行的对角线向量，且 ）。
因为，所以，即，这表明，，三点共线，且。
根据三角形重心的定义，三角形重心是三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍。这里是的一条中线，在上且满足 ，所以是的重心。同理，若分别取、边的中点、，通过相同的向量运算和推理方式，也能得出在和上，且满足重心到顶点与对边中点的距离关系，进一步验证就是三条中线的交点，即重心。