19.1.1 第二课时 函数 教学设计 人教版数学八年级下册

第十九章一次函数
19.1.1 第二课时《函数》
教学设计
一、教学目标
1.深入理解函数的概念，能够精准识别函数关系中的自变量和函数。
2.透彻理解函数值的含义，并熟练掌握函数值的计算方法。
3.亲身经历由实际问题抽象出数学概念的完整过程，全面发展分析问题和解决问题的能力，提升逻辑思维与归纳总结能力。
核心素养目标
学会运用运动、变化的观点观察和分析事物，深切体验生活中广泛存在的函数关系，增强对数学的应用意识和学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点
全面了解函数的概念，清晰把握函数与自变量之间的内在关系。
熟练运用函数概念解决实际问题。
难点
准确确定函数中自变量的取值范围，充分考虑实际问题的限制条件。
深刻理解函数概念中 “对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与其对应” 这一核心要点。
三、教学过程
（一）知识回顾 ——“旧知唤醒新探索”
忆一忆
甲、乙两地相距 s 千米，某人行驶全程所用的时间t(小时)与他的速度 v(千米/时)满足 vt = s，在这个变化过程中，下列判断中错误的是( )
A. s 是变量 B. t 是变量
C. v 是变量 D. s 是常量
设计意图：通过回顾 “常量与变量” 的相关知识，为引入函数概念做好铺垫，帮助学生建立知识之间的联系，降低学习函数概念的难度。
（二）问题探究 ——“变量关系大揭秘”
问题1 在上一节课课本P71的问题(1)～(4)中，是否都存在两个变量？请你写出能表示同一个问题中的两个变量之间对应关系的式子.
问题(1)～(4)中都存在两个变量，表示两个变量之间的关系式分别为：s = 60t，y =10x，S=πr2，y=5-x.
问题2在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是唯一确定的吗？两个变量之间的对应关系有什么共同特征？
上面4个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
设计意图：引导学生对已学的实际问题进行深入分析，找出其中的变量关系，为归纳函数概念积累具体素材，培养学生的观察、分析和归纳能力。
（三）深入思考 ——“函数本质初窥探”
思考
(1)如图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？
(2)下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量 x 与 y，对于表中每一个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数 y 吗？
思考中的(1)(2)都满足 y 随 x 的变化而变化，且当 x取定一个值时，y 都有唯一确定的值与其对应.
设计意图：通过心电图和人口数统计表这两个实际例子，进一步强化学生对变量之间 “一对一” 对应关系的认识，为抽象出函数概念提供更多的感性认识，让学生在不同情境中体会函数的本质特征。
（四）概念归纳 ——“函数定义巧得出”
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值.
在P71的问题(1)～(4)及前面思考(1)(2)的两个变量中，哪些是自变量，哪些是自变量的函数.
当 t =1时，函数值 s =60；
当 t =2时，函数值 s =120；……
(1)在心电图中，时间 x 是自变量，心脏部位的生物电流 y 是 x 的函数.
(2)在人口数统计表中，年份 x 是自变量，人口数 y 是x 的函数.
当 x =1984时，函数值 y =10.34；
当 x =1989时，函数值 y =11.06；……
设计意图：在对多个实际问题进行分析的基础上，引导学生抽象概括出函数的概念，使学生从感性认识上升到理性认识，培养学生的抽象思维能力和数学语言表达能力。
（五）例题讲解 ——“函数应用展身手”
例1 汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y(单位:L)随行驶路程 x(单位:km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子.
(2)指出自变量 x 的取值范围.
(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？
解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x的函数，它们的关系为y =50-0.1 x
0.1 x表示什么意思？
(2)仅从式子 y =50-0.1x 看，x 可以取任意实数.但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即
0.1x≤50
因此，自变量 x 的取值范围是
0≤x≤500
(3)汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数 y =50-0.1x 在 x =200时的函数值.
将 x =200代入 y =50-0.1x，得
y=50-0.1×200=30
汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.
像 y =50-0.1 x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用的方法.这种式子叫做函数的解析式.
设计意图：通过具体的例题，让学生学会运用函数概念解决实际问题，掌握求函数解析式、确定自变量取值范围和计算函数值的方法，加深对函数概念的理解和应用能力，同时体会数学与实际生活的紧密联系。
（六）课堂练习 ——“知识巩固促提升”
练习
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
(1)改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.
(2)每分向一水池注水0.1m3，注水量y(单位：m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化.
(3)秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面 积y(单位：m2)随这个村人数n的变化而变化.
(4)水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，水池中的水量V(单位：L)随时间t(单位：h)的变化而变化.
解：(1)x是自变量，S是x的函数，S=x2.(2) x是自变量，y是x的函数，y=0.1x.
(3) n是自变量，y是n的函数，y=.(4) t是自变量，V是t的函数，V=10-0.05t.
2.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长x cm大于上底长但不超过5cm.写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
解：面积S关于x的函数解析式为，整理得 ，自变量x的取值范围是 2＜x≤5.
设计意图：通过课堂练习，及时巩固学生所学的函数概念、函数解析式的书写、自变量取值范围的确定和函数值的计算等知识，反馈学生对知识的掌握情况，发现学生存在的问题并及时进行纠正和指导。
（七）课堂小结 ——“知识梳理再升华”
本节课你有哪些收获？
还有没解决的问题吗？
设计意图：引导学生对本节课所学内容进行全面总结，梳理知识体系，强化重点知识，同时鼓励学生提出疑问，培养学生的反思总结能力和问题意识。
四、总结
同学们，在今天的数学学习中，我们一同踏上了函数的探索之旅。从最初对常量与变量的回顾，到通过多个实际问题深入分析变量之间的关系，我们逐步揭开了函数的神秘面纱。函数就像一座桥梁，将两个相互关联的变量紧密连接在一起，让我们看到了事物之间的变化规律和内在联系。我们学会了如何识别自变量和函数，如何写出函数的解析式，如何确定自变量的取值范围以及如何计算函数值。这些知识不仅是数学学习的重要组成部分，更是我们理解和描述现实世界中各种变化现象的有力工具。希望大家在今后的学习和生活中，能够继续保持对函数的探索热情，用函数的眼光去观察世界，用函数的思维去解决问题，让数学的魅力在生活中绽放出更加耀眼的光芒。
五、教学反思
（一）成功之处
知识衔接自然：通过对 “常量与变量” 知识的回顾，为函数概念的引入搭建了桥梁，使学生能够在已有知识的基础上顺利过渡到新的学习内容，降低了学习难度，增强了学生的学习信心。
情境创设丰富：运用多个实际问题情境，如汽车行驶、心电图、人口统计等，让学生在熟悉的场景中感受变量之间的对应关系，激发了学生的学习兴趣，提高了学生对函数概念的理解和应用能力。
教学方法得当：采用问题引导、小组讨论、归纳总结等多种教学方法，引导学生积极参与课堂活动，培养了学生的观察、分析、归纳和解决问题的能力，促进了学生思维的发展。
（二）不足之处
概念理解深度不够：在讲解函数概念时，虽然通过多个例子进行了说明，但部分学生对 “对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与其对应” 这一核心要点的理解仍不够深入，需要在今后的教学中进一步加强解释和练习。
自变量取值范围确定困难：在确定自变量取值范围时，部分学生对实际问题的限制条件考虑不够全面，导致取值范围确定不准确。在今后的教学中，应加强对实际问题的分析和引导，让学生学会从实际出发，准确确定自变量的取值范围。
课堂互动不均衡：在课堂讨论和互动环节，部分学生参与度较高，而部分学生则较为被动。在今后的教学中，应更加关注全体学生的参与情况，采用多样化的互动方式，鼓励更多学生积极参与课堂活动。
（三）改进措施
强化概念教学：通过更多的实例和对比分析，加深学生对函数概念核心要点的理解，让学生在不同情境中准确判断变量之间是否构成函数关系。
加强实际问题分析：在讲解例题和练习题时，引导学生仔细分析实际问题的背景和条件，逐步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高学生确定自变量取值范围的准确性。
优化课堂互动：设计更加合理的小组活动和问题，确保每个学生都有参与的机会，同时加强对学生的鼓励和引导，提高学生的参与积极性和主动性。
六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见