§2.2.1椭圆及其标准方程（1）
●教学目标
1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导；
2．掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距；
3．了解建立坐标系的选择原则.
●教学重点：椭圆的标准方程及定义
●教学难点：椭圆标准方程的推导
●教学过程
Ⅰ.复习回顾：
在日常生活中，大家对椭圆已存有一定的认识，为使大家掌握椭圆的本质特征，这一节，我们开始研究椭圆.
Ⅱ.讲授新课：
1．椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
说明：要求学生注意常数要大于∣F1F2∣的条件，明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段.
2．椭圆的标准方程：
（1）椭圆标准方程的推导
如图2.2-2，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.
由椭圆定义，椭圆就是集合P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝
因为∣MF1∣= ∣MF2∣=
所以得：+=2a
整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2).由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0.
令a2－c2=b2，其中b＞0，代入上式整理得：
说明：其中具体整理步骤让学生自得.
（2）椭圆的标准方程
焦点在x轴上：
说明：焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2－b2.
焦点在y轴上：
说明：焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2.
注：①两种形式中，总有a>b>0；
②两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；
③a、b、c始终满足c2=a2－b2；
3．例题讲解：
例1 已知两个焦点的坐标分别是（－2，0）、（2，0），并且椭圆经过点，求它的标准方程。
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知：
2a=
∴a=，又c=2 ∴b2=a2－c2=6所以所求椭圆方程为
说明：例1要求学生熟练应用c2=a2－b2关系式求解椭圆标准方程.
例2 如图，在圆上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0），则
x=x0, y=.
因为P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4. ①
将x0=x, y0=2y代入方程①， 得
x2+4y2=4 即 + y2=1
所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
说明：①本题在求点M(x,y)的轨迹方程时，不是直接建立关于x,y之间关系的方程，而是先寻找x,y与中间变量x0,y0之间的关系，利用已知关于x0,y0之间关系的方程，得到关于x,y之间关系的方程.这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法.
②如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆.
③由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆.
Ⅲ.课堂练习：
课本P45练习1，2，3，4
●课堂小结
通过本节学习，要求大家理解并掌握椭圆定义，并熟练掌握椭圆的两种标准方程及应用.
●课后作业
P53习题2.2 A组 1，2§2.2.1椭圆及其标准方程（2）
●教学目标
1．熟练掌握椭圆的两个标准方程；
2．能应用特定系数法求椭圆的标准方程.
●教学重点
椭圆标准方程的两种形式
●教学难点
两种椭圆标准方程的区分和应用
●教学过程
Ⅰ.复习回顾：
师：上一节，我们学习了椭圆的定义并推导了椭圆的标准方程，下面作简要的回顾（略）.这一节，我们来继续熟悉椭圆定义及标准方程的应用.
Ⅱ.讲授新课：
例2 已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.
分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.
在右图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即
∣AB∣+∣AC∣=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）
解：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.
由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16，∣BC∣=6，有∣AB∣+∣AC∣=10，即点A的轨迹是椭圆，且
2c=6, 2a=16－6=10
∴c=3, a=5, b2=52－32=16
但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是
说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；
②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.
例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0），则
x=x0, y=.
因为P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4. ①
将x0=x, y0=2y代入方程①， 得
x2+4y2=4 即 + y2=1
所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
说明：①本题在求点M(x,y)的轨迹方程时，不是直接建立关于x,y之间关系的方程，而是先寻找x,y与中间变量x0,y0之间的关系，利用已知关于x0,y0之间关系的方程，得到关于x,y之间关系的方程.这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法.
②如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆.
③由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆.
例4 已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.
解：把已知椭圆方程变为
从而焦点F的坐标为（0，3）设点P坐标为（x,y），Q点的坐标为（x1,y1）,则 25x12+16y 12=400 ①
由P分所成比为2，得∴x1=3x, y1=3y－6 代入①得：
225x2+144y2－576y+176=0.
Ⅲ.课堂练习：
1．椭圆 上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
2．椭圆 的焦距是2，则 的值等于（ ）
A．5或3 B．5 C．8 D．16
3．焦点坐标为（0，－4）、（0，4）， 的椭圆的标准方程为_________________．
4．已知椭圆 ， 、 是它的焦点， 是过 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的周长为__________________．
答案：1．B 2．A 3． 4．
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家进一步熟悉椭圆的定义与标准方程，并能熟练掌握它们的应用.
●课后作业
P53习题2.2 B组 1，2
