2.6一元一次不等式组（第二课时）培优练习（含解析）

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2.6一元一次不等式组（第二课时）培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
知识点：一元一次不等式组的实际应用
1．“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元．
（1）求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？
（2）若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？
2．某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
3．春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
4．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg．
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
5．刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
6．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
7．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元．
（1）求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
（2）经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
8．某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
9．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
10．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
（2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
11.某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
第一次 第二次
甲品牌耳机（个） 20 30
乙品牌耳机（个） 40 50
总费用（元） 10800 14600
（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
12．某中学为落实体育中考的要求，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元．
（1）求篮球和足球的单价分别是每个多少元？
（2）学校计划采购篮球，足球共100个，并要求篮球个数不超过足球个数的三倍，且总费用不超过8300元．求有几种购买方案？（不要求写出具体方案）
（3）购买时发现，每个篮球上涨了a元，足球价格不变，在（2）的条件下，最低费用需8625元，请直接写出a的值．
13．某商店购进甲，乙两种商品，若购进甲种商品5件和乙种商品6件，共需950元；若购进甲种商品3件和乙种商品2件，共需450元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若商店计划甲商品每件售价130元，乙商品每件售价95元，根据市场需求，购进的乙商品数量比购进的甲商品数量的2倍还多4件，且乙商品最多可购进40件，销售完后总利润不低于1200元，共有多少种进货方案？
（3）为减少库存，采取优惠活动，现决定购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品售价下调a元（5≤a≤15），乙种商品售价保持原价．若该商店保持甲、乙两种商品进价不变，并且该商店无论如何进货，甲乙两种商品销售总利润不变，求出a的值．
14．足球世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元．
（1）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（2）在（1）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，求出a的值．
15.为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，如表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间 销售数量（个） 销售收入（元） （销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号 乙种型号
第一月 22 8 1100
第二月 38 24 2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下，该超市如何购进甲、乙两种型号水杯才能使第三个月的利润最大，并求出第三月的最大利润．
参考答案
1．解：（1）设甲种类型每千克x元，乙种类型每千克y元，
∴，
∴．
答：甲种类型稻花香每千克20元，乙种类型每千克16元；
（2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，
∴20m+16（1000﹣m）≤18000，
∴m≤500．
答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克．
2．解：（1）设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x，y．
则，
解得，
答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．
（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，
根据题意，得60m+80（70﹣m）≤5000，
解得m≥30，
答：至少应购买B款纪念品30个．
3．解：（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，
由题意得：，
解得：，
答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米；
（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，
由题意得：4m+3（50﹣m）≤165，
解得：m≤15，
答：该中学最多编织15个大号中国结．
4．解：（1）设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克；
（2）设A种水果的销售单价为m元/千克，
根据题意得：1000×（1﹣4%）m﹣10×1000≥10×1000×20%，
解得：m≥12.5，
∴m的最小值为12.5．
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/千克．
5．解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元；
（2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件，
根据题意得：300m+200（200﹣m）≤50000，
解得：m≤100，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
6．解：（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；
（2）设购进m件A商品，则购进（60﹣m）件B商品，
根据题意得：，
解得：19≤m≤20，
∴m的最大值为20．
答：购进A商品的件数最多为20件．
7．解：（1）设购买每辆A型新能源公交车需x万元，每辆B型新能源公交车需y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买每辆A型新能源公交车需60万元，每辆B型新能源公交车需80万元；
（2）设购买m辆A型新能源公交车，则购买（10﹣m）辆B型新能源公交车，
根据题意得：60m+80（10﹣m）≤650，
解得：m，
设该线路的年均载客总量为w万人次，则w＝70m+100（10﹣m），
即w＝﹣30m+1000，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m，且m为正整数，
∴当m＝8时，w取得最大值，最大值为﹣30×8+1000＝760，此时10﹣m＝10﹣8＝2．
答：当购买8辆A型新能源公交车，2辆B型新能源公交车时，年均载客总量最大，最大值为760万人次．
8．解：（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品（40﹣a）件，
根据题意可得：10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
W＝20a+30（40﹣a）＝﹣10a+1200，
∵﹣10＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W取最小值，W＝﹣10×25+1200＝950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
9．解：（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则，
解得：，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇（80﹣m）箱，
则，
解得：40≤m≤42，
∵m为正整数，
∴m＝40，41，42，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得（40﹣1）×（50﹣40）+（40﹣1）×（180﹣150）+（50 40）+（180 150）＝1577，
解得：a＝9；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得（41﹣1）×（50﹣40）+（39﹣1）×（180﹣150）+（50 40）+（180 150）＝1577，
解得：a≈9.9（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得（42﹣1）×（50﹣40）+（38﹣1）×（180﹣150）+（50 40）+（180 150）＝1577，
解得：a≈10.7（不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
10．解：（1）设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元；
（2）设购买m个甲种品牌毽子，则购买（100m）个乙种品牌毽子，
根据题意得：，
解得：m≤64，
又∵m，（100m）均为正整数，
∴m可以为60，62，64，
∴学校共有3种购买方案，
方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；
方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；
方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子；
（3）学校选择方案1商家可获得的总利润为5×60+4×10＝340（元）；
学校选择方案2商家可获得的总利润为5×62+4×7＝338（元）；
学校选择方案3商家可获得的总利润为5×64+4×4＝336（元）．
∵340＞338＞336，
∴在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元．
11.解：（1）设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，
根据题意得：，
即，
解得：．
答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元；
（2）设第三次购进m个甲品牌耳机，则购进（200﹣m）个乙品牌耳机，
根据题意得：，
解得：30≤m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多能购进50个甲品牌耳机．
12．解：（1）设篮球的单价是x元/个，足球的单价是y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价是80元/个，足球的单价是90元/个；
（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，
根据题意得：，
解得：70≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以为70，71，72，73，74，75，
∴共有6种购买方案．
答：共有6种购买方案；
（3）当0＜a＜10时，篮球的单价低于足球的单价，
∴购买75个篮球时，费用最低，
∴75（80+a）+90×25＝8625，
解得：a＝5；
当a≥10时，篮球的单价不低于足球的单价，
∴购买70个篮球时，费用最低，
∴70（80+a）+90×30＝8625，
解得：a（不符合题意，舍去）．
答：a的值为5．
13．解：（1）设每件甲种商品的进价是x元，每件乙种商品的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件甲种商品的进价是100元，每件乙种商品的进价是75元；
（2）设购进m件甲种商品，则购进（2m+4）件乙种商品，
根据题意得：，
解得：16≤m≤18，
又∵m为正整数，
∴m可以为16，17，18，
∴共有3种进货方案；
（3）设购进n件甲种商品，该商店销售完两种商品后获得的总利润为w元，则购进（100﹣n）件乙种商品，
根据题意得：w＝（130﹣a﹣100）n+（95﹣75）（100﹣n），
即w＝（10﹣a）n+2000，
∵w的值与n值无关，
∴10﹣a＝0，
解得：a＝10．
答：a的值为10．
14．解：（1）①由题意可得，
y＝60x+40（100﹣x）＝20x+4000，
即y与x之间的函数关系式是y＝20x+4000；
②∵y＝20x+4000，
∴y随x的增大而增大，
∵购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
∴，
解得60≤x≤80，
∴当x＝80时，y取得最大值，此时y＝5600，
答：最大利润为5600元；
（2）由题意可得，
y＝（60﹣a）x+40（100﹣x）＝（20﹣a）x+4000（60≤x≤80），
∵15＜a＜25，全部足球售完后最大利润为4240元，
∴当15＜a＜20时，20﹣a＞0，y随x的增大而增大，则x＝80时，y取得最大值，
即（20﹣a）×80+4000＝4240，
解得a＝17；
当a＝20时，利润都是4000，不符合题意；
当20＜a＜25时，20﹣a＜0，y随x的增大而减小，则x＝60时，y取得最大值，
即（20﹣a）×60+4000＝4240，
解得a＝16（不符合题意，舍去）；
由上可得，a的值是17．
15．解：（1）设甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为x元、y元，
，解得，，
答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；
（2）由题意可得，
，
解得：50≤a≤55，
w＝（30﹣25）a+（55﹣45）（80﹣a）＝﹣5a+800，
故当a＝50时，w有最大值，最大为550，
答：第三月的最大利润为550元．
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