6.2平行四边形的判定培优专题训练（含答案）

6.2平行四边形的判定培优专题训练北师大版2024—2025八年级下册
1．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
2．如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．求证：
（1）DE＝BF；
（2）四边形AFCE是平行四边形．
3．已知：如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，AD＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16．
①求∠BOA的度数；
②求四边形ABCD的面积．
5．在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
6．如图，在 ABCD中，E，F两点分别在边AB，CD上，连接DE，BF，AF，且∠ADE＝∠CBF．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，DE⊥AB，且AD＝6，AF＝10，求AE的长．
7．如图，已知AC垂直平分BD，DF⊥BD，∠ABC＝∠DCF．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）若DF＝CF＝5，CD＝6，求BD的长．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．
9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AO＝CO，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16．
①求∠BOA的度数；
②求四边形ABCD的面积．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
11．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
12．如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD，AB＝4，EF＝3，试求四边形ABCD的面积．
13．如图已知A、D两点的坐标分别为A（a，b），D（0，﹣a），且满足将线段AD向右平移到BC，连接DC，AB得四边形ABCD且S四边形ABCD＝12．
（1）则点B的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　；
（2）若点P为y轴上的一点，且S△PDC＝4，求点P的坐标；
（3）如图，射线DE从DA出发，绕点D以6°/秒的速度逆时针旋转，同时射线CF从CB出发，绕点C以4°/秒的速度顺时针旋转，当DE旋转180°后两条射线都停止转动．问几秒时，DE与CF互相垂直？
14．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BC＝BD，求四边形BDFC的面积．
15．如图1，E、F分别为平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当DE平分∠ADC，AF⊥DC时，DF＝3，AE＝5，求平行四边形ABCD的面积．
16．△ABD，△ACE，△BCF，是分别以△ABC的AB、AC、BC边为一边的等边三角形．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，求四边形的面积．
（3）试讨论△ABC的角满足什么条件时，四边形ADFE不存在．
17．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC+BD＝36，AB＝12，求△OEF的周长．
18．如图：△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
（1）求证：四边形PEDC为平行四边形；
（2）当点P同时满足条件：①PA＝PB和②∠APB＝150°时，猜想四边形PEDC是什么特殊的四边形，并说明理由；
（3）若△APB中，，求四边形PEDC的面积．
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BO＝DO，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AD＝12，OD＝5，AC＝26．
①求∠ADB的度数；
②S四边形ABCD＝　 　．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EGOB．
2．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF．
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，
∵∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3，
∴BD4，
连接AC交EF于O，如图，
∴DO＝OBBD＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO＝OFEF，
∴DE＝BF，
设DE＝BF＝x，
∴EF＝2x+4，
∵EF﹣AF＝2，
∴AF＝2x+2，
∵AF2＝AD2+DF2，
∴（2x+2）2＝32+（4+x）2，
∴x（负值舍去），
∴DE的长为．
4．【解答】（1）证明：∵AD∥BC．，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：①∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，OBBD＝8，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠BOA＝90°；
②由①可知，AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OA＝12，
∴S四边形ABCDAC BD12×16＝96．
5．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF．
∠DAE＝∠BCF＝60°．
∵∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF，
∠BAE＝∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF＝BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠DAE＝∠C，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵DF＝BE，
∴BE＝6，
∵DE⊥AB，BF∥DE，
∴BF⊥AB，
∴∠AHD＝∠ABF＝90°，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴DE＝BF，
∵AD2﹣AE2＝DE2，AF2﹣AB2＝BF2，
∴AD2﹣AE2＝AF2﹣AB2，
∴62﹣AE2＝102﹣（AE+6）2，
∴AE．
7．【解答】（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝DC，
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠DCF，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴AD∥CF，
∵AC⊥BD，DF⊥BD，
∴DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACDF是平行四边形，DF＝CF＝5，
∴ ACDF是菱形，
∴AD＝5，
设CE＝x，则AE＝5﹣x，
∴CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2
即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2
解得：x＝3.6，即CE＝3.6，
∴DE，
∴BD＝2DE＝9.6．
8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∵∠ADE＝30°，AD＝8，
∴AEAD＝4，
∴DE4，
由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝422，
∵四边形AECF是平行四边形，AE⊥EF，
∴S平行四边形AECF＝AE EF＝4×28．
9．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：①∵BD＝16，
OB＝OD＝8，
∵AB＝10，OA＝6，
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠BOA＝90°；
②由①可知，∠BOA＝90°，
∴BD⊥AC，
∵OA＝6，
∴AC＝12，
∴S四边形ABCDBD AC16×12＝96．
10．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
11．【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴COAC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积AC×DE8×6＝24．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∴BE﹣EF＝DF﹣EF，
即BF＝DE，
设BF＝DE＝x，则BE＝BF+EF＝x+3，BD＝2x+3，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AD2﹣DE2，AE2＝AB2﹣BE2，
∴AD2﹣DE2＝AB2﹣BE2，
即（）2﹣x2＝（4）2﹣（x+3）2，
解得：x＝1，
∴BD＝2x+3＝2+3＝5，AE4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2BD AE＝BD AE＝5×4＝20．
13．【解答】解：（1）∵，
∴a+1＝0，b+2＝0，
解得：a＝﹣1，b＝﹣2，
∴A（﹣1，﹣2），D（0，1），
∴DH＝1﹣（﹣2）＝3，
∵线段AD向右平移到BC，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB×DH＝12，
解得：AB＝4，
∴DC＝AB＝4，
∴B（3，﹣2），C（4，1）．
故答案为：（3，﹣2）；（4，1）．
（2）解：设点P的坐标为（0，m），
∵S△PDC＝4，
∴，
解得：m＝3或m＝﹣1，
∴点P的坐标为：（0，3）或（0，﹣1）．
（3）设运动时间为t秒，则∠ADE＝6t，∠BCF＝4t，
第一次DE⊥CF时，如图所示：
则∠CGD＝90°，
∴∠CDG+∠DCG＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADG+∠BCG＝180°﹣（∠CDG+∠DCG）＝90°，
∴6t+4t＝90°，
解得：t＝9；
第二次DE⊥CF时，如图所示：
则∠CGD＝90°，
∴∠CDG+∠DCG＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADG+∠BCG＝180°+（∠CDG+∠DCG）＝270°，
∴6t+4t＝270°，
解得：t＝27，
综上分析可知，当9秒或27秒时，DE与CF互相垂直．
14．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE＝FE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴AB2，
由（1）得：四边形BDFC是平行四边形，
∴平行四边形BDFC的面积＝BC AB＝3×26．
15.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
即AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE＝5，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴FC＝AE＝5，
∴CD＝DF+FC＝3+5＝8，
∵AF⊥DC，
∴∠AFD＝90°，
∴AF4，
∴S平行四边形ABCD＝CD AF＝8×4＝32．
16．【解答】（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．
∵等边三角形BCF和等边三角形ABD，
∴BE＝BC，BD＝BA．
又∵∠DBE＝60°﹣∠ABF，∠ABC＝60°﹣∠ABF，
∴∠DBE＝∠ABC．
在△BDF和△BCA中，
，
∴△BDF≌△BCA（SAS）．
∴DF＝AC．
∵在等边三角形ACF中，AC＝AE，
∴DF＝AE．
同理DA＝EF．
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝5，
∵∠BAC＝90°，
又∵∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，
∴∠FDA＝30°，
如图，过F作FM⊥AD于点M，
则可知FMFDAEAC＝1.5，
且AD＝AB＝4，
∴S四边形ADEF＝AD FM＝4×1.5＝6．
（3）当D，A，E三点共线时，四边形ADFE不存在，
当∠BAC＝60°时，四边形ADFE不存在，
此时，∠DAE＝360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAE＝360°﹣60°﹣60°﹣60°＝180°，
此时D，A，E三点共线，
当△ABC中∠BAC＝60°时，四边形ADFE不存在．
17．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．
∴EOAO，GOCO，FOBO，HODO
∴EO＝GO，FO＝HO
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）∵AC+BD＝36，
∴AO+BO＝18，
∴EO+FO＝9
∵E、F分别是AO、BO的中点，
∴EFAB，且AB＝12
∴EF＝6，
∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝9+6＝15
18．【解答】（1）证明：∵△AEP，△DAB是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，
∴∠EAD＝∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴DE＝BP，
∵PC＝PB，
∴DE＝PC，
同理PE＝CD，
∴四边形PEDC是平行四边形；
（2）解：此时四边形PEDC为正方形．
理由：当PA＝PB时，
∵PE＝PA，PC＝PB，
∴PE＝PC，
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴四边形PEDC是菱形．
当∠APB＝150°时，∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
又∵四边形PEDC是菱形，
∴四边形PEDC是正方形．
（3）解；如图所示，过C作CH垂直EP的延长线于H，
∵AB＝3，PA，PB＝2，
∴PA2+PB2＝AB2，
∴∠APB＝90°
又∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴CHCPPB＝1，
又PE＝PA，
∴S平行四边形PEDC＝CH×EP＝1．
19．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：①∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝26，
∴OA＝OC＝13，
∵AD＝12，OD＝5，
∴AD2+OD2＝OA2，
∴△AOD是直角三角形，∠ADO＝90°，
即∠ADB＝90°；
②由①可知，∠ADB＝90°，
∴BD⊥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2OD＝10，
∴S四边形ABCD＝AD BD＝12×10＝120，
故答案为：120．