6.4多边形内角和和外角和培优练习（含答案）

6.4多边形内角和和外角和培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一．选择题
1．从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　）
A．360° B．480° C．540° D．720°
二．填空题
4．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形每个内角是　 　．
5．如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF的大小是 　 　度．
6．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 　 　m．
7．如图，△ABE在四边形ABCD内部，若∠C＝78°，∠D＝66°，∠E＝40°，则∠1+∠2＝ 　 　．
三．解答题
8．已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝8，求这个多边形的内角和．
（2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°求n的值．
9．如图，∠A+∠B+∠D+∠E＝280°，求∠C的度数．
10．如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．
（1）五边形ABCDE的内角和为 　 　度；
（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E，F分别在BC，CD上，EF⊥CD．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度数．
12．如图，已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点E为线段CB延长线上一点，连接DE交AB于点F，∠CBD＝∠CDE．
（1）求证：∠ADE＝∠BDC；
（2）若BA是∠DBE的角平分线，∠CBD＝76°，求∠ADE的度数．
13．解决下列问题．
（1）如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和．即：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
（2）如图2，若五角星的五个顶角的度数相等，求∠1的大小．
14．如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点．
（1）若∠A＝50°，则∠P＝　 　；
（2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由；
（3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系．
15．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．
（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D，∠M，∠N的关系并证明．
16．【问题探究】
（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A；
【拓展应用】
（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．
①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；
②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，请直接写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系：　 　．
17．探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 　 　
A.90°B.135℃.270° D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 　
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
18．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
19．如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
20．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形内角和等于外角和的4倍，求（n﹣m）t的值．
21“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
22．如图所示：
求∠A+∠D+∠B+∠E+∠C+∠F的度数．
23．四边形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于点O．点E、F分别在OA、OB上，作射线DE、CF交AB分别于点M、N．n．
（1）当n＝1，AC⊥BD时，①求∠ADO+∠BCO的值；②求∠DEO+∠CFO的值．
（2）当n＝2，试探究：∠AMD+∠BNC与∠DOC的数量关系，证明你的结论．
参考答案
1．【解答】解：依题意有n﹣2＝9，
解得：n＝11．
故选：C．
2．【解答】解：由题意得：
∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∵∠1+2+∠3+∠4＝280°，
∴∠5＝360°﹣280°＝80°，
故选：B．
3．【解答】解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，
在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，
∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故选：A．
4．【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2） 180°＝360°+540°，
解得n＝7．
∵这个多边形的每个内角都相等，
∴它每一个内角的度数为900°÷7＝（）°．
故答案为：（）°．
5．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角度数为108°．
∴∠EDC＝108°，
∴∠EDF＝72°，
同理可得正六边形BFGHMN每个内角度数为120°．
∴∠EFG＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°．
解法二：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EDF＝72°，
∵六边形EFGHMN是正六边形，
∴∠EFD＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣72°﹣60°＝48°；
故答案为：48．
6．【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n＝360°÷15°＝24，
则一共走了24×10＝240（米）．
故答案为：240．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
7．【解答】解：在△ABE中，∠E＝40°，
∴∠EAB+∠EBA＝180°﹣∠E＝140°，
∴∠DAB+∠CBA＝∠1+∠2+（∠EAB+∠EBA）＝∠1+∠2+140°
在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°，
∵∠C＝78°，∠D＝66°，
∴∠1+∠2+140°+78°+66°＝360°，
∴∠1+∠2＝76°，
故答案为：76°．
三．解答题
8．【解答】解：（1）多边形的内角和＝（8﹣2）×180°＝1080°，
答：这个多边形的内角和1080°；
（2）设这个多边形的每个外角为x°，则每个内角为（3x+20）°，
依题意得，3x+20+x＝180，
解得x＝40，
∴n＝360°÷40°＝9，
答：这个多边形的边数n为9．
9．【解答】解：连接BD，
∵四边形的内角和为360°，
∴∠A+∠ABD+∠BDE+∠E＝360°，
∵∠A+∠ABC+∠CDE+∠E＝280°，
∴∠CBD+∠BDC＝360°﹣280°＝80°，
∴∠C＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣80°＝100°．
10．【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
故答案为：540；
（2）∵在五边形ABCDE中，∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，
∴∠EAB+∠ABC＝230°，
∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB∠EAB，∠PBA∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝115°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝65°．
11．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠1＝∠DBC，
∴∠ABC＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠1＝40°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠1+∠BDC＝130°．
12．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠ADB，
∵∠ADE+∠EDB＝∠ADB，
∠BDC+∠EDB＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠BDC；
（2）解：∵BA是∠DBE的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABD∠DBE，
∵∠DBE+∠CBD＝180°，∠CBD＝76°，
∴∠DBE＝104°，
∴∠ABE＝∠ABD＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABE＝52°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝76°，∠C+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣52°＝128°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝128°﹣76°＝52°，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠ADE＝52°．
13．【解答】解：（1）∵∠AFG是△FEC的外角，
∴∠AFG＝∠C+∠E，
同理可得：
∠AGF＝∠B+∠D，
在△AFG中，
∴∠A+∠AFG+∠AGF＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
（2）∵五角星的五个顶角的度数相等，
∴，
∴∠AGB＝∠B+∠D＝2×36°＝72°，
∵∠1+∠AGB＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠AGB＝180°﹣72°＝108°．
14．【解答】解：（1）∵点P是△ABC两外角平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB（∠MBC+∠NCB）（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）[360°﹣（180°﹣∠A）]（180+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°（180°+∠A）＝90°∠A，
∵∠A＝50°，
∴∠P＝65°；
故答案为：65°；
（2）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB（∠DBC+∠ECB）（180°+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A．
（3）如图，
延长BA、CD交于Q，
则∠P＝90°∠Q，
∴∠Q＝180°﹣2∠P．
∴∠BAD+∠CDA
＝180°+∠Q
＝180°+180°﹣2∠P
＝360°﹣2∠P．
15．【解答】（1）解：如图①，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABO∠ABC，∠ACD∠ACE，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴∠A+∠ABO＝∠D+∠DCO，
∴∠A∠ABC＝∠D∠ACE，
∴∠A∠ABC＝∠D（∠A+∠ABC），
∴∠A∠ABC＝∠D∠A∠ABC，
∴∠D∠A，
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，
∴∠D60°＝30°；
（2）如图②，
∠D与∠BMN，∠CNM的关系为：∠D（∠BMN+∠CNM﹣180°），
证明：延长BM，CN交于点A，
∵∠BMN＝∠A+∠ANM，∠CNM＝∠A+∠AMN，
∴（∠BMN+∠CNM）＝∠A+∠ANM+∠A+∠AMN＝∠A+180°，
∴∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，
由（1）∠D∠A，
∴∠D（∠BMN+∠CNM﹣180°）．
16．【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠ECD（∠A+∠ABC）．
又∵∠ECD＝∠E+∠EBC，
∴∠E+∠EBC（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC∠ABC，
∴∠ABC+∠E（∠A+∠ABC），
∴∠E∠A；
（2）解：①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°，
∵∠CBA＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CADCAB＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；
②设∠CBD＝α，
∵∠ABD+∠CBD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣2α，
∵∠ACB＝82°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CADCAB＝α﹣41°，
∴∠CAD+41°＝∠CBD，
故答案为：∠CAD+41°＝∠CBD．
17．【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故选C；
（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案为：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
18．【解答】解：连接BC，
∵∠D+∠E+∠1＝∠3+∠4+∠2＝180°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠D+∠E＝∠3+∠4，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
＝∠A+∠ABE+∠ACD+∠3+∠4
＝∠A+∠ABC+∠ACB
＝180°．
19．【解答】解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°；
（2）∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣460°＝260°，
∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝100°．
即∠BGD的度数是100°．
20．【解答】解：依题意有n＝4+3＝7，
m＝6+2＝8，
（t﹣2）×180°＝360°×4，
解得t＝10，
则（n﹣m）t＝（7﹣8）10＝1．
21．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
22．【解答】解：由图可得，
∠A+∠D+∠B+∠E+∠C+∠F的和正好是中间小三角形的三个外角之和，
∵三角形的外角和是360°，
∴∠A+∠D+∠B+∠E+∠C+∠F＝360°．
23．【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠OBC．
∵1，
∴可设∠ODE＝∠ADE＝α，∠OCF＝∠BCF＝β．
∵AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠ADO+∠BCO＝90°；
∴2α+2β＝90°，
∴α+β＝45°．
∵∠DEO＝90°﹣α，∠CFO＝90°﹣β，
∴∠DEO+∠CFO＝90°﹣α+90°﹣β＝180°﹣（α+β）＝135°；
（2）∠AMD+∠BNC＝180°∠DOC．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠OBC，∠DAB+∠ABC＝180°．
∵2，
∴可设∠ADE＝γ，∠BCF＝θ，则∠ODE＝2γ，∠OCF＝2θ．
∵∠AMD+∠BNC＝180°﹣∠DAB﹣γ+180°﹣∠ABC﹣θ＝360°﹣（∠DAB+∠ABC）﹣（γ+θ）＝180°﹣（γ+θ），
∠DOC＝∠OBC+∠BCO＝∠ADO+∠BCO＝3γ+3θ＝3（γ+θ），
∴∠AMD+∠BNC＝180°∠DOC．