北京市陈经纶中学2024-2025学年高一（上）期中诊断数学试卷（PDF版，含答案）

北京市陈经纶中学 2024-2025学年第一学期期中诊断
北京市陈经纶中学期中诊断
高一 年级 数学 学科
（时间： 120 分钟 满分：150 分）
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四
个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“ x R， x2 0”的否定是( )
（A） x R， x2 0（B） x R， x2 0（C） x R， x2 0 （D） x R， x2 0
2.下列函数中，在 ( 1,1)上单调递增的是( )
1
（A） y | x | 1 （B） y （C） y e x （D） y x3
x
3. 已知 a,b,c R， a b，则下列不等式正确的是( )
（A） ac bc （B） (a b)c2 0 1 1（C） （D） a2 b2
a b
1
4. 已知集合 A {x | ( )x 1} , B {x | x2 6x 8 0}，则 A CRB =( )2
（A）{x | x 0} （B）{x | 2 x 4} （C）{x | 0 x 2或x 4}（D）{x | 0 x 2或x 4}
1 2 1 2
5. 若 a ( )3 ，b (2 )3 ， c 2 ( )3 ，则( )
3 3 3
（A） c a b （B） c b a （C） a c b （D） b a c
6. 设 a R ，则“ a 1”是“函数 f (x) x2 2ax 在 (1, ) 上是减函数”的( )
（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
x3
7. 函数 f (x) x 的图象大致为( )3 1
（A） （B） （C） （D）
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8.设 f（x）是定义在 R上的奇函数，且 f（x）在（0，+∞）上单调递减，
f（﹣7）＝0，则下列结论错误的是（ ）
（A） f (x)在 ( ,0)上单调递减（B） f (x)的图象与 x轴只有 2个公共点
（C） f（8）＜0 （D）不等式 f (x) 0的解集为 ( , 7) (0,7)
9. 已知 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ( ,0)上单调递增．若实
数 a满足 f (2|a 1| ) f ( 2)，则 a的取值范围是( )
（A） (1 , 3) ( , 1（B） ) (3 , ) （C） (0,2) （D） ( ,0) (2, )
2 2 2 2
10. 对于函数 f (x)，若 f (x) x则称 x为 f (x)的“不动点”，若 f ( f (x)) x，则称 x为 f (x)
的“稳定点”，记 A {x | f (x) x}，B {x | f ( f (x)) x}，则下列说法错误的是( )
（A）对于函数 f (x) x ,有 A B成立.
（B）若 f (x)是二次函数，且 A是空集，则 B为空集.
1
（C）对于函数 f (x) ( )x ，有 A B成立.
2
b
（D）对于函数 f (x) ，存在 b (0, )，使得 A B成立.
x
二、填空题：本大题共 10 个小题，每小题 4分，共 40 分.
11. 函数 f (x) 1 x 的定义域是 .
x
1

12. 计算 27 3 log3 4 log2 9 ________．
13. 已知不等式 ax2 bx c 0的解集为 x x 2或 x 1 ，则不等式
bx2 2ax c 5b 0 的解集是________．
(a 2)x
x 2
14. 函数 f (x) 1 x 是 R上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围是 .
( ) 1 x 2 2
2x , x 3,
15. 已知函数 f (x) （ⅰ） f (2 log2 3)的值为________；
f (x 1), x 3.
（ⅱ）当 x 0时，方程 f (x) x a有且仅有一个实根，则实数 a的取值范围是______．
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三、解答题：本大题共 6 个小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤
或证明过程。
16.（13 分）已知集合 A {x | x2 6x 8 0}，集合 B {x | x2 4ax 3a2 0}．
（Ⅰ）当 a 2时，求 BA；
（Ⅱ）若 A B A，求实数 a的值；
（Ⅲ）设集合C B N，若C中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合C ．
17.（13 分）某公司计划投资 A，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，
180
A 产品的利润 y1与投资金额 x的函数关系为 y1 18 ，B 产品的利润 y 与投资金额 xx 2 10
x
的函数关系为 y2 （注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有 100 万元资金，5
并全部投入 A，B 两种产品中且均有投，其中 x 万元资金投入 A 产品．
（1）请把 A，B 两种产品利润总和 y表示为 x的函数，并直接写出定义域；
（2）在（1）的条件下，当 x 取何值时才能使公司获得最大利润？
b 2x
18. （14 分）已知定义域为 R的函数 f (x) x 是奇函数．2 a
（1）求 a,b的值；
（2）用定义证明 f (x)在 ( , ) 上为减函数．
（3）若对于任意 t R，不等式 f (t2 2t) f (2t2 k) 0恒成立，求 k的取值范围．
19.（15分）（1）若命题“ x R， x2 2ax a 2 0 ”是真命题，求实数 a的取值范围；
2
（2）求关于 x的不等式 ax a 2 x 2 0 a R 的解集．
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f (x) x2 ax 1 320.（15 分） 已知函数 的最小值不小于-1，且 f ( ) ．
2 4
（1）求函数 f (x)的解析式；
（2）函数 f (x)在 [m,m 1]的最小值为实数m的函数 g(m)，若关于m的方程 g(m) a无
解，试确定实数 a的取值范围．
1, x A
21（15分）已知集合 A为数集，定义 fA x .若 A,B x | x 8,x N* x A ， 0,
定义： d A,B fA 1 fB 1 fA 2 fB 2 fA 8 fB 8 .
(1)已知集合 A 1,2 ，直接写出 fA 1 ， fA 2 及 fA 8 的值；
(2)已知集合 A 1,2,3 ， B 2,3,4 ，C ，求d A,B ， d A,C 的值；
(3)若 A,B,C ∣x x 8, x N* .求证： d A,B d A,C d B,C .
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