1.2.2 完全平方公式 教案
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1.2.2 完全平方公式
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第一章第二节《乘法公式》中的内容，本节主要学习完全平方公式( + )2= 2+2ab+ 2和( )2= 22ab+ 2，它们是整式乘法中的重要公式之一。通过公式的推导和应用，学生可以简化整式乘法运算，并为后续学习因式分解奠定基础。本节内容是整式乘法的核心内容之一，是“多项式乘多项式”的特殊形式，也是后续学习“因式分解”中“公式法”的重要基础。掌握本节内容对提高学生的代数运算能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、学情分析
知识储备：已学习“多项式乘多项式”的运算法则，但对复杂运算（如含负号的乘法）易出现符号错误、漏项等问题。且学生对公式的记忆和应用能力较弱，容易混淆完全平方公式与平方差公式。
能力水平：学生具备初步的代数运算能力，但对公式的推导过程理解不深，难以灵活应用公式。且抽象概括能力不足，从具体实例归纳公式存在困难。
学习心理：对公式记忆有畏难情绪，缺乏学习兴趣，需要教师通过直观化教学和分层练习逐步建立信心。
三、教学目标
1.理解完全平方公式的几何意义，能用数学语言表述( + )2= 2+2ab+ 2和( )2= 22ab
+ 2。
2.能熟练运用完全平方公式进行整式乘法运算。
3.会利用完全平方公式解决简单的实际问题。
四、重点难点
重点：理解并掌握( + )2= 2+2ab+ 2和( )2= 22ab+ 2的推导与计算。
难点：在复杂运算中识别并应用完全平方公式。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
【问题】平方差公式是什么，在运用平方差公式进行计算时需注意什么？
【回顾】平方差公式： (x+y)(xy)=x2y2
注意：x与x:符号相同的项
y与y:符号相反的项
套用公式计算时，注意将底数带上括号
二、探究新知
【做一做】
计算(x+y)2？
解：(x+y)2=(x+y)(x+y)
=x2+xy+xy+y2
=x2+2xy+y2.
【新知】
完全平方公式1：
(x+y)2=x2+2xy+y2
两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。
注意：x,y可以是单项式，也可以是多项式。
【问题】已知大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,求阴影部分的面积。
解：大正方形的面积为a2,
小正方形的面积为b2，
故阴影部分的面积为a2b2。
【问题】如图,求大正方形的面积。
解：由图可知大正方形的边长为a+b
所以大正方形的面积为(a+b)2
由图可知大正方形可分割成四部分，
这四部分的面积分别为ab,b2,a2,ba,
所以(a+b)2=ab+b2+a2+ba=a2+2ab+b2
【思考】将完全平方公式1中的y用y代替可以得到什么？
解：[x+(y)]2=x2+2x·(y)+(y)2
=x22xy+y2.
即(xy)2=x22xy+y2
【新知】
完全平方公式2：
(xy)2=x22xy+y2
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。
注意：x,y可以是单项式，也可以是多项式。
【问题】如图,求白色正方形的面积。
解：白色正方形的边长为(ab),
故白色正方形的面积为(ab)2。
同时白色正方形的面积可以看做大正方形的面积减去两个蓝色长方形和黄色正方形的面积，
即(ab)2 =a22b(ab)b2
= a22ab+2b2b2
= a22ab+b2 。
三、例题探究
例5 运用完全平方公式计算：
（1）(a+)2； （2）( 3m+n )2； （3）( 2x-3y )2
解：(1)将完全平方公式1中的x用a代入，y用代入，可得
(a+)2=a2 +2·a·+()2=a2+a+.
(2)将完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入，可得
( 3m+n )2=( 3m )2+2·3m·n+n2=9m2+6mn+n2.
(3)将完全平方公式2中的x用2x代入，y用3y代入，可得
( 2x - 3y )2=( 2x )2 - 2·2x·3y + (3y)2=4x2-12xy+9y2.
【做一做】计算：
【说一说】怎样计算(-x-)2
法1：(-x-)2=(-x)2-2·(-x)·+()2=x2+x+.
法2：(-x-)2=［-(x+)］2=(x+)2=x2+2·x·+()2=x2+x+.
例6 计算：（1）1042； （2）1982.
解：（1）由于1042=（100+4）2，于是可运用完全平方公式1.
因此1042=( 100+4 )2
=1002+2×100×4+42
=10000+800+16
=10816.
（2）由于1982=（200-2）2，于是可运用完全平方公式2.
因此1982=( 200-2 )2
=2002-2×200×2+22
=40000-800+4
=39204.
四、课堂练习
1.计算(2x+1)2的结果为 ( )
A.-4x2+4x+1 B.-4x2-4x-1 C.4x2+4x+1 D.4x2-4x-1
2.运用完全平方公式2计算（2a-1）2，就是将完全平方公式2中的x用2a代替，y用1代替，则代替完全平方公式2中2xy的式子是 （ ）
A.-4a B. 4a C. -2a D. 2a
3.已知a-b=1,a2+b2=25,则ab的值为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
4.如图,根据阴影部分面积和边长为a的正方形的面积关系可以得到的数学公式是 ( )
A.a(a+b)=a2+ab
B.a(a-b)=a2-ab
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
5.已知:x+y=3,xy=1,试求:(1)x2+y2的值. (2)(x-y)2的值.
6.已知x+y=6,xy=7,求(-3x+y)2+(-x+3y)2的值.
五、课堂小结
什么是完全平方公式，在运用过程中需注意什么？
六、作业布置
课堂作业：P19 T1、2
家庭作业：《学法》P17 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做）
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1.2.2 完全平方公式
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第一章第二节《乘法公式》中的内容，本节主要学习完全平方公式( + )2= 2+2ab+ 2和( )2= 22ab+ 2，它们是整式乘法中的重要公式之一。通过公式的推导和应用，学生可以简化整式乘法运算，并为后续学习因式分解奠定基础。本节内容是整式乘法的核心内容之一，是“多项式乘多项式”的特殊形式，也是后续学习“因式分解”中“公式法”的重要基础。掌握本节内容对提高学生的代数运算能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、学情分析
知识储备：已学习“多项式乘多项式”的运算法则，但对复杂运算（如含负号的乘法）易出现符号错误、漏项等问题。且学生对公式的记忆和应用能力较弱，容易混淆完全平方公式与平方差公式。
能力水平：学生具备初步的代数运算能力，但对公式的推导过程理解不深，难以灵活应用公式。且抽象概括能力不足，从具体实例归纳公式存在困难。
学习心理：对公式记忆有畏难情绪，缺乏学习兴趣，需要教师通过直观化教学和分层练习逐步建立信心。
三、教学目标
1.理解完全平方公式的几何意义，能用数学语言表述( + )2= 2+2ab+ 2和( )2= 22ab
+ 2。
2.能熟练运用完全平方公式进行整式乘法运算。
3.会利用完全平方公式解决简单的实际问题。
四、重点难点
重点：理解并掌握( + )2= 2+2ab+ 2和( )2= 22ab+ 2的推导与计算。
难点：在复杂运算中识别并应用完全平方公式。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
【问题】平方差公式是什么，在运用平方差公式进行计算时需注意什么？
【回顾】平方差公式： (x+y)(xy)=x2y2
注意：x与x:符号相同的项
y与y:符号相反的项
套用公式计算时，注意将底数带上括号
二、探究新知
【做一做】
计算(x+y)2？
解：(x+y)2=(x+y)(x+y)
=x2+xy+xy+y2
=x2+2xy+y2.
【新知】
完全平方公式1：
(x+y)2=x2+2xy+y2
两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。
注意：x,y可以是单项式，也可以是多项式。
【问题】已知大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,求阴影部分的面积。
解：大正方形的面积为a2,
小正方形的面积为b2，
故阴影部分的面积为a2b2。
【问题】如图,求大正方形的面积。
解：由图可知大正方形的边长为a+b
所以大正方形的面积为(a+b)2
由图可知大正方形可分割成四部分，
这四部分的面积分别为ab,b2,a2,ba,
所以(a+b)2=ab+b2+a2+ba=a2+2ab+b2
【思考】将完全平方公式1中的y用y代替可以得到什么？
解：[x+(y)]2=x2+2x·(y)+(y)2
=x22xy+y2.
即(xy)2=x22xy+y2
【新知】
完全平方公式2：
(xy)2=x22xy+y2
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。
注意：x,y可以是单项式，也可以是多项式。
【问题】如图,求白色正方形的面积。
解：白色正方形的边长为(ab),
故白色正方形的面积为(ab)2。
同时白色正方形的面积可以看做大正方形的面积减去两个蓝色长方形和黄色正方形的面积，
即(ab)2 =a22b(ab)b2
= a22ab+2b2b2
= a22ab+b2 。
三、例题探究
例5 运用完全平方公式计算：
（1）(a+)2； （2）( 3m+n )2； （3）( 2x-3y )2
解：(1)将完全平方公式1中的x用a代入，y用代入，可得
(a+)2=a2 +2·a·+()2=a2+a+.
(2)将完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入，可得
( 3m+n )2=( 3m )2+2·3m·n+n2=9m2+6mn+n2.
(3)将完全平方公式2中的x用2x代入，y用3y代入，可得
( 2x - 3y )2=( 2x )2 - 2·2x·3y + (3y)2=4x2-12xy+9y2.
【做一做】计算：
【说一说】怎样计算(-x-)2
法1：(-x-)2=(-x)2-2·(-x)·+()2=x2+x+.
法2：(-x-)2=［-(x+)］2=(x+)2=x2+2·x·+()2=x2+x+.
例6 计算：（1）1042； （2）1982.
解：（1）由于1042=（100+4）2，于是可运用完全平方公式1.
因此1042=( 100+4 )2
=1002+2×100×4+42
=10000+800+16
=10816.
（2）由于1982=（200-2）2，于是可运用完全平方公式2.
因此1982=( 200-2 )2
=2002-2×200×2+22
=40000-800+4
=39204.
四、课堂练习
1.计算(2x+1)2的结果为 ( )
A.-4x2+4x+1 B.-4x2-4x-1 C.4x2+4x+1 D.4x2-4x-1
2.运用完全平方公式2计算（2a-1）2，就是将完全平方公式2中的x用2a代替，y用1代替，则代替完全平方公式2中2xy的式子是 （ ）
A.-4a B. 4a C. -2a D. 2a
3.已知a-b=1,a2+b2=25,则ab的值为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
4.如图,根据阴影部分面积和边长为a的正方形的面积关系可以得到的数学公式是 ( )
A.a(a+b)=a2+ab
B.a(a-b)=a2-ab
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
5.已知:x+y=3,xy=1,试求:(1)x2+y2的值. (2)(x-y)2的值.
6.已知x+y=6,xy=7,求(-3x+y)2+(-x+3y)2的值.
五、课堂小结
什么是完全平方公式，在运用过程中需注意什么？
六、作业布置
课堂作业：P19 T1、2
家庭作业：《学法》P17 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做）
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