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同步探究学案
课题 8.1 平方根（第二课时） 单元 第八章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根。 2.会求某些非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质并用其解题。 3.通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义。
重点 理解算术平方根的概念并会求一个数的算术平方根。
难点 了解算术平方根的性质并解决实际问题。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的_________或_________. 2.求一个数a的平方根的运算，叫做_______。根据这种互逆关系，可以求一个数的_________。 3.正数有____个平方根，它们互为______；0 的平方根是 ___；负数______平方根. 4.正数a的正的平方根记为“______”；a叫作_________； 正数a的负的平方根，可以用 ”_______”表示， 故正数a的平方根可以用” ______”表示 有当a ≥0时，_____意义，而当a<____时，无意义
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助平方根的相关知识，研究算术平方根。 指出：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的____________。 正数a的算术平方根用来表示． 规定：0的算术平方根是______．0的算术平方根也记为 归纳：非负数a的算术平方根 具有双重非负性： (1) 被开方数 a 是非负数；( ____≥ 0 ) (2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.( ≥ 0 ) 例1：求下列各数的算术平方根. （1）100；（2） ；（3）0.000 1． 归纳：被开方数越大，对应的算术平方根也越____．这个结论对所有正数都成立． 例2：求下列各式的值。 （1） ；（2） ；（3） ． 归纳：（1）在求 a 的算术平方根时，若 a 是有理数的平方，则 a 的算术平方根就不带根号：若 a 不是有理数的平方，则 a 的算术平方根就带有根号，如． （2）求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算． 熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果． 例3：已知 ，求 x＋y＋z 的值． 归纳：“几个非负数的和为 0 ”问题的解决方法 目前学过的典型的非负数有 a2，|b|， 三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为 0，则每一个非负数均为_____，即若 a2＋|b|＋ ＝0，则 a2＝0，|b|＝0， ＝0． 探究1：怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 解：如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的____个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为____dm2 的大正方形. 解：设大正方形的边长为x dm，则 x2=____. 由边长的实际意义可知， x= . 所以大正方形的边长是______dm. 所以小正方形的对角线的长即为大正方形的边______. 探究2： 有多大呢？ 解：因为12＝1, 22＝4, 12＜2＜22 ,所以 1＜ ＜2 因为1.42＝1.96, 1.52＝2.25 , 1.42＜____＜1.52,所以 1.4＜＜1.5 因为1.412＝1.9881, 1.422＝2.0164 , 1.412＜2＜1.422,所以 _____＜ ＜1.42 因为1.4142＝1.999 396, 1.4152＝2.002 225 , 1.4142＜2＜1.4152,所以 1.414＜ ＜______ …… 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围。 这种方法叫做“两边夹”法 =1.414213562373……是无限不循环小数 无限不循环小数是指小数位数_____，且小数部分____循环的小数. 如：许多正有理数的算术平方根（例如，，等）都是无限不循环小数． 想一想：你以前见过这样的小数吗？ 例4：估算 的值(精确到0.01).
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列选项中是4的算术平方根是（ ） A． B． C．4 D．2 2．的算术平方根的相反数是（ ） A．4 B． C． D． 3．求下列各数的算术平方根． (1)64 (2) (3) (4) 选做题： 4．若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5.如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（ ） A．2 B．3 C． D．4
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．3的算术平方根是（ ） A．3 B． C． D．9 2．下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．求下列各数的算术平方根： (1)121； (2)； (3)0.01. 选做题： 4．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ）． A．5与5.5之间 B．5.5与6之间 C．6与6.5之间 D．6.5与7之间 【综合拓展类作业】 5.已知实数a，b，c满足：，求的值．
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第八章 实数
8.1 平方根（第二课时）
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根。
2.会求某些非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质并用其解题。
3.通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义。
1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的_________或_________.
2.求一个数a的平方根的运算，叫做_______。根据这种互逆关系，可以求一个数的_________。
3.正数有____个平方根，它们互为______；0 的平方根是 ___；负数______平方根.
平方根
二次方根
开平方
平方根
两
相反数
0
没有
4.正数a的正的平方根记为“______”；a叫作_________；
正数a的负的平方根，可以用 ”_______”表示，
故正数a的平方根可以用” ______”表示
有当a ≥0时，_____意义，而当a<____时，无意义
被开方数
有
0
正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根。
正数a的算术平方根用来表示．
规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为
非负数a的算术平方根 具有双重非负性：
(1) 被开方数 a 是非负数；( a ≥ 0 )
(2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.( ≥ 0 )
例1：求下列各数的算术平方根.
（1）100；（2） ；（3）0.000 1．
解：（1）因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即．
（2）因为()2＝ ，所以 的算术平方根是，即．
（3）因为0.012＝0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即．
被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
例2：求下列各式的值。
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1） =2；（2） =；（3） =3．
（1）在求 a 的算术平方根时，若 a 是有理数的平方，则 a 的算术平方根就不带根号：若 a 不是有理数的平方，则 a 的算术平方根就带有根号，如．
（2）求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算． 熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．
例3：已知 ，求 x＋y＋z 的值．
解：因为 ，
由绝对值、平方及算术平方根的非负性知
，y＋2＝0， ，
得x＝ ，y＝2，z＝ ，
所以 x＋y＋z＝ －2－ ＝－3．
“几个非负数的和为 0 ”问题的解决方法
目前学过的典型的非负数有 a2，|b|， 三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为 0，则每一个非负数均为 0，即若 a2＋|b|＋ ＝0，则 a2＝0，|b|＝0， ＝0．
探究1：怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
解：设大正方形的边长为x dm，则
x2=2.
由边长的实际意义可知，
x= .
所以大正方形的边长是dm.
小正方形的对角线的长是多少呢？
小正方形的对角线的长即为大正方形的边长.
探究2： 有多大呢？
因为12＝1, 22＝4, 12＜2＜22 ,所以
1＜ ＜2
因为1.42＝1.96, 1.52＝2.25 , 1.42＜2＜1.52,所以
1.4＜ ＜1.5
因为1.412＝1.9881, 1.422＝2.0164 , 1.412＜2＜1.422,所以
1.41＜ ＜1.42
因为1.4142＝1.999 396, 1.4152＝2.002 225 , 1.4142＜2＜1.4152,所以
1.414＜ ＜1.415
……
如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围。
“两边夹”法
=1.414 213 562 373……
无限不循环小数
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
许多正有理数的算术平方根 （例如， ， 等）都是无限不循环小数．
你以前见过这样的小数吗？
例4：估算 的值(精确到0.01).
解：因为 12=1，22=4，
所以 1 < < 2；
因为1.72 = 2.89，1.82 = 3.24，
所以 1.7 < < 1.8；
因为1.732 = 2.9929，1.742 = 3.0276，
所以 1.73 < < 1.74；
因为1.7322 = 2.999824，1.7332 = 3.003289，
所以 1.732 < < 1.733；所以≈1.73
【知识技能类练习】必做题：
1．下列选项中是4的算术平方根是（ ）
A． B． C．4 D．2
D
【知识技能类练习】必做题：
2．的算术平方根的相反数是（ ）
A．4 B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．求下列各数的算术平方根．(1)64 (2) (3) (4)
解：（1）64的算术平方根是；
（2），所以的算术平方根是；
（3），所以的算术平方根是；
（4）的算术平方根是．
【知识技能类练习】选做题：
4．若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
A
【综合拓展类练习】
5.如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（ ）
A．2 B．3
C． D．4
C
算术平方根
的估算
算术平方根的相关概念
算术平方根的非负性
无限不循环小数
【知识技能类作业】必做题：
1．3的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
C
【知识技能类作业】必做题：
2．下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
3．求下列各数的算术平方根：(1)121；(2)；(3)0.01.
解：（1）因为，所以121的算术平方根是11，即.
（2）因为，所以的算术平方根是，即.
（3）因为，所以0.01的算术平方根是0.1，即.
【知识技能类作业】选做题：
4．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ）．
A．5与5.5之间 B．5.5与6之间
C．6与6.5之间 D．6.5与7之间
B
【综合拓展类作业】
5.已知实数a，b，c满足：，求的值．
解：∵，
∴，，，
解得：，
则．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第二课时《8.1 平方根（第二课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要内容是学习算术平方根的相关知识，是在学生学方根的基础上来学习算术平方根，之前的平方根的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础，更利于学生理解算术平方根的概念，它不仅是对前面所学知识的巩固，也为后面估算算术平方根，求算术平方根的整数和小数部分的学习奠定了基础。教材通过对平方根概念的复习引入，直接给出算术平方根的定义，再由具体例子讲解便于学生理解与掌握算术平方根的概念，并运用概念，会求一个数的算术平方根。
学习者分析 在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数，对乘方运算也有一定的认识，熟练地掌握了求一个数的平方根，能很自然快速掌握求一个数的算术平方根，并对0的算术平方根作出了规定，容易理解算术平方根的双重非负性，但是对于用非负性解决问题存在难度，在实际问题中双重非负性条件的隐蔽性，学生容易忽略，通过做题归纳初中阶段所有的非负性，便于学生掌握知识。
教学目标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根。 2.会求某些非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质并用其解题。 3.通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义。 4.体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数，培养探求精神，提高学生学习数学的兴趣。
教学重点 理解算术平方根的概念并会求一个数的算术平方根。
教学难点 了解算术平方根的性质并解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根。 2.会求某些非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质并用其解题。 3.通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的_________或_________. 答案：平方根，二次方根 2.求一个数a的平方根的运算，叫做_______。根据这种互逆关系，可以求一个数的_________。 答案：开平方，平方根 3.正数有____个平方根，它们互为______；0 的平方根是 ___；负数______平方根. 答案：两，相反数，0，没有 4.正数a的正的平方根记为“______”；a叫作_________； 正数a的负的平方根，可以用 ”_______”表示， 故正数a的平方根可以用” ______”表示 有当a ≥0时，_____意义，而当a<____时，无意义 答案：，被开方数，，，有，0学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾平方根的相关知识，为算术平方根的引入做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 指出：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根。 正数a的算术平方根用来表示． 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为 归纳：非负数a的算术平方根 具有双重非负性： (1) 被开方数 a 是非负数；( a ≥ 0 ) (2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.( ≥ 0 ) 例1：求下列各数的算术平方根. （1）100；（2） ；（3）0.000 1． 解：（1）因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即． （2）因为()2＝ ，所以 的算术平方根是，即． （3）因为0.012＝0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即． 追问：观察被开方数及对应的算术平方根，你有什么发现？ 归纳：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立． 例2：求下列各式的值。 （1） ；（2） ；（3） ． 解：（1） =2；（2） =；（3） =3． 归纳：（1）在求 a 的算术平方根时，若 a 是有理数的平方，则 a 的算术平方根就不带根号：若 a 不是有理数的平方，则 a 的算术平方根就带有根号，如． （2）求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算． 熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果． 例3：已知 ，求 x＋y＋z 的值． 解：因为 ， 由绝对值、平方及算术平方根的非负性知 ，y＋2＝0， ， 得x＝ ，y＝2，z＝ ， 所以 x＋y＋z＝ －2－ ＝－3． 归纳：“几个非负数的和为 0 ”问题的解决方法 目前学过的典型的非负数有 a2，|b|， 三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为 0，则每一个非负数均为 0，即若 a2＋|b|＋ ＝0，则 a2＝0，|b|＝0， ＝0． 探究1：怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 预设：如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形. 解：设大正方形的边长为x dm，则 x2=2. 由边长的实际意义可知， x= . 所以大正方形的边长是dm. 追问：小正方形的对角线的长是多少呢？ 预设：小正方形的对角线的长即为大正方形的边长. 探究2： 有多大呢？ 预设：因为12＝1, 22＝4, 12＜2＜22 ,所以 1＜ ＜2 因为1.42＝1.96, 1.52＝2.25 , 1.42＜2＜1.52,所以 1.4＜ ＜1.5 因为1.412＝1.9881, 1.422＝2.0164 , 1.412＜2＜1.422,所以 1.41＜ ＜1.42 因为1.4142＝1.999 396, 1.4152＝2.002 225 , 1.4142＜2＜1.4152,所以 1.414＜ ＜1.415 …… 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围。 介绍：这种方法叫做“两边夹”法 指出：√2=1.414213562373……是无限不循环小数 讲解：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 如：许多正有理数的算术平方根（例如√3，√5，√7等）都是无限不循环小数． 追问：你以前见过这样的小数吗？ 预设： 例4：估算 的值(精确到0.01). 解：因为 12=1，22=4， 所以 1 < < 2； 因为1.72 = 2.89，1.82 = 3.24， 所以 1.7 < < 1.8； 因为1.732 = 2.9929，1.742 = 3.0276， 所以 1.73 < < 1.74； 因为1.7322 = 2.999824，1.7332 = 3.003289， 所以 1.732 < < 1.733；所以≈1.73学生活动3： 认真听老师的讲解算术平方根的定义，然后观察、动手做一做，小组讨论合作探究，然后和老师一起归纳得出算术平方根的性质，并认识并估计其大小活动意图说明： 通过讲解、例题以及探究，让学生了解算术平方根的概念，掌握求一个非负数的算术平方根的方法，探究算术平方根的性质并掌握运用估算的方法确定开方开不尽数的大致范围。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：8.1 平方根（第二课时） 一、算术平方根的概念 二、算术平方根的非负性 三、的估算——无限不循环小数教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列选项中是4的算术平方根是（ ） A． B． C．4 D．2 答案：D 2．的算术平方根的相反数是（ ） A．4 B． C． D． 答案：B 3．求下列各数的算术平方根． (1)64 (2) (3) (4) 解：（1）64的算术平方根是； （2），所以的算术平方根是； （3），所以的算术平方根是； （4）的算术平方根是． 选做题： 4．若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5.如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（ ） A．2 B．3 C． D．4 答案：C
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．3的算术平方根是（ ） A．3 B． C． D．9 答案：C 2．下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．求下列各数的算术平方根： (1)121； (2)； (3)0.01. 解：（1）因为，所以121的算术平方根是11，即. （2）因为，所以的算术平方根是，即. （3）因为，所以0.01的算术平方根是0.1，即. 选做题： 4．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ）． A．5与5.5之间 B．5.5与6之间 C．6与6.5之间 D．6.5与7之间 答案：B 【综合拓展类作业】 5.已知实数a，b，c满足：，求的值． 解：∵， ∴，，， 解得：， 则．
教学反思 这节课首先让学生理解并掌握算术平方根的定义、会求一个正数的算术平方根.并总结算术平方根的非负性。 其次，通过剪正方形得出面积为2的大正方形的边长，从而解决了生活实际问题，让学生体会生活中的数学，探究如何估算算术平方根的取值范围，进而引出无限不循环小数的概念. 最后，引导学生谈收获，并相互交流，培养学生归纳的能力与养成总结的.良好学习习惯，给学生表达的机会，从而再次巩固所学内容.
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