沪教版九年级数学下册试题 第27章《圆与正多边形》单元复习题（含详解）

第27章《圆与正多边形》单元复习题
一、单选题
1．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．下列说法正确的是（ ）
A．垂直平分弦的半径平分弧 B．圆心角相等，对应弧相等
C．三角形的内心到三边距离相等 D．三角形的外心到三边距离相等
3．已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对
4．如图，是的直径，于点．若，，则长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．的半径为，若点到的距离为，则点在 （填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
8．已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于 ．
9．正二十边形中心角的正弦值为
10．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为 分米．

11．如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距，那么r的取值范围是 ．
12．如图，在中，若，则与的大小关系是： ．（填“>”，“＜”或“=”）
13．已知一个正六边形的边心距为，则它的半径为 ．
14．已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6，那么这两个圆有 个公共点．
15．如图，是的直径，，则的度数是 ．
16．如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是 ．

17．如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示）
18．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ．
三、解答题
19．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：．
20．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，．
(1)求线段的长；
(2)当时，求的余弦值．
21．如图，是的两条弦，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求半径的长．
22．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且．
(1)判断直线CD与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的半径．
23．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接．
（1）求证：；
（2）如果＝10，，求⊙的半径长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G.
(1)求抛物线的表达式；
(2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标.
25．如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点．
(1)如果，，求边的长；
(2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值；
(3)连接并延长，交于点，如果，求的值．
答案
一、单选题
1．A
【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键．
根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案．
【解析】解：设正多边形的边数为n，
则有，
解得，
是所列方程的解，且符合题意，
∴该正多边形的边数为6．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查垂径定理，三角形的内心和外心及圆周角定理，掌握相应定理的内容及应用条件是解题的关键．分别根据垂径定理、三角形外心内心和圆周角定理逐项判断即可．
【解析】A、当直径所平分的弦也是直径时则这两条直径不一定垂直，故A不正确，不符合题意；
B、只有在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧才相等，故B不正确，不符合题意；
C、三角形的内心是三个内角角平分线的交点，则到三边的距离相等，故C正确，符合题意；
D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，则到三个顶点的距离相等，故D不正确，不符合题意；
故选：C
3．D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即可；
【解析】A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，
圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，
故选：D.
4．D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：如图所示，连接，
∵是的直径，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键
连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可．
【解析】解：连接交于，如图，

在中，由勾股定理得：，
则，
，
，
与相交，且点在外，必须，
即只有选项B符合题意，
故选：B．
二、填空题
7．圆内
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系进行判断，点与圆的位置关系有3种，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内．
【解析】的半径为，P到圆心O的距离为，
即，
点P在圆内．
故答案为：圆内．
8．10
【分析】本题考查两圆的位置关系．根据圆心距和两圆半径之间的关系：即可得出．
【解析】解：∵与内切，的半径为4，设的半径为，的长等于6，，
∴只可能是
∴的半径为．
故答案为：10
9．
【分析】本题考查正十二边形性质，特殊角的三角函数值等知识，先由正十二边形的性质得到正二十边形中心角，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记正多边形的性质及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
【解析】解：正二十边形中心角为，
正二十边形中心角的正弦值为，
故答案为：．
10．
【分析】根据垂径定理得到分米，再利用勾股定理即可解答．
【解析】解：过点作于点，
∵分米，分米，
∴分米，
∴设分米，
∴分米，
∴在中，，
∴，
∴，
∴该圆柱形油槽的内半径为分米，
故答案为．

11．
【分析】根据圆心距与两圆内含的性质得出的取值范围即可．本题考查了圆与圆的位置关系，当时，两圆外离；当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时，两圆内含；
【解析】解：半径分别为和2的两个圆内含，圆心距，
，
，
，
∴
的取值范围是，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到．如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：．
【解析】解：如图，连接、，
在中，若，
，
在 ABC中，．
．
故答案为：．
13．2
【分析】设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得．
【解析】解：如图，过O作与G，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：2．
14．2
【分析】根据圆心距于两个圆半径间的关系即可判断得解．
【解析】解∶∵半径分别是2和6的两圆的圆心距为6，
∴
∴两圆相交，即是2个圆有两个交点，
故答案为∶2．
15．
【分析】本题主要考查同弧所对圆心角相等、直径所对的圆心角知识，根据题意求得，结合同弧所对圆心角相等求得，即可求得．
【解析】解：∵，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】延长交圆于点，作于点，连接，根据相交线定理首先求得圆的半径，然后在中，利用勾股定理求得的长．本题考查了垂径定理和相交弦定理，根据定理求得圆的半径长是关键．
【解析】解：延长交圆于点，作于点，连接．

则，，
，
，
解得：，
则，
，
，
在中，．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，向量以及垂径定理，先过点和分别作、，证明四边形是矩形，再运用垂径定理得出，即可作答．
【解析】解：如图：过点和分别作、，
∵过点A作的平行线交两圆于C、D，
∴，
∵、，
∴四边形是矩形，
∴，
∵、，
∴，
∴，
∵，
则．
故答案为：．
18．
【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答．
【解析】解：设与相切于点F，连接，，
∵，，
∴，
中，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴若与相切时，和一定相交；
若与相切时，和一定相离．
同理当与相切于点M时，连接，，计算得，
∴此时，
∴当时，与矩形的各边都没有公共点，
故答案为：．
三、解答题
19．解：，
，即，
．
20．（1）解：连接，如图所示：
∵OD过圆心，且是弦中点，
，，
在中，，
，，即
；
（2）解：在中，，
，
设，则，，
，即，则，
解得（舍，，
，．
在中，．
21．（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：延长交于点，
∵，平分，
∴，
∴，，
∴，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
22．（1）解：直线CD与相切，理由如下：
连接，如图所示：
则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵为半径，
∴直线CD与相切
（2）解：设的半径为，
∵
∴,
∴
∵
∴，
解得：
23．（1）⊙和⊙相交于A、B两点，
∴是AB的垂直平分线，
∴∠CA=90°，
∵E为AD的中点，
∴E⊥AD，
∴∠EA=90°，
∴∠CA=∠EA，
如图,连接
∵AE＝AC，A=A
∴△E≌△C，
∴E＝C.
（2）∵E⊥AD，
∴∠E＝90°，
在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6，
∵，
∴，
∴E＝8，
∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠，
∴△E∽△CA，
∴,
∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6，
，
∴＝5，
即⊙的半径长为5.
故答案为5.
24．（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，，
∴抛物线的解析式可以写成的形式，
即，
∴，，
∴，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：由题意作图如下，
①∵的圆心为G，的圆心为E，
∴GE是与圆心的连线，
∵两圆相切时，圆心的连线经过切点，
∴当与内切时，GE经过切点，
∵点B是线段GE延长线上的点，且在上，
∴点B是与内切时的切点，
∴点B在以点E为圆心，为半径的上，
∴，
②在中，
令得，
∴抛物线与y轴交于点C的坐标为，
设直线BC的解析式为，
将和的坐标代入，
得，
∴，
∴设直线BC的解析式为．
∵点F在抛物线上，
∴设点F的坐标为，
由题意轴，
∴点E的坐标为，
∵点F在BC的上方，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
∵点E在线段BC上，
∴，
∴,
∵，
∴，
整理得，，
解得或3，
当时，点E，F，B重合，此时不存在，
故不合题意，应舍去，
∴，
当时， ，
∴求点F的坐标为．
25．（1）解：连接，过点作，垂足为，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
，则 ， ，
在△中，，
∴，
∴，
，
当时，，
即，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过点作，垂足为，
∵，
∴，则，
∴，
在△中，
∵，
∴；
当时，，
即，不存在；
∴的余切值为：；
（3）解：如图
由可得，
∴，，，
∴△≌△，
∴；
设，，由题意得，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，，
∴，
∴△∽△，
∴，
即
∴，
∴，
∴．