沪教版九年级数学下册 27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 试题（含详解）

27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
2．若C、D为半圆AB上三等分点,那么CD:AB为( )
A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶2
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等
B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°
C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大
D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧
4．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是 ( )
A．== B．
C． D．
5．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（ ）
∵ ∴= （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4）
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
6．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是( )
A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB
C．EC＝FD D．∠DFB＝75°
7．如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
10．如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么 ， = ，∠AOC ∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么 = ， ；
（3）如果=，那么 ， ， ．
12．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 ．
13．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °．
14．如图，⊙经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为 ．
15．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为 度．
16．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是 ．
17．如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则弧AC与弧CB弧长的大小关系是 .
18．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝ ．
三、解答题
19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．
20．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．
求证：（1）AB＝CD；
（2）AE＝CE．
21．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.
22．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：
（1）OC＝OD：
（2）．
23．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
24．如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G．
(1)求证：；
(2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数．
25．如图，已知是的直径，点在上，且C是优弧的中点，过点C作于点D．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
26．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：；
(2)若C、D是AB的三等分点，：
①求；
②请比较GE和BE的大小．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．
【解析】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；
B中，等弧所对应的弦相等，故选B
C中，圆心角相等所对应的弦可能互补；
D中，弦相等，圆心角可能互补；
故选B
2．D
【分析】根据圆心角定理可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则△OCD为等边三角形，即CD等于半径.
【解析】
∵C、D为半圆AB上三等分点,
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，
∴△OCD为等边三角形，
则CD=OC=AB.
故选D.
3．D
【分析】圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案．
【解析】A. 在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合题意；
B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，此项说法正确，不符合题意；
C. 在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意；
D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断.
【解析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，
∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线,
∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF，
∴DF=DF=BF，
则==.
故选A.
5．C
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断．
【解析】（1）在⊙O中，∵，∴=，∴（1）正确；
（2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确；
（3）∵，∴∴；∴（3）正确；
（4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确
故选：C
6．A
【解析】试题分析：利用点C，D是的三等分点，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度数，通过证△AOE≌△BOF，得出OE=OF，则EC＝FD.连接AC，在△ACE中，求证AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系.
解：∵点C，D是的三等分点，
∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，
∴选项B正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°，
故选项D正确.
∴∠AEO=∠BFO，
在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO，
∴△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴EC＝FD,故选项C正确.
在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=（180°-30°）=75°，
∴∠ACO=∠AEC，
∴AC=AE，同理BF=BD，
又∵AC=CD=BD，
∴CD=AE=BF，
∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD，
∴EF∴CD=AE=BF>EF，故A错误.
故选A．
7．C
【分析】利用垂径定理，弦、弦心距的关系求得，，证明四边形是正方形，利用勾股定理即可求解．
【解析】解：∵，，，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
连接，则．
故选：C．
8．B
【分析】先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数．
【解析】∵∠AOD＝100°，
∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°，
∵点C为弧BAD的中点
∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140°
∵OC=OB
∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20°
故选B．
9．C
【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，根据∠A＝50°，先求出，再求出，进而可求出∠BOC．
【解析】解：过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
，，
∵∠A＝50°，
∴，
∴
，
∴∠BOC＝
故选：C．
10．D
【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案．
【解析】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∴，
∴，故B不符合题意；
∴，故C不符合题意；
∵不一定为的中点，
∴不一定成立，故D符合题意；
故选D
二、填空题
11． AB=CD， ， ， = ， ， ∠AOB=∠COD， AB＝CD， ∠AOB＝∠COD， =
【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
【解析】（1）∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，=，∠AOC=∠BOD；
（2）∵AB=CD，
∴=，∠AOB=∠COD；
（3）∵=，
∴AB=CD，∠AOB=∠COD，=．
故答案为AB=CD，，，=，，，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，=
12．60°
【分析】根据圆心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，则的度数为60°.
【解析】∵为60°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=60°，
则的度数为60°.
故答案为60°.
13．30
【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数．
【解析】解：∵弧与弧相等，
∴弧和弧相等，
∴；
故答案为：30．
14．
【分析】利用等腰三角形的性质先求解，，再利用三角形的内角和定理可得，，再求解，从而可得答案.
【解析】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴弧的度数为．
故答案为40．
15．60
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．
【解析】连接OC、OD，
∵，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为60．
16．105°．
【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，
∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，
∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
17．相等
【分析】根据直角三角形的判定定理HL，可得出△COD≌△COE，则∠COD=∠COE，再根据在同圆中，相等的圆心角所对的弧也相等得出结论．
【解析】∵CD⊥OA、CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90 ，
∵CD=CE，CO=CO，
∴△COD≌△C0E，
∴∠COD=∠COE，
∴=.
故答案为相等.
18．
【分析】过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长．
【解析】解：过点作于，过点作于，连接，如图，
设，
，
，，
点为弧的中点，
，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和△中
，
△，
，，
，
，解得，
．
故答案为4．
三、解答题
19．证明：连接BD．
∵AB＝CD
∴＝
∴－＝－，即＝
∴∠D＝∠B
∴BM＝DM
20．证明：（1）∵AD＝BC
∴＝
∴－＝－
即＝
∴AB＝CD
（2）连接AC
∵＝
∴∠ACB＝∠DAC
∴AE＝CE
21．证明：如图，过点O作于点M.
，
.
同理，.
.
.
22．（1）证明：连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAC＝∠OBD．
在△OAC与△OBD中，
∵，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴OC＝OD．
（2）∵△OAC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴．
23．证明：（1）∵AB＝CD，
∴，
又∵点M是弧AC的中点，
∴，
∴，
即：，
∴MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，
在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，
∴ME＝＝＝，
∴MD＝MB＝2ME＝2．
24．（1）解：如图，连接，
为圆心，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
；
（2）∵劣弧所对圆心角的度数为，
，
，
四边形为平行四边形，
，
．
25．（1）解：如图：连接，延长交于点H．
是优弧的中点，
，
，
，
直线垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
，
.
（2）解：由（1）知，
∴，
．
设，则，
，
（舍去），
．
26．（1）解：∵DEOC，
∴∠COD=∠ODE，
∵OC=OD，OF=DE，
∴△OCF≌△DOE(SAS)；
（2）解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF=∠DOE=30°，
∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，
∴∠OGC=90°．
②∵，
∴，
又∵∠DOE=30°，
∴OF=2，
∵∠OCF=∠COF=30°，
∴CF=OF，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE=CF=OF=2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．