沪教版九年级数学下册 27.3垂径定理 试题（含详解）

27.3垂径定理
一、单选题
1．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
4．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（ ）．
A． B． C．3 D．或
5．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
6．如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（ ）
A．（－2，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（－1.5，﹣4）
8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
9．如图，是半圆的直径，，弦，是上的点，连结，．若，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．
10．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（ ）
A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关
C．只与，的值有关 D．只与，的值有关
二、填空题
11．垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．
符号语言：
∵①CD是直径，②CD⊥AB
∴③AE＝ ，④＝ ，⑤＝ ．
12．如图，在中，于点的长为，则弦的长为 ．
13．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ．
14．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是 cm．

15．如图，是的弦，以为斜边的等腰直角，圆心位于外，如果，，那么的半径是 ．
16．如图， 是的直径， 点是上的一点， 若于点 ， 则的长为 ．
17．如图在圆O中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，连接，并延长与圆交于点，那么 ．
18．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
三、解答题
19．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长．
20．如图，已知为直径，是弦，且于点E，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
21．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别为点、，且．求证：
22．如图， 在中， ， 以点为圆心， 长为半径作圆， 交于点 ， 交于点， 连接．
(1)若， 求的度数；
(2)若， 求的长．
23．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO=8，BC=12．
(1)求线段OD的长；
(2)当时，求DE的长．
24．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．
25．已知：如图，内接于，，点为弦的中点，的延长线交于点，联结，过点作交于点，联结.
（1）求证：；
（2）如果的半径为8，且，，求的长.
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为的与x轴交于、两点，且点C在x轴的上方．
（1）求圆心C的坐标；
（2）已知一个二次函数的图像经过点A、B、C，求这二次函数的解析式；
（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.
答案
一、单选题
1．B
【分析】如图，连接，由垂径定理知垂直平分，则，在中，由勾股定理得求的值，根据求出的值即可．
【解析】解：如图，连接
由垂径定理知垂直平分
∴
在中，由勾股定理得
∴
故选B．
2．A
【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【解析】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
3．D
【解析】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
在中,由勾股定理得：
故选：D.
4．D
【分析】分两种情形：当点M在线段OA上或点M在线段AO的延长线上时，分别求解即可．
【解析】解：如图1，∵AB=10，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5，
∴OA=OC=5，OM=3，AM=8，
∴CM==4，
∴AC==4；
如图2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5，
∴OA=OC=5，OM=3，AM=2，
∴CM==4，
∴AC==2，
综上所述：弦AC的长为4或2．
故选：D．
5．C
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据垂径定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根据四边形MONP是正方形，故可求解．
【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
∵OB=5，BM= ，
∴OM=
∵AB=CD=8，
∴ON=OM=4，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=3．
故选C．
6．D
【分析】过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM 变化过程中的最小值，由垂径定理可求得M 'B，再由勾股定理可求得OM '，另可知OM变化过程中的最大值等于圆半径，如此问题可以得解．
【解析】解：如图，过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM变化过程中的最小值，
由垂径定理可知M 'B=4，
∵OB=5，∴OM '=3，
又有OM变化过程中的最大值等于圆半径5，
∴3≤OM≤5，
故选D．
7．A
【分析】作AB⊥MN于B，连接AM，如图，设⊙A的半径为r，先根据切线的性质得OA=r，则点A的坐标为（-r，0），再利用垂径定理得BM=BN，利用MN∥x轴，M（-8，-4），得到B点坐标为（-r，-4），然后在Rt△ABM中，根据勾股定理得，解得r=5，则BM=BN=3，易得N点坐标为（-2，-4）．
【解析】解：作AB⊥MN于B，连接AM，如图，
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与y轴相切于原点O，
∴OA=r，
∴点A的坐标为（-r，0），
∵AB⊥MN，
∴BM=BN，
∵MN∥x轴，M（-8，-4），
∴B点坐标为（-r，-4），
在Rt△ABM中，AB=4，AM=r，BM=8-r，
∵，
∴，解得r=5，
∴BM=3，
∴BN=3，
∴N点坐标为（-2，-4），
故选：A．
8．C
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，根据垂径定理可得AE=BE=3，从而得到CE=1，然后设OE=x，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解．
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，
∴，
∵AC＝4，BC＝2，
∴BA=6，
∴AE=BE=3，
∴CE=1，
设OE=x，
∴，
∵CD⊥OC，
∴，
∴或（舍去）．
故选：C
9．C
【分析】过点O作OM⊥CD，过点E作EN⊥AB，连接OC，设EC=3x，则ED=13x ,先证明四边形MONE是矩形，求出x的值，再根据勾股定理求出OM及OE的值．
【解析】解：过点O作OM⊥CD，过点E作EN⊥AB，连接OC，垂足分别为点M、N，
∵，
∴设EC=3x，则ED=13x ,
∴CD=16x，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM=8x，
∴ME=CM-CE=8x-3x=5x，
∵OM⊥CD，，EN⊥AB，
∴∠MON=∠OME=∠ONE =90°，
∴四边形MONE是矩形，
∴ON=ME=5x，
∵AB=20，
∴OB=10，
∵，EN⊥AB，
∴ON=BN=5，
∴5x=5，即x=1，
∴CM=8，
∴，
∴
故选：C
10．D
【分析】连接AD、BE，先由垂径定理得，再根据得，用和表示出CE的长，即可得到DE的长．
【解析】解：如图，连接AD、BE，
∵DE为的弦，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故DE的长只与和的值有关．
故选：D．
二、填空题
11． 平分 平分 BE
【解析】略
12．
【分析】本题考查了垂径定理．根据垂径定理即可求解．
【解析】解：∵于点的长为，
∴．
故答案为：．
13．10
【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【解析】解：设圆的半径为，
∵C为弧的中心，，
∴延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，如图，
∴，
由勾股定理，得：，
即：，
解得：；
∴圆形瓦片所在圆的半径为：；
故答案为：10．
14．6
【分析】过点作于，连，根据垂径定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到，再利用勾股定理计算出，由得到答案．
【解析】解：过点作于，连，如图

则，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
则．
故答案为6．
15．5
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形以及勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．根据题意得出，，进而利用勾股定理得出答案．
【解析】解：连接并延长交于点，连接，，
，，
是的垂直平分线，
，，
是等腰直角形，，，
，，，
．
故答案为：5．
16．2
【分析】根据题意易得，则根据勾股定理可求解．
【解析】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得：；
故答案为2．
17．
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键．
连接，，根据点是的中点，证，得为直角三角形，根据已知条件求出半径，进而求得，根据，利用勾股定理求出，即可得到。
【解析】
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，是直径，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【解析】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19．解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
20．（1）∵为直径，是弦，且于点E，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
设的半径为R，则，
又，
在中，由勾股定理可得
，即 ，
解得，
∴
21．解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．（1）解：如图，连接．
，，
．
，
，
，
．
又，
．
（2）解：如图，过点作，垂足为．
，，，
．
又，
，
．
，，
．
23．（1）解：连接OB．
∵过圆心，且D是弦中点，
∴，
在中，．
∵．
∴；
（2）解：在中，．
设，则，
∴，
解得（舍），．
则．
24．（1）解：如图，连结OA，由题意可得：的直径为10，
∴OA=5,
∵CD⊥AB 即
∵OD==4,
∴CD=OC+OD=9.
所以此时支撑杆的高度为9cm．
（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，
由题意可得：
∴四边形为正方形，
∵CD⊥EF
∴AE=CD=BF=AB,
∵CD⊥AB
设
则
∵OA=OC=5,
∴OD=2x-5
由勾股定理可得：
解得
经检验不符合题意，舍去，取
（cm），
即手机的宽度为8cm．
25.（1）证明：如图1所示：
，，
直线AD经过圆心O，
，，
点E为弦AB的中点，
是的中位线．
，
，
，
，
．
，
，
，
又，
，
；
（2）证明：联结如图所示：

，，
是等腰直角三角形，
．
，
，且，
．
∴∠BFC= =45°，
，
和△CFG均为等腰直角三角形，
AB．CG=FG=FC；
∵AC=AB=BF=12
∴AG=BG=6，CG=FG=12-6
∴CF=（12-6）×=12-12
26．（1）连接AC，过点C作CH⊥AB，垂直为H，
由垂径定理得：AH=AB=2，
则OH=1，
由勾股定理得：CH=4．
又点C在x轴的上方，
∴点C的坐标为（1，4）．
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意，得，解这个方程组，得，
∴这二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．
（3）①当四边形APBM是平行四边形时，过点M作MK⊥x轴，
∴PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM，
∴△AOP≌△BKM，则BK=OA=1，则点M的横坐标为2，
∴y=-4+4+3=3，
∴此时点M的坐标为（2，3）；
②∵当PM∥AB，PM=AB时，四边形APMB是平行四边形，
则设M的坐标为（4，y），则可得y=-16+8+3=-5，
则此时点M的坐标为（4，-5）；
③当四边形ABPM是平行四边形时，
设点M的坐标为（-4，y），
则可得y=-16-8+3=-21，
则此时点M的坐标为（-4，-21）．
∴点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．