沪教版九年级数学下册 27.5圆与圆的位置关系 试题（含详解）

27.5圆与圆的位置关系
一、单选题
1．如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（　　）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
2．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与 ⊙A、⊙B 都内切，且 AB=7，AC=8，BC=9，那么⊙C 的半径长是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
4．如图，在一个边长为3的正方形内有两个互相外切的圆，且两圆都与正方形的两邻边相切，两圆心距为（ ）
A． B． C． D．
5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（　　）．
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
6．如果⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，那么⊙O2的半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形，的余弦值为，分别以腰AB、CD为直径作圆，那么这两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
8．在 ABC中，，且两边长分别为4和5，若以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，则⊙和⊙位置关系是（ ）
A．只有外切一种情况； B．只有外离一种情况；
C．有相交或外切两种情况； D．有外离或外切两种情况．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．不能确定
10．如图，已知中，，．、分别是边、上的点，DE∥AC，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
二、填空题
11．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距为 ．
12．已知圆O1与⊙O2外切，它们的圆心距为16cm，⊙O1的半径是12cm，则⊙O2的半径是 cm．
13．两圆的圆心距，两圆的半径长分别是方程的两根．则两圆的位置关系为 ．
14．已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ．
15．在Rt ABC中，，，分别以点为圆心画圆，如果点在上，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是 ．
16．如图，Rt ABC中, ，，与AB相切，若与相交，则半径的取值范围是 ．
17．在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆的圆心为，半径为，那么圆的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，如果以E为圆心，r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为 ．
三、解答题
19．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝．
（1）求AC的长；
（2）求⊙A、⊙B、⊙C半径．
20．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AD＝AB，联结O1E．
（1）求证：O1E＝O1C；
（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求AB的长．
21．如图，等圆⊙O1、⊙O2相交于AB，圆心O1、O2分别在另一个圆上
（1）求∠O1AB的大小；
（2）若圆的半径为2cm，求公共弦AB的长．
22．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接．
（1）求证：；
（2）如果＝10，，求⊙的半径长．
23．设点、点，分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P．
(1)当时，求点P的坐标；
(2)当时，能否找到一定点Q，使为定值？若能找到，请求出Q点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由．
24．二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．

（1）求直线的表达式和点的坐标；
（2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标；
（3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标．
25．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE的长；
（2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为d：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．
【解析】解：∵两圆半径之差圆心距，
∴两个圆的位置关系是内切．
故选：B．
2．D
【分析】由题意知与内含，则知两圆圆心距，代入数值进行计算即可．
【解析】解：根据题意两圆内含，则知两圆圆心距，
，
解得，
故选：D．
3．A
【分析】设⊙A 的半径为x，⊙B的半径为y，⊙C的半径为z，构建方程组即可解答．
【解析】解：设⊙A 的半径为x，⊙B的半径为y，⊙C的半径为z，
由题意得
⊙C的半径为12，
故选：A．
4．A
【分析】作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，利用切线的性质得到OE=R，O′F=r，再根据正方形的性质得到∠BAC=∠BCA=45°，AC=3，所以OA=R，O′C=r，利用两圆外切性质得到OO′=R+r，从而得到R+R+r+r=3，然后求出R+r即可．
【解析】解：如图，作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，则OE=R，O′F=r，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=AB=3，
∴OA=R，O′C=r，
∵⊙O与⊙O′外切，
∴OO′=R+r，
∴R+R+r+r=3，
∴R+r==6-3，
即两圆心距为6-3．
故选：A．
5．A
【分析】结合题意，根据圆与圆位置关系的性质计算，即可得到答案．
【解析】∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
6．D
【分析】根据⊙O1和⊙O2内含，分两种情况讨论，根据半径差大于圆心距列出不等式，解不等式求解即可
【解析】解：∵⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，么⊙O2的半径为r
当时，，则
当时，，则
综上所述，或
故选D
7．B
【分析】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，利用三角函数求得AB的长度，利用梯形中位线定理，两圆的位置关系判断即可．
【解析】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∵对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形，
∴AD：BC=2：3，
设AD=2k，则BC=3k，
∵cosB=，
∴AB=5BE．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，
∴△ABE≌△DCF(HL)
∴BE=CF．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，AE∥DF，AE=DF，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF=2k，
∴BE=，
∴AB=5BE==CD．
设AB的中点为M，CD的中点为N，连接MN，
则MN是等腰梯形ABCD的中位线，
∴BE=，
∵AB=5BE==CD，
∴圆M的半径等于圆N的半径，
∴圆M的半径+圆N的半径==MN，
故两个圆外切，
故选B．
8．D
【分析】本题中给出的 ABC两边长分别为4和5，则存在两种情况，一种情况是直角边中的一边长为4cm，斜边长为5cm；另一种情况是两直角边长分别为4cm和5cm.
【解析】（1）在第一种情况下，AB边长为5cm，以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，两圆心的距离为5 cm，由d=r1+r2可得，两圆位置关系为外切．
（2）在第二种情况下，两直角边分别为4cm和5cm，则AB长为＝, 以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，两圆心的距离为cm，由d>r1+r2可得，两圆位置关系为外离.
故选D.
9．C
【分析】根据勾股定理求得的长，根据AD=2CD，求得的长，根据DE∥BC，证明，求得，进而求得的长，勾股定理求得CE的长，进而比较圆心距与半径和，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．
【解析】解：连接，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，
∴，
AD=2CD，AC=6，
，．
DE∥BC，
，
，
．
，
．
在中，．
>．
以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交．
故选C．
10．B
【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由．可得AC=4x，AB=5x，然后根据，可得，EF=AE=，从而得到的半径为x，即可求解．
【解析】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，
设CD=x，
∵．
∴BD=2x，BC=3x，
∵．
∴AC=4x，
∴AB=5x，
∵，
∴，．
∴BE=2AE，，
∴EF=AE=，
∴，
∴CD=DE，
∵经过点，且与外切，
∴的半径为x，
∵，即AC⊥BC，
∴与直线相切．
故选：B
二、填空题
11．2或8
【分析】分两圆内切和外切两种情况，两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，据此可求得结果．
【解析】当两圆内切时，圆心距为，两圆外切时，圆心距为；
故答案为；2或8．
12．4.
【解析】试题分析：根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．
试题解析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是16-12=4cm．
故答案为4．
13．外离
【分析】：本题可将方程的两个根求出来，若d＞R＋r则两圆相离；若d＝R＋r则两圆外切；若d＝R r则两圆内切；若R r＜d＜R＋r则两圆相交．
【解析】解：原方程可以变形为（x 3）（x 4）＝0，
解得x1＝3，x2＝4．
∵x1＋x2＝7＜8，
∴两圆外离．
故填：外离.
14．或
【分析】先确定两圆的位置关系再求范围，由两圆没有公共点，可得两圆内含或外离，再列不等式即可．
【解析】解：∵两圆没有公共点，
∴两圆内含或外离．
当两圆内含时，，即，
当两圆外离时，，
∴d的取值范围是：或．
故答案为：或．
15．
【分析】根据勾股定理求出斜边，根据点和圆的位置关系求出的半径，再求出的半径的取值范围即可．
【解析】解：在Rt ABC中，，，由勾股定理得：，
点在上，
的半径是6，
设交于，则，
∵与相交，
∴，
点在外，，
∴的半径小于10，
即的取值范围是，
故答案为：．
16．
【分析】过点作于点，利用勾股定理计算出的长度，再利用等面积法计算出的长度，再根据切线的性质得到为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到，最后解不等式即可．
【解析】解：过点作于点，如图，
，，
，
，
，
与AB相切，
为的半径，即的半径为2.4，
与相交，
，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】如图，与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，数形结合求出图形中的长，进而得到两圆心的坐标．
【解析】解：画出图如图所示：
点的坐标为过点的直线与平行并过点，
过点的直线与平行，
过点的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，
与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，，
如图，，都是等腰直角三角形，，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，根据直角三角形的性质得到EG＝AB＝5，根据三角函数的定义得到CH＝BC＝CD＝5，推出点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE＝k，AE＝2k，得到BE＝2，根据勾股定理得到BH＝＝5，求得EH＝BH﹣BE＝3，于是得到结论．
【解析】解：设AB的中点为G，
连接EG，延长BE交CD于H，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴EG＝AB＝5，
∵在正方形ABCD中，∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝∠ABE+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠BAE，
∴cot∠BAE＝cot∠CBH＝＝2，
∴CH＝BC＝CD＝5，
∴点H是以CD为直径的圆的圆心，
设BE＝k，AE＝2k，
∴AB＝k＝10，
∴k＝2，
∴BE＝2，
∵∠C＝90°，BC＝10，CH＝5，
∴BH＝ ＝5，
∴EH＝BH﹣BE＝3 ，
∵r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，
∴r的取值范围为，
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）如上图作AH⊥BC于H，
在中，∵AB＝10，＝，
∴AH＝8，BH＝6，
∵BC＝21，
∴CH＝15，
在中，AC＝＝＝17．
∴AC＝17
（2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，
则有，解得
∴＝3，＝7，＝14．
20．（1）证明：联结O1A，
∵点E为AD的中点，
∴O1E⊥AD，AE＝，
∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，
∴O1C⊥AB，
∴AC＝AB，
∵AB＝AD，
∴AE＝AC，
在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，
∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）
∴O1E＝O1C；
（2）解：设⊙O2的半径长为r，
∵O1E＝O1C＝6，
∴O2C＝10﹣6＝4，
在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，
∵Rt△O1EA≌Rt△O1CA，
∴AC＝AE＝8﹣r，
在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，
解得，r＝5，
∴AC＝8﹣5＝3，
∴AB＝2AC＝6．
21．解：（1）连接AO2，O1O2，设AB交O1O2于点D，如图所示．
∵⊙O1、⊙O2为等圆，
∴AO1＝AO2＝O1O2，
∴△AO1O2为等边三角形，
∴∠O1AO2＝60°．
又∵O1O2⊥AB，
∴BA平分∠O1AO2，
∴∠O1AB＝∠O1AO2＝30°．
（2）在Rt△O1AD中，O1A＝2，∠O1AD＝30°，
∴AD＝O1A cos∠O1AD＝．
∵O1O2⊥AB，
∴AB＝2AD＝2．
22．（1）⊙和⊙相交于A、B两点，
∴是AB的垂直平分线，
∴∠CA=90°，
∵E为AD的中点，
∴E⊥AD，
∴∠EA=90°，
∴∠CA=∠EA，
如图,连接
∵AE＝AC，A=A
∴△E≌△C，
∴E＝C.
（2）∵E⊥AD，
∴∠E＝90°，
在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6，
∵，
∴，
∴E＝8，
∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠，
∴△E∽△CA，
∴,
∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6，
，
∴＝5，
即⊙的半径长为5.
故答案为5.
23．（1）设，
由勾股定理，得，
解得（舍去负值）
∴；
（2）设，
由题意，得，
化简，得，
即，
∴定点为，定值为．
24．解：（1）二次函数的图像的顶点，与轴的交点，
设直线的表达式为，
可求得，．所以直线的表达式为．
可得，∵，
∴．
在Rt△中，由勾股定理得：．
∴．点．
（2）∵点、都在第二象限，且△的面积等于△的面积，
∴∥．
设直线的表达式为，点在直线上，
可得．
∴直线的表达式为．
可得点的坐标：．
（3）由、M（-5，1）可得：
CM=
①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN=；
∴ON=AN+OA=+2
或ON=AN-OA=-2
即：点N的坐标为：（--2，0）（-2，0）．
②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2
或ON=OA-AN=2-3
即：点N的坐标为：（-3-2，0），（3-2，0）．
综上可知：点的坐标，，，．
25．详解：（1）∵AE∥CD，
∴．
∵BC=DC，
∴BE=AE．
设CE=x，则AE=BE=x+2．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ，
即，
∴，即．
（2）①∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P，
∴∠ACQ=∠P．
又∵AE∥CD，
∴∠ACQ=∠CAE，
∴∠CAE=∠P，
∴△ACE ∽△PCA，
∴，
即，
∴ ．
②设CP=t，则 ．
∵∠ACB=90°，∴ ．
∵AE∥CD，
∴，即，
∴．
若两圆外切，那么，此时方程无实数解．
若两圆内切，那么，
∴ ，
解得．
又∵，
∴．