江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试卷（PDF版，含解析）

2024-2024 学年第二学期高三 2 月月考数学试卷
一、单选题
1 t．已知集合 A x log2 x 1 ， B t 1 2 8 t Z ，则 A B （ ）
A． 0,2 B． 0,1,2 C． 0,2 D． 1,2
a,b R z 2 ai2．已知 ，“复数 是纯虚数，i为虚数单位”是“a 2 ”的（ ）
2 ai
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
Sn a3 7．记 Sn为数列 an 的前 n项和，若 a3 2S2， 为等比数列，则 a （ ） n 3
A．4 B．8 C．16 D．32
ln(x 1), x 0
4．已知函数 f (x) g(x) f (x) m
x
2 2x 3, x 0，若函数 有 3个零点，则实数 m的取
值范围是（ ）
A． ( ,4) B．[3, 4) C． ( ,4] D．[3, 4]
5．已知随机变量 X ,Y 分别服从正态分布和二项分布，且 X～N 1,3 ，Y B 1 ～ 4, ，则（ ）
2
A．E X E Y B．D X D Y C． E X D Y D．D X E Y
x26 y
2
．已知双曲线C : 1 a 0,b 0 2 2 的左、右焦点分别F1，F2 .A是 C上的一点（在第a b
一象限），直线 AF2与 y 轴的负半轴交于点 B，若 AF1 BF1，且 BF2 4 F2A ，则双曲线 C
的离心率为（ ）
3
A 30． B 2 10． C． 3 D．
5 2 5
7．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱 AA1的中点， P为正方体表面上

的动点，且 D1P CE .设动点 P的轨迹为曲线W，则（ ）
A．W是平行四边形，且周长为 2 2 2 5
B．W是平行四边形，且周长为3 2 2 5
C．W是等腰梯形，且周长为3 2 2 5
D．W是等腰梯形，且周长为 2 2 2 5
试卷第 1页，共 4页
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1
8．已知平面向量 a，b， c，满足 a b 1，且 cos a,b ， c a b 1，则b a c2
的最小值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
二、多选题
9．在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ）
A n．若二项式 a b 的展开式中，第 3项的二项式系数最大，则 n 5
B 8．若 1 2x a0 a1x a2x2 a x88 ，则 a1 a2 a3 a8 0
1
6
C．在 2x

的展开式中，常数项为 60
x
D． 1 x 1 x 5的展开式中， x2的系数为 5
1
10．已知数列 an 的前 n项和为 Sn，a1 3， an 1 1 a ，则（ ）n
2 1
A． a3 B． a 0 C． a D． S 403 5 2024 2 37
11 2．设函数 f x x 1 x 2 ，则（ ）
A． x 1是函数 f x 的极小值点 B． x 2, 1 ， f x 2 f x2 4x 4
x 3C．

,
1
， 4 f 2x 3 0 D． x 3, 2 ， f x f x 2
2 2
三、填空题
12．如图，在△ABC中，N为线段 AC上靠近 A点的三等分点，若

AP 1

m 1



AB BC，则m ．
10 10
13．寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，
其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为 .（用数字作答）
14．过抛物线 y2 4x上一动点 P作圆C : (x 4) 2 y 2 r 2(r 0) 的两条切线，切点分别为 A,B，
若 | AB | | PC |的最小值是12，则 r .
四、解答题
15．已知V ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，满足 acosC asinC b c 0 .
(1)求角 A；
(2)若a 4，V ABC 15的面积为 ，求 sin BsinC的值.
2
试卷第 2页，共 4页
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16．如图，在体积为 2 3的三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC是边长为 2的正三角形，
A1B AB D为 AC的中点.
(1)求证：平面 ACC1A1 平面 A1BD；
(2)求直线 A1D与平面 ABC1所成角的正弦值.
x217 y
2 3
．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的上顶点为 A(0,1)，离心率为 .a b 2
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设 B为椭圆 C的下顶点，动点 M到坐标原点 O的距离等于 1（M与 A，B不重合），直线
AM与椭圆 C的另一个交点为 N.记直线 BM，BN的斜率分别为 k1，k2，问：是否存在常数 ，
使得 k1 k2 0恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
试卷第 3页，共 4页
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18．已知函数 f x xln x a ．
(1)当 a 0时，求 f x 的极小值；
(2)若 f x 存在两个极值点 x1, x2 x1 x2 ．
（ⅰ）求 a的取值范围；
4
（ⅱ）证明： 2 f x1 0．e
19 *．设数列 an 满足：①a1 1；②所有项an N ；③1 a1 a2 a n a n 1 .设集合
Am {n | an m,m N
*)，将集合 Am中的元素的最大值记为 bm ，即 bm 是数列 an 中满足不等
式 an m的所有项的项数的最大值.我们称数列 bn 为数列 an 的伴随数列.
例如，数列 1，3，5的伴随数列为 1，1，2，2，3.
(1)若数列 an 的伴随数列为 1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列 an ；
(2)设 an 4
n 1
，求数列 an 的伴随数列 bn 的前 50项之和；
(3) a 2若数列 n 的前 n项和 Sn n c（其中 c为常数），求数列 an 的伴随数列 bn 的前m项
和Tm .
试卷第 4页，共 4页
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2024-2024 学年第二学期高三 2 月月考数学答案
选择题题答案汇总
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D B D B C D C B BCD AC AD
12. k 2 13. 600 14. 6
一、单选题
1．已知集合 A x log2 x 1 ， B t 1 2t 8 t Z ，则 A B （ ）
A． 0,2 B． 0,1,2 C． 0,2 D． 1,2
【详解】 A x x 2且x 0 x 2 x 2且x 0 ，
t
由指数函数的性质可得 B t 1 2 8 t Z 0,1, 2,3 ，∴ A B 1,2 .故选:D.
2．已知 a,b R
2 ai
，“复数 z 是纯虚数，i为虚数单位”是“a 2 ”的（ ）
2 ai
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 ai 2 2i 1 i 1 i 2 a 2 z 2i【详解】若 ，则 i为纯虚数；
2 ai 2 2i 1 i 1 i 1 i 2
2 ai 4 a2 4a 4 a2 0
若复数 z i为纯虚数，则 ，解得a 2，
2 ai 4 a2 4 a2 4a 0
所以“复数 z
2 ai
是纯虚数，i为虚数单位”是“ a 2 ”的必要不充分条件.故选：B.
2 ai
S a n S a3 7．记 n为数列 n 的前 项和，若 a3 2S2， n 为等比数列，则 （ ）
n

a3
A．4 B．8 C．16 D．32
Sn S S【详解】因为 为等比数列，所以 n 的首项为 a ，第二项为 2 ，
n n
1
2
S S a S 2S
第三项为 3 2 3 2 2 S ，
3 3 3 2
Sn 2 n 1故 的公比为 ，所以 Sn nan 1
2 ，

n 2
所以当 n 2时， an Sn Sn 1 n 1 a1 2 ，显然当 n 1时也符合，
5
故 an
7 1 a
n 1 a 2n 2 a7 1 21 ，所以 32 .故选：D.a3 3 1 a1 2
试卷第 1页，共 11页
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ln(x 1), x 0
4．已知函数 f (x) 2 g(x) f (x) m
x 2x 3, x 0
，若函数 有 3个零点，则实数 m的取

值范围是（ ）
A． ( ,4) B．[3, 4) C． ( ,4] D．[3, 4]
【详解】由于函数 g x f x m有 3个零点，
则方程 f x m 0有三个根，故函数 y f x 与 y m的图象有三个
ln x 1f x , x 0交点；函数 2 ，其图象如下所示，又因为函数 f 1 4, f 0 3，
x 2x 3, x 0
则实数m的取值范围 3,4 ，故选：B.
1
5．已知随机变量 X ,Y 分别服从正态分布和二项分布，且 X～N 1,3 ，Y～B 4, 2 ，则（ ）
A．E X E Y B．D X D Y C． E X D Y D．D X E Y
1 1 1
【详解】由题可得 E X 1， E Y 4 2，D X 3，D Y 4 1 2 2 2
1，

所以 E X D Y .故选：C.
6 C : x
2 y2
．已知双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别F1，F2 .A是 C上的一点（在第a b
一象限），直线 AF2与 y 轴的负半轴交于点 B，若 AF1 BF1，且 BF2 4 F2A ，则双曲线 C
的离心率为（ ）
3
A 30 2 10． B． C． 3 D．
5 2 5
【详解】设 2 = ，如图所示：
由题意可得 BF2 4m， BF1 4m， AF1 m 2a；
又 AB AF2 BF2 ，由 AF1 BF
2 2 2
1可得 AF1 BF1 AB
m 2 2即 2a 16m2 4m m ，解得m a；
所以 2 = ， AF1 3a， BF1 4a；
2 2 2 2 2 2
AF F cos AF F a 4c 9a 4c 8a c 2a
2
在 2 1中， 2 1 4ac 4ac ac
c
在 OF2B中， cos BF2O ，4a
试卷第 2页，共 11页
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2 2
又由 F1F2A F F B π
c 2a c
1 2 ，有
c 2 10 2 10
，解得 ，故 e .故选：D.
ac 4a a 5 5
7．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱 AA1的中点， P为正方体表面上

的动点，且 D1P CE .设动点 P的轨迹为曲线W，则（ ）
A．W是平行四边形，且周长为 2 2 2 5
B．W是平行四边形，且周长为3 2 2 5
C．W是等腰梯形，且周长为3 2 2 5
D．W是等腰梯形，且周长为 2 2 2 5
【详解】分别取 AD, AB的中点 F ,G，连接 A1C1、DE、D1B1、D1F、B1G、 FG、 DB，
则 FG∥DB∥D1B1，∴ F、G、B1、D1四点共面
若 P为面 A1B1C1D1上的动点，
由正方体 ABCD A1B1C1D1易得，平面 A1ECC1 平面 A1B1C1D1，且平面 A1ECC1 平面

A1B1C1D1 A1C1 ，要使D1P CE，则只需D1P A1C1 ，此时 P的轨迹为线段D1B1；
若 P为面 A1D1DA上的动点，
由正方体 ABCD A1B1C1D1易得，平面CED 平面 A1D1DA，且平面CED 平面 A1D1DA ED，

要使 D1P CE，则只需D1P ED，因为 E、F分别是 AA1、AD的中点，易证DE D1F，故此
时 P的轨迹为线段D1F；
所以动点 P的轨迹曲线W为过点 F、D1、B1的平面与正方体各表面的交线，即梯形D1B1GF .
因为正方体的棱长为 2，所以
D 1 2 21B1 2 2，GF DB 2,B1G D1F 2 1 5 .2
所以曲线W为等腰梯形，且周长为3 2 2 5 .故选：C.

8．已知平面向量 a，b，c，满足 a b 1，且 cos a,b
1
，c a b 1，
2

则b a c 的最小值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
试卷第 3页，共 11页
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1 3 1 3
【详解】可设 a ,2 2
，b

, ， c x, y ，
2 2
2
则 c a b 1 x, y 1 3 1 , ,
3
1 x
2 y 3 1 .
2 2 2 2
x cosθ
可设： ，则
y 3 sin θ

1 3 1 3 3 1 b a c , , cos θ, 3 sin θ 1 sin θ cosθ2 2 2 2 2 2
1 sin θ
π
0 .故选：B
6
二、多选题
9．在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ）
A．若二项式 a b n的展开式中，第 3项的二项式系数最大，则 n 5
B．若 1 2x 8 a0 a1x a x22 a 88x ，则 a1 a2 a3 a8 0
2x 1
6
C ．在 的展开式中，常数项为 60
x
D 1 x 1 x 5． 的展开式中， x2的系数为 5
【详解】对于 A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大，
当 n为偶数时，最中间项只有一项，又第 3项的二项式系数最大，故共为 5项，
所以 n 1 5，解得n 4，
当 n为奇数时，中间项有二项，又第 3项的二项式系数最大，
所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大
或，
此时 n 1 4或 n 1 6，解得 n 3或 n 5，故 A错误；
对于 B，令 x 1 8，可得 a0 a1 a2 a8 1 2 1，
令 x 0 8，可得 a0 1 0 1，所以 a1 a2 a3 a8 0，故 B正确；
6
对于 C 1 ， 2x 二项式的展开式的通项公式为
x
试卷第 4页，共 11页
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r
T Cr (2x)6 r 1
6 3 r
r 1 6 C
r r
6 ( 1) 2
6 r x 2 ，
x
6 3令 r 0，解得 r 4 4 4 2，所以第 5项为常数项且常数项为C6 ( 1) 2 60，故 C正确；2
D 1 x 1 x 5 2 2 1 1对于 ， 展开式中 x2的系数为C5 ( 1) C5 ( 1) 5，故 D正确.故选：BCD.
10．已知数列 1an 的前 n项和为 Sn，a1 3， an 1 1 a ，则（ ）n
2 1
A． a3 B． a3 5
0 C． a2024 D． S 402 37
【详解】由 a1 3，a
1 a 1 1 ,a 1 2n 1 ，可得 2 3 ,1 an 1 a1 2 1 a2 3
a 14 3, a
1 1
5 1 a 1 a 2，故 A正确；B错误；3 4
对于 C，由上可知，数列 an 是以 3为周期的周期数列，
则 a
1
2024 a3 674 2 a2 ，故 C正确；2
对于 D， S37 (a1 a2 a3 ) 12 a1 (3
1 2
) 12 3 41
2 3 ，故 D错误.故选：AC.
11 2．设函数 f x x 1 x 2 ，则（ ）
A． x 1是函数 f x 的极小值点
B． x 2, 1 ， f x 2 f x2 4x 4
3 1
C． x

, ， 4 f 2x 3 0
2 2
D． x 3, 2 ， f x f x 2
【详解】依题意， f x x 1 2 x 2 x3 3x 2 f x 3x2，则 3 3 x 1 x 1 ，
令 f x 3 x 1 x 1 0，解得 x 1或 x 1，则函数 f x 在 , 1 , 1, 上单调递
增，
令 f x 3 x 1 x 1 0，解得 1 x 1，则函数 f x 在 1,1 上单调递减，
所以函数 f x 在 x 1处取得极小值，所以 A选项正确；
对于 B选项，因为 x 2, 1 2，所以 x 2 0,1 ，所以 x2 4x 4 x 2 0,1 ．
试卷第 5页，共 11页
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x2 4x 4 x 2 x2 3x 2 x 3
2 1
因为 2 2
0，所以 x 4x 4 x 2．
4
又函数 f x 在 0,1 2上单调递减，所以 f x 2 f x 4x 4 ，所以 B选项不正确；
3 1
对于 C选项，因为 x , ，所以 2x 3 0,2 ，
2 2
又 f 1 4， f 0 2， f 2 0，所以根据函数 f x 的单调性，
可知 4 f 2x 3 0，所以 C选项错误；
对于 D选项，因为 x 3, 2 ，所以 x 2,3 ， x 2 1,0 ，又 f 1 0， f 2 0，
根据函数 f x 的单调性，当 x 2,3 时， f x 0；
当 x 2 1,0 时， f x 2 0，所以 f x f x 2 成立，所以 D选项正确，
故选：AD．
三、填空题
1 1
12．如图，在△ABC中，N为线段 AC上靠近 A 点的三等分点，若 AP m 10
AB BC，
10
则m ．
【详解】
1 1 AP m AB BC 1
1 1 m AB AC AB mAB AC．
10 10 10 10 10
3
因为 N为线段 AC上靠近 A点的三等分点，所以 AP mAB AN．
10
3 7 7
又 B，P，N三点共线，所以 m 1，m ．故答案为：
10 10 10
13．寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座
位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同
的坐法种数为 .（用数字作答）
【详解】先选司机有C1 1 32种，再选副驾，若副驾坐人，则有C3A5种；
4 1 1 3 4
若副驾不坐人，则有A5 种，故不同的坐法种数为C2 C3A5 A5 600 .故答案为：600
14．过抛物线 y2 4x上一动点 P作圆C : (x 4) 2 y 2 r 2(r 0) 的两条切线，切点分别为 A,B，
若 | AB | | PC |的最小值是12，则 r .
2
【详解】设 P(x0 , y0)，则 y0 4x0，圆C的圆心C(4,0)，半径为 r，
试卷第 6页，共 11页
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由 PA,PB切圆C于点 A,B，得 PC AB,PA AC,PB BC，
则 AB PC 2S 4S 2 2 PA AC 2r PC r 2 2r x 4 2 y 2 r 2
四边形PACB V PAC 0 0
2r x2 2 20 4x0 16 r 2r (x0 2) 12 r
2 2r 12 r 2 ，
当且仅当x 20 时，等号成立，
可知 AB PC 的最小值为 2r 12 r 2 12，
整理可得 r 4 12r 2 36 0，解得 r2 6，
且 r 0，所以 r 6，故答案为： 6 .
四、解答题
15．已知V ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，满足 acosC asinC b c 0 .
(1)求角 A；
(2)若a 4 15，V ABC的面积为 ，求 sin BsinC的值.
2
【详解】（1）由条件得 acosC asinC b c，从而
acosC asinC b c acosC ccos A c acosC ccos A c .
所以 asinC ccos A c，由正弦定理得 sin AsinC sinC cos A sinC，故 sin A cos A 1.
2
从而1 12 sin A cos A sin2 A cos2 A 2sin Acos A 1 2sin Acos A，得 sin Acos A 0，
π
故 cos A 0 .所以 A .
2
（2）设 ABC的面积为S，则
sin B sinC bc sin B·sinC bc sin A
2 1 2 bc bc bc sin A 2S 15
b c
.
a a 16 16 16 16
16．如图，在体积为 2 3的三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC是边长为 2的正三角形，
A1B AB D为 AC的中点.
(1)求证：平面 ACC1A1 平面 A1BD；
(2)求直线 A1D与平面 ABC1所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：因为V ABC是边长为 2的正三角形，设点 A1到平面 ABC的距离为 h，
3
则三棱柱 ABC ABC 的体积V 221 1 1 h 2 3 ，所以 h 2，
4
试卷第 7页，共 11页
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因为 A1B AB 2，所以 A1B就是点 A1到平面 ABC的距离，故 A1B 平面 ABC .
因为 AC 平面 ABC，所以 A1B AC，
因为 AB BC,D为 AC中点，所以 BD AC，
因为 A1B BD B, A1B,BD 平面 A1BD，所以 AC 平面 A1BD，
因为 AC 平面 ACC1A1，所以平面 ACC1A1 平面 A1BD .
（2）解：以 B为原点，直线 BA为 x轴，在平面 ABC内过点 B与 AB垂直的直线为 y轴，直
线 BA1为 z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则 B 0,0,0 , A 2,0,0 , A1 0,0, 2 ,C 1, 3,0 ,D 3 ,
3 ,0 ，
2 2

所以 BA 2,0,0 ,BA1 0,0,2 ,AC 1, 3,0 ，

A1D
3 3
, , 2 ，所以 BC1 BA1 A1C1 BA1 AC 1, 3,22 2 .

n

BA 0, 2x 0,
设平面 ABC1的法向量为 = , , ，则有 得
n BC1 0, x 3y 2z 0,
n 取 z 3，得 0, 2, 3 .设直线 A1D与平面 ABC1所成角为 ，
0 3 3n AD 2 3 2 1 2 2
则 sin cosn
,AD 3 31 n AD 2 2 7
，
1
02 3 3 ( 2)2 ( 3)2 ( 2)
2
2 2
AD 3 3所以直线 1 与平面 ABC1所成角的正弦值为 .
7
2 2
17 x y 3．已知椭圆C : 1(a b 0)的上顶点为 A(0,1)，离心率为 .
a2 b2 2
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设 B为椭圆 C的下顶点，动点 M到坐标原点 O的距离等于 1（M与 A，B不重合），直线
AM与棈圆 C的另一个交点为 N.记直线 BM，BN的斜率分别为 k1，k2，问：是否存在常数 ，
使得 k1 k2 0恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
试卷第 8页，共 11页
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a2 b2 c2 ,

c 3
【详解】（1）由题意得 , 解得 a 2，b 1.
a 2
b 1.

2
所以椭圆 C x的方程为 y2 1.
4
（2）因为 B为椭圆 C的下顶点，所以 B(0, 1) .
y0 1
设 N x0 , y0 （ x0 0且 y0 1），则直线 BN的斜率 k2 x .0
由点 M到坐标原点 O的距离等于 1，可知点 M在以 AB为直径的圆上，
y0 1
所以直线 AM与直线 BM垂直.由题意得直线 AM的斜率 kAM x ，0
1 x0 k x x x2
所以直线 BM的斜率 k .所以 11 0 0 0kAM y
.
0 1 k2 y0 1 y0 1 1 y
2
0
x2 2 4 1 y2 k
因为点 N在椭圆 C上，所以 0 y20 1
k1 x 0 1，故 0 2 2 4，所以 4，4 k2 1 y0 1 y k0 2
所以存在 4，使得 k1 k2 0恒成立.
18．已知函数 f x xln x a ．
(1)当 a 0时，求 f x 的极小值；
(2)若 f x 存在两个极值点 x1, x2 x1 x2 ．
（ⅰ）求 a的取值范围；
4
（ⅱ）证明： 2 f x1 0．e
【详解】（1）当 a 0时， f x xlnx，
可知 f x 的定义域为 0, ，且 f x 1 lnx，
1 1
当 x 0, 时， f x 0；当 x , 时，当 f x 0；
e e
可知 f x 1 1 在 0, 上单调递减， f x 在e , 上单调递增， e
所以 f x 的极小值为 f 1 1
e e
（2）（i）由题意可得： f x 的定义域为 a, ，
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{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}
且 f x ln x a x 1
x a x a
x a ln x a x ，
设 g x x a ln x a x，可知 g x 在 a, 内有两个变号零点，
则 g x 2 ln x a ，
x a, 1当 2 a

， g x
1
0；当 x 2 a ,

时， g x 0；
e e
可知 g x 1 1 在 a, 2 a 上单调递减，在 e e2
a, 上单调递增，

则 g x g 1 a 1的最小值为 a，
e2 e2
且当 x趋近于 时， g x 趋近于 ，
当 x

a,
1
2 a

时，则 x a 0, ln x a 0，可得 x a ln x a 0 ，
e
可得 g x x a ln x a x x a，即当 x趋近于 a时， g x 趋近于 a，
1
2 a 0 1可得 e ，解得 2 a 0，
a 0
e
1
所以实数 a的取值范围为 ,0 ；
e2
1
（ii）由（i）可知， a x1 2 a，且 x1 a ln x1 a xe 1
0 ，
所以 f x1 x1ln x1 a x1 a ln2 x1 a ，
设 h x xln2x 0 x
1
2 ，显然 h x 0，又 h x 2 lnx lnx， e
x 0, 1
1
因为 2

，则 h x 0，可知 h x 在 0, 2 上单调递减， e e
h 1 4 4且 2 2 ，可得 e e e2
h x 0，
4
所以 2 f x1 0 .e
19 *．设数列 an 满足：①a1 1；②所有项an N ；③1 a1 a2 a n a n 1 .设集合
A {n | a m,m N*m n )，将集合 Am中的元素的最大值记为 bm ，即 bm 是数列 an 中满足不等
式 an m的所有项的项数的最大值.我们称数列 bn 为数列 an 的伴随数列.
例如，数列 1，3，5的伴随数列为 1，1，2，2，3.
(1)若数列 an 的伴随数列为 1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列 an ；
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{#{QQABKQQAggAgAhAAAAgCUQGyCkMQkAAAASoOBAAcMAABgQNABAA=}#}
(2) a n 1设 n 4 ，求数列 an 的伴随数列 bn 的前 50项之和；
(3)若数列 an 的前 n项和 Sn n2 c（其中 c为常数），求数列 an 的伴随数列 bn 的前m项
和Tm .
【详解】（1） 数列 an 的伴随数列为：1，1，2，2，2，3，3，3，3， 数列 an 为：1，
3，6.
（2）由 an 4
n 1 m，得 n 1 log m(m N*4 )
当1 m 3,m N *时， b1 b2 b3 1
当 4 m 15,m N *时， b4 b5 b15 2
当16 m 50,m N*时， b16 b17 b50 3
b1 b2 b50 1 3 2 12 3 35 132
（3） a1 S1 1 c 1， c 0
当 n 2时， an Sn Sn 1 2n 1, an 2n 1 n N*
由 an 2n 1 m得， n
m 1
(m N*)
2
因为使得 an m成立的 n的最大值为 bm ，
*
所以b1 b2 1,b3 b4 2, ,b2t 1 b2t t(t N )
当m 2t 1(t N*)时；
T 2 1 (t 1)m (t 1) t
1
t 2 (m 1)2
2 4
当m 2t(t N*)时；
T 1 t 1m 2 t t
2 t m(m 2)
2 4
(m 1)2
(m 2t 1, t N
*)
4
所以Tm
m(m 2) (m 2t, t N *)
4
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