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第1课时 三角形及内角和 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1观察具体实例，说出三角形的概念及基本要素，会用符号表示三角形，培养学生的表达能力和符号意识；
2.通过剪拼、平移等操作，说出三角形内角和定理，并能利用其知识来解决简单实际问题，发展学生的空间观念和推理能力；
3.观察三角形图形，会按角的大小关系对三角形分类，并掌握直角三角形的相关性质，培养学生的应用意识和表达能力
【学习过程】
任务一：三角形的概念
活动1观察思考
1.多媒体展示图片，学生观察图片找到角的定义
定义：由不在 的三条线段首尾 所组成的图形叫做三角形.
2.有关概念：
如图，线段AB，BC，AC是三角形的边，点A，B，C是三角形的 ，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的 ，简称三角形的角.
3.表示方法：顶点是A，B，C的三角形，记作“ ”，读作“ ”.
【即时测评】
1.(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
(2)以 AB 为边的三角形有哪些？
（3）以 E 为顶点的三角形有哪些？
（4）以∠D 为内角的三角形有哪些？
（5）说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边.
评价任务一
得分：
任务二：三角形的内角和
活动2 观察交流
1.出示：在小学的时候我们用量角器量三角形的角和把三角形的三个角撕下来拼在一起的方法验证了“三角形三个内角的和是180°”的结论.现在，我们只撕下三角形的一个角，同样可以得到一样的结论，看看小明的做法，你能说出其中的道理吗？
图1 图2 图3
（1）剪一个三角形纸片，如图1，它的三个内角分别为∠1、∠2、∠3
（2）将∠1撕下，按图2所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合，此时∠1的另一条边b与∠3的边a平行吗？为什么？
（3）如图3所示，将∠3与∠2的公共边延长，它与a所夹的角为∠4，∠3与∠4有什么大小关系？为什么？现在你能够确定三角形的内角和了吗？
结论：三角形三个内角的和等于
【方法归纳】证明三角形内角和等于180°的核心是：借助的平行线“移角”的功能，将三个角的和转化成一个 .
【即时测评】
2. 已知，如图，D 是△ABC 中 BC 边延长线上一点，F 为 AB 上一点，直线 FD 交 AC 于 E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°. 求∠ACB 的度数.
评价任务二
得分：
任务三：三角形按角分类
活动3 思考交流
1.三角形按角分类：
(1)锐角三角形：三个内角都是 ；
(2)直角三角形：有一个内角是 ；
(3)钝角三角形：有一个内角是 .
拓展：在一个三角形中至少有 个锐角
2.出示：直角三角形
如图，我们用符号“ ”表示“直角三角形ABC”.把直角所对的边称为直角三角形的 ，夹直角的两条边称为 .直角三角形的两个锐角 .
【即时测评】
3.一个三角形的三个内角的度数之比为 1∶2∶3，这个三角形一定是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定形状
4.如图，CE⊥AF，垂足为 E，CE 与 BF 相交于点 D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF，∠DBC 的度数．
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 三角形是指（ ）
A. 由三条线段所组成的封闭图形
B. 由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成
的图形
C. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成
的图形
D. 由三条线段首尾顺次相接组成的图形
2.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角吗？为什么？
（1）3°，150°，27°；
（2）60°，40°，90°；
（3）30°，60°，50°.
3.（1）在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则∠C =______°；
（2）在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 50°，则∠A = ______°；
（3）在△ABC 中，∠A = 40°，∠A = 2∠B，则∠C = ______°.
4. 在△ABC 中，∠A 的度数是∠B 的度数的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数.
如图，△ABC 中 BD⊥AC，垂足为 D，∠ABD = 54°， ∠DBC = 18°，求∠A 和∠C 的度数.
参考答案
即时测评：
1.（1）5 个，它们分别是△ABE，△ABC，△BEC，△BCD，△ECD.
（2）△ABC，△ABE.（3）△ABE，△BCE，△CDE.
（4）△BCD，△DEC.（5）△BCD 的三个角是∠BCD，∠BDC，∠CBD； 顶点 B 所对应的边为 DC，顶点 C 所对应的边为 BD，顶点 D 所对应的边为 BC.
2.94°
3.A
4.50°，100°
当堂训练
1.A
2.(1) 是 (2) 不是 (3)不是
3.（1）102（2）40（3）120
4. 99°，33°，48°.
5.36°，72°
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第1课时 三角形及内角和
课标摘录 1.理解三角形及其内角。 2.探索并证明三角形的内角和定理。 3.理解直角三角形的概念,了解直角三角形两锐角互余的性质。
教学目标 1.通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,培养推理能力和有条理地表达能力。 2.能证明出“三角形内角和等于180°”,能按角的大小将三角形分成三类。 3.能用符号“Rt△”表示直角三角形,并能发现“直角三角形的两个锐角互余”。
教学重难点 重点:在实际操作中探索和发现三角形内角和定理。 难点:三角形内角和定理的推理和应用。
教学策略 教学中借助计算机提供大量丰富多彩的生活素材,增加趣味性和实用性,引导学生通过动手操作自主发现问题、探究问题、解决问题,让学生体会数学与生活的联系。
情境导入 从古埃及的金字塔到现代的飞机,从宏伟的建筑物到微小的分子结构,都有什么样的形象 师生活动:教师展示图片,让学生寻找从这些图片里可以看出哪种共同的图形,教师可通过多媒体帮助学生发现三角形。
新知初探 探究一 认识三角形 活动1:三角形的基本概念 问题1:观察下面图形的形成过程,说一说什么叫三角形。 师生活动:教师通过多媒体展示三角形的形成过程,学生观察,由学生代表发言,教师适时引出三角形的定义。 定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 问题2:三角形中有几条线段 有几个角 几个顶点 师生活动:学生积极发言,预测学生可以答出: 有三条线段,三个角,三个顶点。 活动2:巩固练习(具体内容见同步课件) 意图说明 本次活动引导学生从具体的事物抽象出几何图形,便于学生观察、归纳三角形的特点,同时还留有一道课下思考题,目的是为了培养学生的有序思维能力。
探究二 三角形的内角和 活动3:如何探索、验证三角形的内角和等于180° 说一说理由。 师生活动:教师通过多媒体或教具展示验证方法。 撕拼法:撕下三角形的三个角,拼在一起。 教师引导学生说出理由:三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角。 教师追问:这种方法需要撕下三个角,那么撕一个角能不能证明呢 教师通过多媒体或教具展示验证方法(如图所示),并提问: 此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗 为什么 教师追问:∠3与∠4的大小有什么关系 为什么 师生活动:学生小组合作,小组代表展示,以下方法仅为参考,学生完全有可能不按照教科书提供的思路,对于学生可能的思路,教师都要给予鼓励。 学生得出总结:三角形三个内角的和等于180°。 意图说明 引导学生在操作中自觉思考如何得到三角形内角和为180°,教师指导学生在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础。既培养了学生思考问题的方法,也锻炼了学生的条理表达能力。 探究三 三角形按角分类 活动4:议一议 猜猜图中三角形被遮住的两个内角是什么角 试着说明理由。 师生活动:学生积极发言,教师通过多媒体让学生直观感受,引导学生用三角形三个内角的和等于180°的知识解释,第三个图是易错点,教师要引导学生尝试着将另两个角的所有可能情况列出来,再用反证法的思想进行说明。最后学生发现三种情况都是可能的。 教师追问:这些图中三角形按角的大小如何分类 三角形按角的大小分类 锐角三角形 三个角都是锐角直角三角形 有一个角是直角钝角三角形 有一个角是钝角
教师补充直角三角形的相关概念,直角三角形ABC可以写作Rt△ABC。 教师追问:直角三角形的锐角和为多少度呢 因为三角形的内角和为180°,所以直角三角形的两个锐角互余。 活动5:巩固练习(见课件)
意图说明 锻炼学生对三角形内角和为180°和三角形按角的大小分类的应用能力,渗透方程思想,提高解题技巧。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 三角形及内角和 1.三角形的概念 2.三角形的内角和 3.按三角形内角大小分类
教学反思
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1 认识三角形
第4章 三角形
第1课时 三角形及内角和
【学习目标】
1观察具体实例，说出三角形的概念及基本要素，会用符号表示三角形，培养学生的表达能力和符号意识；
2.通过剪拼、平移等操作，说出三角形内角和定理，并能利用其知识来解决简单实际问题，发展学生的空间观念和推理能力；
3.观察三角形图形，会按角的大小关系对三角形分类，并掌握直角三角形的相关性质，培养学生的应用意识和表达能力
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？
新知初探
贰
新知初探
探究一：认识三角形
贰
活动1 观察图像，回答下列问题
（1）你能从图中找出几个不同的三角形吗？
（2）这些三角形有什么共同的特点？
问题1：观察下面图形的形成过程，说一说什么叫三角形.
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
问题2：三角形中有几条线段 有几个角 几个顶点？
A
B
C
有三条线段，三个角，三个顶点
三角形的概念
边：线段 AB，BC，CA 是三角形的边.
顶点：点 A，B，C 是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C 叫做三角形的内角，简称三角形
的角.
记法：三角形 ABC 用符号表示为_______.
边的表示：三角形 ABC 的边
AB，AC 和 BC 可用小写字母
分别表示为________.
△ABC
c，b，a
c
b
a
C
A
B
① 位置关系：不在同一直线上；
② 连接方式：首尾顺次相接.
三角形三边应满足以下两个条件：
要点提醒
表示方法：
三角形可用符号“△”表示，如三角形 ABC 记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，此外△ABC 还可记作△BCA，△CAB，△ACB 等.
基本要素：
三角形的边：边 AB、BC、CA；
三角形的顶点：顶点 A、B、C；
三角形的内角(简称为三角形的角)：∠A、∠B、∠C.
特别规定：
三角形 ABC 中，顶点 A 所对的边记作 a，顶点 B 所对的边记作 b，顶点 C 所对的边记作 c.
即时测评
5 个，它们分别是△ABE，△ABC，△BEC，△BCD，△ECD.
1.(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
A
B
C
D
E
(2)以 AB 为边的三角形有哪些？
△ABC，△ABE.
（3）以 E 为顶点的三角形有哪些？
△ABE，△BCE，△CDE.
（4）以∠D 为内角的三角形有哪些？
△BCD，△DEC.
（5）说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD 的三个角是∠BCD，∠BDC，∠CBD； 顶点 B 所对应的边为 DC，顶点 C 所对应的边为 BD，顶点 D 所对应的边为 BC.
A
B
C
D
E
探究二：三角形的内角和
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
活动2：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下拼合在一起.
验证结论
三角形三个内角的和等于 180°.
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
证法1：过点 A 作 l∥BC，
所以 ∠B =∠1，∠C =∠2
(两直线平行，内错角相等).
因为∠1 +∠2 +∠BAC = 180°，
所以∠B +∠C +∠BAC = 180°.
1
2
证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，
所以 ∠A =∠1，
(两直线平行，内错角相等)
∠B =∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又因为∠1 +∠2 +∠ACB = 180°，
所以 ∠A +∠B +∠ACB = 180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
所以∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC
(两直线平行，同位角相等)，
∠A +∠AED = 180°，
∠AED +∠EDF = 180°
(两直线平行，同旁内角相补).
所以 ∠A = ∠EDF.
因为∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°，
所以 ∠C +∠A +∠B = 180°.
想一想：还有其他的方法吗？
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助的平行线“移角”的功能，将三个角的和转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
即时测评
2. 已知，如图，D 是△ABC 中 BC 边延长线上一点，F 为 AB 上一点，直线 FD 交 AC 于 E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°. 求∠ACB 的度数.
解：在△DFB 中，
因为∠DFB ＝ 90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
所以∠B ＝ 40°.
在△ABC 中，
因为∠A＝46°，∠B＝40°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
探究三：三角形按角分类
活动3 议一议
猜猜图中三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
锐角三角形
有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，
直角三角形
直角边
直角边
斜边
A
B
C
直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC；
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形按角的大小分类
根据“ 三角形的内角和为 180° ”易得“ 直角三角形的两个锐角互余 ”.
3.一个三角形的三个内角的度数之比为 1∶2∶3，这个三角形一定是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定形状
即时测评
解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是 x，2x，3x，根据三角形的内角和为 180°，得 x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°，所以这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．
A
解：因为 CE⊥AF，
所以∠DEF＝90°.
所以∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.
由三角形的内角和定理得
∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF＝180°，
又因为∠CDB＝∠EDF，
所以 30°＋∠DBC＝40°＋90°.
所以∠DBC＝100°.
4.如图，CE⊥AF，垂足为 E，CE 与 BF 相交于点 D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF，∠DBC 的度数．
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 三角形是指（ ）
A. 由三条线段所组成的封闭图形
B. 由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成
的图形
C. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成
的图形
D. 由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
2.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角吗？为什么？
（2）60°，40°，90°；
（3）30°，60°，50°.
（1）3°，150°，27°；
是
不是
不是
3.（1）在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则
∠C =______°；
（2）在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 50°，则
∠A = ______°；
（3）在△ABC 中，∠A = 40°，∠A = 2∠B，则
∠C = ______°.
102
40
120
4. 在△ABC 中，∠A 的度数是∠B 的度数的 3 倍，
∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数.
设∠B 为 x°，则∠A 为( 3x )°，∠C 为( x + 15 )°.
3x + x + (x + 15) = 180，解得 x = 33.
所以 3x = 99，x + 15 = 48.
即∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°.
根据三角形的内角和等于 180°， 得
解：
5. 如图，△ABC 中 BD⊥AC，垂足为 D，∠ABD = 54°，
∠DBC = 18°，求∠A 和∠C 的度数.
因为 ∠A +∠ABD +∠ADB = 180°，
因为 BD⊥AC，所以∠ADB =∠CDB = 90°.
∠ABD = 54°，∠ADB = 90°，
所以 ∠A = 180°－∠ABD－∠ADB
= 180°－54°－90° = 36°，
解：
C
A
B
D
∠C = 180°－∠A－(∠ABD +∠DBC)
= 180°－36°－(54° + 18°)
= 72°.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
三角形
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形
三角形按角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余
课后作业
基础题：1.习题4.1 第 1，2，3，4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.1第9,10题
谢
谢(共18张PPT)
1 认识三角形
第1课时 三角形及其内角和
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.三角形的概念:由不在同一直线上的三条线段 所组成的图形叫作三角形。三角形可以用符号“ ”表示。
2.三角形的内角和:三角形三个内角的和等于 。
3.按三角形内角的大小,我们把三角形分为三类
首尾顺次相接
三个内角 都是锐角 有一个内 角是直角 有一个内
角是钝角
△
180°
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
4.直角三角形:直角三角形ABC用符号“ ”表示。直角三角形的两个锐角 。
Rt△ABC
互余
课堂互动
知识点1:三角形的概念
例1 下面是小强用三根火柴棒摆成的图形,其中符合三角形概念的是( )
C
例2 如图所示,在△ABC中,点D,E分别是边AC,AB上的点,连接BD,DE。
(1)图中共有 个三角形。
它们分别是 ;
(2)以BC为边的三角形共有 个,它们分别是 ;
(3)在△ABD中,∠BAD的对边是 ,在△ADE中,∠DAE的对边是
。
5
△ABC,△ABD,△BCD,△ADE,△BDE
2
△ABC,△BCD
BD
DE
知识点2:三角形内角和的应用
例3 如图所示,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC上,且DE∥AC,∠BDE=
60°,∠C=55°,∠B的度数为( )
A.60° B.65°
C.70° D.75°
B
知识点3:三角形按角分类
例4 (教材P87随堂练习T1变式)观察如图所示的四个三角形。
其中锐角三角形是 ,直角三角形是 ,钝角三角形是 (填序号)。
③
①④
②
知识点4:直角三角形中两锐角关系
例5 如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若∠B=40°,则∠1= ,∠A= 。
40°
50°
基础题
1.三角形是指( )
A.由三条线段所组成的封闭图形
B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
2.在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
3.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
D
C
4.图中给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能确定三角形类型的是( )
A
5.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为 三角形。
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中哪两个锐角一定相等 写出一组: 。
直角
∠B=∠ACD(答案不唯一)
7.如图所示,在△ABC中,∠BAC=60°,∠1=70°,AD∥BC,求∠B的度数。
解:因为AD∥BC,
所以∠C=∠1。
因为∠1=70°,
所以∠C=70°。
在△ABC中,∠BAC=60°,
所以∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-70°=50°。
所以∠B的度数为50°。
中档题
8.如图所示,在锐角三角形ABC中,点D是BC边上的任意一点,线段AD将△ABC分成了两个三角形,则对于△ABD与△ACD的形状,下列说法中正确的是( )
A.可能两个都是锐角三角形
B.可能两个都是钝角三角形
C.可能两个都是直角三角形
D.无法判断
C
9.如图,在△ABC中,点D为BC边延长线上的一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,若∠A=40°,∠D=50°,则∠ACB的度数为( )
A.80° B.90°
C.100° D.105°
C
10.如图所示,已知∠AON=40°,OA=6,P是射线ON上的一个动点,当△AOP为直角三角形时,∠A的度数为 。
50°或90°
素养题
11.(推理能力)将三角尺(△MPN,∠MPN=90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内),如图(1)所示,三角尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C。我们来探究:∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系
(1)特例探索:
若∠A=50°,则∠PBC+∠PCB= 度;∠ABP+∠ACP= 度。
(2)类比探索:
∠ABP,∠ACP,∠A的关系是 。
解:(1)90 40
(2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A
(3)变式探索:
如图(2)所示,改变三角尺的位置,使点P在△ABC外,三角尺的两边PM,PN仍恰好经过点B和点C,则∠ABP,∠ACP,∠A有什么关系 试说明
理由。
解:(3)结论:∠ACP-∠ABP=90°-∠A。理由如下:
设AB交PC于点O,如图所示。
因为∠AOC=∠POB,所以∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,
即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,
所以∠ACP-∠ABP=90°-∠A。
