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1 认识三角形
第4章 三角形
第2课时 三角形的三边关系
【学习目标】
1.能正确按边对三角形分类,并能正确认识等腰三角形，运用三边关系解决生活中的实际问题..
2.通过度量三角形的边长，能知道三角形的三边之间的关系，发展空间观念.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
三角形按角的大小关系，可分为：
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形若按边来分类，可分为哪几类？
新知初探
贰
讲授新知
探究一：三角形按边分类
贰
腰
三边各不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
顶角
底角
活动1 你能找出下列三角形各自的特点吗？
三边均不相等
有两条边相等
三条边均相等
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．
三条边都相等的三角形叫作等边三角形．
等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
总结归纳
三角形按边分类
三边各不相等的三角形
等腰三角形
我们可以把三角形按照三边情况进行分类：
腰和底不相等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等
的三角形）
探究二：三角形的三边关系
(1) 节日的晚上，房间内亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说说你的理由.
活动2 思考交流
（2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？
猜想：AC + CB＞AB
活动3 合作探究
证明：
归纳总结
三角形的任意两边之和大于第三边.
方法一：测量法
画不同类别的三角形，
用直尺测量任意两条边
的长度。
方法二：几何推导
因为两点之间，线段最短，
所以AB+CB＞AB。
同理：AC+AB＞BC，
AB+BC＞AC
活动4 做一做
1.分别量出三个三角形的三边长度，并填人空格内.
请同学们计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试试。
2.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以 BA 的长为半径作弧，与边BC交于点D，图中是否有线段长度等于BC-AB呢 能用圆规直观说明BC-AB与AC之间的大小关系吗 改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论仑
A
B
C
D
归纳总结
三角形任意两边之差小于第三边.
情境导入
范例应用
例1 有两根长度分别为 5 cm 和 8 cm 的木棒，用长度为 2 cm 的木棒首尾相接能与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为 13 cm 的木棒呢？
判断三条线段是否可以组成三角形，只需
说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
解：取长度为 2 cm 的木棒时，由于 2 + 5 = 7 < 8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形. 取长度为 13 cm 的木棒时，由于 5 + 8 = 13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
归纳
即时测评
1.若 a，b，c 是△ABC 的三边长，化简 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，
得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0，
所以 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负.
注意
当堂达标
叁
当堂达标
叁
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
1. 判断正误：
√
×
×
（4）等边三角形是锐角三角形.（ ）
×
√
4. 若等腰三角形的一边长是 4 cm，另一边长是 9 cm， 则这个等腰三角形的周长为_____cm.
3. 若等腰三角形的一边长是 5 cm，另一边长是 8 cm， 则这个等腰三角形的周长为_______________.
2. 五条线段的长分别为 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中三条线段为边长可以构成_____个三角形.
3
22
18 cm 或 21 cm
5. 小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8 cm和 5 cm 的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？
解：设第三根木棒长为 x cm，则
8 + 5 = 13＞x，8 - 5 = 3＜x，
即 3＜x＜13.
因为 x 是偶数，所以 x 可取 4，6，8，10，12.
即共有 5 种选法，第三根木棒的长度可以是 4 cm，6 cm，8 cm，10 cm，12 cm.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
三角形中边的关系
三角形
按边分类
三边各不相等的三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
课后作业
基础题：1.习题4.1 第 5,11题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.1第12题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 三角形的三边关系 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.能正确按边对三角形分类,并能正确认识等腰三角形，运用三边关系解决生活中的实际问题..
2.通过度量三角形的边长，能知道三角形的三边之间的关系，发展空间观念.
【学习过程】
任务一：三角形按边分类
活动1观察思考
1.观察下列三角形，动手测量它们的各边，你能按照边长将它们进行分类吗？
2.结论：不等边三角形： 的三角形；
等腰三角形：（1） 的三角形
等边三角形： 的三角形.
3.等腰三角形中，相等的两边叫作 ，另外一边叫作 ，两腰的夹角为 ，腰和底边的夹角叫作 .
评价任务一
得分：
任务二：三角形三边关系
活动2思考交流
(1) 节日的晚上，房间内亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说说你的理由.
（2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？
【方法归纳】三角形任意两边之和大于第三边
活动3 做一做
1.小组合作：分别量出下面三个三角形的三边长度，并填空.
计算每个三角形的任意两边之和及两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？
2.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以 BA 的长为半径作弧，与边BC交于点D，图中是否有线段长度等于BC-AB呢 能用圆规直观说明BC-AB与AC之间的大小关系吗 改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论仑
【方法归纳】三角形任意两边之差小于第三边
活动4 例题解析
例题1.有两根长度分别为 5 cm 和 8 cm 的木棒，用长度为 2 cm 的木棒首尾相接能与它们能摆成三角形吗？为什么？用长度为13cm的木棒呢？
【即时测评】
1.若 a，b，c 是△ABC 的三边长，化简 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
判断正误：
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）
（4）等边三角形是锐角三角形.（ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
2. 五条线段的长分别为 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中三条线段为边长可以构成_____个三角形.
3. 若等腰三角形的一边长是 5 cm，另一边长是 8 cm，则这个等腰三角形的周长为_______________.
4. 若等腰三角形的一边长是 4 cm，另一边长是 9 cm， 则这个等腰三角形的周长为_____cm.
5. 小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8 cm和 5 cm 的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？
参考答案
即时测评：
1.解：根据三角形的三边关系，
得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0，
所以 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
当堂训练
1.（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×
2.3
3.18 cm 或 21 cm
4.22
5. 4 cm，6 cm，8 cm，10 cm，12 cm.
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第2课时 三角形的三边关系
课标摘录 1.证明三角形的任意两边之和大于第三边。 2.理解等腰三角形、等边三角形的概念。
教学目标 1.了解三角形按边分类的原则和结论。 2.掌握三角形的三边关系定理,能利用定理及其推论进行简单的证明。
教学重难点 重点:了解三角形按边分类的原则和结论。 难点:掌握三角形的三边关系定理,能利用定理及其推论进行简单的证明。
教学策略 本节课在整个教材中起着承前启后的作用。在教学过程中,要体现新课标理念,凸显学生的主体地位。力求动手实验,通过围小棒让学生判断如何才能得到三角形,引导学生经历“发现问题、大胆猜测、动手实验、修改完善、得出结论”的过程。最终发现三角形中三边这一特殊的关系,既增加学生的学习兴趣,又使学生积累了大量的实验经验。
情境导入 三角形按角的大小关系,可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 师生活动:教师请学生回答并整理板书。 教师追问:三角形若按边来分类,可分为哪几类
新知初探 探究一 三角形按边分类 活动1:观察图中的三角形你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗 师生活动:学生独立思考,学生代表发言,预测方法有多种,教师都应予以鼓励,并引导学生归类。 有两条边相等 三边都相等 三边各不相等
教师由此讲述等腰三角形和等边三角形的概念。 归纳总结: 有两边相等的三角形叫作等腰三角形。 三边都相等的三角形叫作等边三角形。(正三角形) 等边三角形和等腰三角形之间有什么关系 师生活动:学生代表发言,教师给予正向评价,并整理为图片(如图所示)。 意图说明 观察几个不同的三角形三边的长度,归纳概括出三角形按边的分类,让学生对三角形的理解更全面系统,同时为引出等腰三角形、等边三角形的概念作铺垫。 探究二 三角形的三边关系 活动2:思考交流 (1)节日的晚上,房间内亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢 说说你的理由。 师生活动: 教师鼓励学生:请你动手量一量,比一比吧! 学生动手操作后发现有黄色彩灯的电线更长。 (2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系 为什么 师生活动: 学生小组讨论,小组代表发言。师生共同合作探究: 合作探究 猜想:AC+CB>AB。 证明:方法一:测量法
画不同类别的三角形,用直尺分别测量两条边的长度。 方法二:几何推导
因为两点之间,线段最短。所以AC+CB>AB。同理:AC+AB>BC,AB+BC>AC。教师引导学生归纳: 结论1:三角形的任意两边之和大于第三边。
活动3:做一做 分别量出三个三角形的三边长度,并填在横线上。 (1)a= , (2)a= , (3)a= , b= , b= , b= , c= ; c= ; c= 。 师生活动:学生独立操作,教师提问: 计算每个三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论 再画一些三角形试一试。 结论2:三角形的任意两边之差小于第三边。 活动4:巩固练习 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒,用长度为2 cm的木棒与它们能摆成三角形吗 师生活动:学生独立思考,教师请学生代表讲述分析过程。 追问:用长度为13 cm的木棒呢 师生活动:学生类比上述过程,独立完成,学生代表板书。 意图说明 巩固刚刚学习的三角形三边的关系——两边之和大于第三边、两边之差小于第三边,另一方面帮助学生总结更简便的解题方法。将三角形的三边关系与绝对值知识相结合,锻炼学生综合应用能力,提高解题技巧。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 三角形的三边关系 1.按边分类:三边各不相等的三角形 等腰三角形(包括等边三角形) 2.三角形的三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边
教学反思
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第2课时 三角形的三边关系
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.有两边相等的三角形叫作 ,三边都相等的三角形叫作 。
2.三角形的三边关系:三角形任意两边之和 第三边,任意两边之差 第三边。
等腰三角形
等边三角形
大于
小于
课堂互动
知识点1:三角形按边分类
例1 三角形按边可分为( )
A.等腰三角形,直角三角形,锐角三角形
B.直角三角形,不等边三角形
C.等腰三角形,不等边三角形
D.等腰三角形,等边三角形
C
知识点2:三角形的三边关系
例2 下列每组数据分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是
( )
A.1 cm,2 cm,3 cm
B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,9 cm,2 cm
B
知识点3:三角形三边关系的应用
例3 用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形。
(1)如果腰长是底边长的2倍,求三角形各边的长。
解:(1)设底长为x cm,则腰长为2x cm,
根据题意,得x+2x+2x=20,
解得x=4,
当x=4时,2x=8,
所以三角形的腰长为8 cm,8 cm,底边长为4 cm。
(2)能围成一个有一边的长是5 cm的等腰三角形吗 若能,求出其他两边的长;若不能,请说明理由。
解:(2)能。
①当腰为5 cm时,底边长为20-5-5=10(cm),
而5+5=10,不符合三角形三边的关系,故舍去;
基础题
1.下列关于三角形按边分类的图示中,正确的是( )
D
2.已知三角形的两边长分别为5和7,则第三边长x的取值范围是( )
A.2C.13.如果一个三角形的两边长分别为3,7,则第三边的长可以是( )
A.3 B.4 C.7 D.10
4.(教材P90随堂练习T2变式)已知三角形的三边长分别为3,x,14。若x为正整数,则这样的三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.5个 D.7个
A
C
C
5.如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5,那么这个三角形的周长是( )
A.9 B.12 C.14 D.16
[变式] 一个等腰三角形的两边长分别为2和3,则这个三角形的周长为
( )
A.7 B.8 C.7或8 D.9
B
C
6.(教材P93习题T5变式)下列长度的线段能否组成三角形
(1)3 cm,4 cm,9 cm;
(2)4 cm,4 cm,8 cm;
(3)4 cm,3 cm,8 cm;
(4)5 cm,5 cm,5 cm。
解:(1)3+4=7<9,不能组成三角形。
(2)4+4=8,不能组成三角形。
(3)4+3=7<8,不能组成三角形。
(4)5+5=10>5,5-5=0<5,能组成三角形。
中档题
7.下列说法正确的是( )
A.一个直角三角形一定不是等腰三角形
B.一个钝角三角形一定不是等腰三角形
C.一个等腰三角形一定不是锐角三角形
D.一个等边三角形一定不是钝角三角形
8.已知一个三角形的三边长分别是3,x,9,则化简:|x-5|+|x-13|=
。
D
8
9.已知△ABC的三边长分别为a,b,c。
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)化简:|a+b+c|-|a-b-c|。
解:(1)因为(a-b)2+(b-c)2=0,
所以a-b=0且b-c=0,
所以a=b=c,
所以△ABC为等边三角形。
(2)|a+b+c|-|a-b-c|=(a+b+c)-(-a+b+c)=a+b+c+a-b-c=2a。
10.某市木材市场上木棒的规格与价格如下表:
规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m
价格/ (元/根) 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养鱼,现有两根长度为3 m和
5 m的木棒,还需要到该木材市场上购买一根。
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择
(2)在能做成三角形支架的情况下,选择哪一种规格的木棒最省钱
解:(1)设第三根木棒的长度为x m。
根据三角形的三边关系,可得5-3所以x的取值可能是3,4,5,6,共4种,
所以有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择。
(2)根据木棒的价格,得选3 m的木棒最省钱。
素养题
11.(几何直观)如图所示,点P是△ABC内的一点,连接BP,并延长交AC于点D。
(1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系;
解:(1)因为AB+AD>BD,BC+CD>BD,
所以AB+AD+BC+CD>2BD,
所以AB+BC+CA>2BD。
(2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系。
解:(2)因为AB+AD>BD,PD+CD>PC,
所以AB+AD+PD+CD>BD+PC。
又因为BP+PD=BD,
所以AB+AC>PB+PC。
