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第3课时 三角形的高线、中线和角平分线 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过动手操作，探索并了解三角形的角平分线、三角形中线的概念及相关性质， .
2.认识三角形的高线，会画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线，能总结出三角形的高线性质，提高学生的识图技能．
【学习过程】
任务一：三角形中线的概念及性质
1.在三角形中，连接一个 与它对边 的 ，叫作三角形的中线.
如图，D为BC的中点，线段AD就是ΔABC的BC边上的 .
2.如图，(1) 因为BD=BC(或BC =2DC)
所以AD是ΔABC的 .
(2) 因为AD是ΔABC的中线
所以BD= = BC，BC = BD= DC.
3.用_________ _____方法可以找出BC的中点D，连接AD，从而画出了BC边上的中线.
4.如图，AD是ΔABC的中线，ΔABD和ΔADC的面积有什么关系？为什么？
5.（1）在纸上任画一个锐角三角形,并画出它的三条中线,它们有怎样的位置关系 与同伴进行交流.
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗 折一折,画一画,并与同伴进行交流.
（3）三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的 .
（4）老师用铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的 .
（5）如图所示,点D,E,F分别是边BC,AC,AB上的中点.
AB边上的中线是 ,BC边上的中线是 ,AC边上的中线是 .
因为BE是中线,所以 = = .
因为CF是中线,所以AB=2 =2 .
【即时测评】
1.如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2.
评价任务一
得分：
任务二：三角形的角平分线
1.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与 之间的 叫作 .如图，∠BAC的平分线交BC于点D,线段AD就是△ABC的一条 .
2.如图，（1）因为∠BAD=∠CAD
所以线段AD是ΔABC的
（2）因为线段AD是ΔABC的角平分线
所以∠BAD=∠ ＝ ∠BAC
3．三角形的角平分线与角的平分线有什么区别与联系？
4.做一做:每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1)你能分别画出这三个三角形的角平分线吗
(2)你能用折纸的办法得到它们吗
(3)在每个三角形中,这三条角平分线之间有怎样的位置关系
【方法归纳】结论：三角形的三条角平分线 .
【即时测评】
2.如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
评价任务二
得分：
任务三：三角形的高线
用三角尺，根据放、靠、推、画的步骤可以画出．
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
三角形有几条高呢？
3.每人准备一个锐角三角形纸片。
（1）你能画出这个三角形的三条高吗
你能用折纸的办法得到它们吗
（3）这三条高之间有怎样的位置关系？
4.在纸上画出一个直角三角形。画出直角三角形的三条高,它们之间有
怎样的位置关系？
在纸上画出一个钝角三角形。你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出钝角三角形的三条高吗？
钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
【方法归纳】三角形的三条高 交于一点.
【即时测评】
3.如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数．
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
3. 如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 的中点，且 S△ABC = 4 cm2，则 S阴影 =_____cm2.
4. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，已知∠BAC = 82°，∠C = 40°，求∠DAE 的大小.
参考答案
即时测评：
1.12
2.110°
3.100°
当堂训练
1.D
2.B
3.1
4.9°
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第3课时 三角形的高线、中线和角平分线
课标摘录 1.理解角平分线、高线、中线的概念。 2.了解三角形重心的概念。
教学目标 1.掌握三角形的中线、角平分线和高线,并能在具体的三角形中画出它们,了解重心的概念。 2.能应用三角形的中线、角平分线和高线的性质解决简单的数学问题。 3.经历画图、观察、操作、描述等实践过程,以此加深对知识的理解,感受数学语言的准确性。
教学重难点 重点:了解三角形的中线、角平分线和高线,并能在具体的三角形中画出它们。 难点:能应用三角形的中线、角平分线和高线的性质解决简单的数学问题。
教学策略 本节课为了有效的开展教学,更好的发展学生的几何直观,培养学生的各种能力,在呈现教学内容时,不但要重视体现知识形成的过程,而且要注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间。
情境导入 1.如图所示,有一块三角形的蛋糕,如果兄弟两人想要平分,你该怎么办呢 请说一说你的想法 2. 如图所示,用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片,你知道怎样确定这个支撑点的位置吗 请你试一试!
新知初探 探究一 三角形高线的概念及特征 教师先让学生回顾怎么作一个已知直线的垂线,为作三角形的高线做准备。 三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线,简称三角形的高。(强调高线是线段) 如图所示,线段AF是△ABC的BC边上的高。 符号语言: 因为AF是△ABC的BC边上的高, 所以AF⊥BC。即∠AFB=∠AFC=90°。 你还能画出三角形其他边上的高吗 活动1:想一想 分别指出图中△ABC的三条高。 直角边BC边上的高是 ;直角边AB边上的高是 ;斜边AC边上的高是 。
活动2:做一做 每人准备一个锐角三角形纸片,并思考以下问题: (1)你能画出这个三角形的三条高吗 你能用折纸的办法得到它们吗 (2)这三条高之间有怎样的位置关系 (3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部 师生活动:试着作出△ABC的另外两条高。观察图形,你发现了什么 引导学生说出所观察的结果,可能的答案如下: (1)锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 (2)锐角三角形的三条高交于一点。 追问1:对于直角三角形,上面的结论还成立吗 结合图加以说明; 追问2:对于钝角三角形,上面的结论还成立吗 请在图中延长这三条高,看看它们是否交于一点。 预设:不成立. (1)钝角三角形有两条高在三角形的外部;(2)钝角三角形的三条高不相交,但高所在的直线交于一点。 提问:锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的高有什么相同点和不同点 意图说明 通过作图,提高学生的基本作图能力,并引出三角形的高线的概念。发展学生的语言表达能力及用数学语言表述问题的能力,通过作图、观察、描述等归纳三角形高线的特征,经历知识的发展形成过程,变被动接受为主动探究。 探究二 三角形的中线的概念及特征 三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作这个三角形的中线。(强调中线是线段) 符号语言: 因为AE是△ABC的BC边上的中线, 所以BE=EC=BC。 让我们先看看三角形的中线有什么特点 活动3:做一做 (1)在纸上画一个锐角三角形,并画出它的三条中线。它们有怎样的位置关系 与同伴进行交流。 (2)直角三角形和钝角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗 折一折,画一画,并与同伴进行交流。 师生活动:引导学生动手画一画三种三角形的中线,并说出自己的想法。 提问:说一说三角形的中线有什么特征呢 引导学生观察,并给出重心的概念: 三角形的重心:三角形的三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。 意图说明 通过作图,思考交流的方式,讲授三角形中线的概念及特征,让学生参与到课堂教学中,提高他们的学习兴趣,更好的掌握本节课的内容。
探究三:三角形角平分线的概念及特征 引导学生利用量角器尝试测量角的度数,并取一半画线,引出三角形的角平分线。 三角形的角平分线: 在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。(强调角平分线是线段) 如图所示,AD是△ABC内∠BAC的平分线。 符号语言: 因为AD是△ABC内∠BAC的平分线, 所以∠1=∠2=∠BAC。 让我们来看看三角形的角平分线有什么特点 活动4:做一做 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。 (1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗 教师课件只展示锐角三角形的三条角平分线的画法,直角和钝角三角形的角平分线的画法,让同学仿照进行独自画。 用量角器分别量出各角,取其一半,画上线段,此线段即为角平分线。 (2)你能用折纸的办法得到它们吗 课件展示锐角三角形的角平分线的折叠方法: 按此方法每个角各折一次。 请同学们准备直角三角形和钝角三角形纸片,按此方式折叠。 (3)在每个三角形中,这三条角平分线之间有怎样的位置关系 结论:三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点。 意图说明 通过学生折纸,引出三角形角平分线的概念及特征,发展学生的动手能力以及自主探究能力,以学生为本,创设情境,激发学生的兴趣,提高学生学习独立性。 探究四 三角形中线、角平分线、高线的性质应用 活动5:巩固提升 如图所示,AD是△ABC的中线,AF⊥BC,垂足是F。 (1)AF是图中哪几个三角形的高 (2)图中哪两个三角形的面积相等 请说明理由。 师生活动:教师提出问题,学生先独立思考,解答。然后再小组交流探讨,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答题过程。 意图说明 通过例题的解答,既检测了学生对三角形高线和中线掌握程度,又让学生感受到应用的乐趣。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 三角形的高线、中线和角平分线 1.三角形高线的概念及特征 2.三角形中线的概念及特征 3.三角形角平分线的概念及特征 4.三角形中线、角平分线、高线的应用
教学反思
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第3课时 三角形的高线、中线和角平分线
第4章 三角形
1 认识三角形
【学习目标】
1.通过动手操作，探索并了解三角形的角平分线、三角形中线的概念及相关性质， .
2.认识三角形的高线，会画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线，能总结出三角形的高线性质，提高学生的识图技能．
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
1.如图，有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两人想要平分，你该怎么办呢？
请说一说你的想法？
2.如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，你知道怎样确定这个支撑点的位置吗？
新知初探
贰
探究一：三角形高线的概念及特征
A
B
C
三角形的高的定义
从三角形的一个顶点，
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
之间的线段
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图， 线段 AD 是 BC 边上的高.
和垂足的字母.
注意：
!
标明垂直的记号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
D
活动1 操作交流
新知初探
贰
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点，并且这个点在三角形内部.
都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示.
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(2) 斜边 AC 上的高是 ；
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高；
AB
CB
它们有怎样的位置关系
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC 边上的高是哪条线段？
AB 边上的高是哪条线段？
BC 边上的高是哪条线段？
BF
CE
AD
A
B
C
D
F
(3) 钝角三角形的三条高交于
一点吗？
(4) 它们所在的直线交于一点
吗？这点位于何处？
O
E
钝角三角形的三条高
不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
探究二：三角形中线的概念及特征
活动2 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 如图，若 BE = EC，则 AE 是 △ABC 的 BC 边上的中线.
B
A
C
BE = EC
E
(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的
位置关系
议一议
三条中线，
相交于一点
(2) 直角三角形和钝角三角形的中线又是怎样的？折一
折，画一画，并与同伴交流.
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.
要点归纳
(3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断
△ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
(4) 通过题 (3) 你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC，
即 S△ADC = 6 cm2.
又因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC，
即 S△ABC = 12 cm2.
1.如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2.
12
即时测评
探究三：三角形角平分线的概念及特征
活动3 思考
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸
片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系
做一做
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的特征
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°，
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B +∠ADB +∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
2.如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
B
D
A
C
即时测评
3.如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数．
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，
所以∠DAC＝∠BAD＝30°.
因为 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°，
所以∠B＝50°.
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°.
即时测评
当堂达标
叁
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶
点，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
1. 下列各图中，哪一组图形中的 AD 是△ABC 的高 ( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
当堂达标
叁
3. 如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 的中点，且 S△ABC = 4 cm2，则 S阴影 =_____cm2.
1
4. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，已
知∠BAC = 82°，∠C = 40°，求∠DAE 的大小.
解： 因为 AD 是△ABC 的高，
所以∠ADC = 90°.
所以 ∠DAC = 90°－∠C
= 90°－40° = 50°.
因为 AE 是△ABC 的角平分线，
且∠BAC = 82°，
所以∠CAE = 41°.
所以∠DAE = ∠DAC－∠CAE = 50°－41° = 9°.
B
A
C
D
E
课堂小结
肆
课堂小结
肆
三角形中
几条重要线段
角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段
高线：三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段
课后作业
基础题：1.习题4.1 第6,7,8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.1第13,14,15题
谢
谢(共17张PPT)
第3课时 三角形的高线、中线和角平分线
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫作 ,简称 ,三角形的三条高 交于一点。
2.在三角形中,连接 的线段,叫作这个三角形的中线,三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的 。
三角形的高线
三角形的高
所在的直线
一个顶点与它对边中点
重心
3.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作 ,三角形的三条角平分线交于一点。
4.三角形的一条中线将这个三角形分成两个三角形,这两个三角形的面积 ,且都等于 。
三角形的角平分线
相等
原三角形面积的一半
课堂互动
知识点1:三角形的高线、中线和角平分线
例1 如图所示,在△ABC中,∠BAC是钝角,AD⊥BC,EB⊥BC,FC⊥BC,则( )
A.AD是△ABC的高
B.EB是△ABC的高
C.FC是△ABC的高
D.AE,AF是△ABC的高
A
例2 如图所示,在△ABC中,点D在BC上,且∠BAD=∠CAD,E是AC的中
点,BE交AD于点F,连接DE。图中哪条线段是哪个三角形的角平分线 哪条线段是哪个三角形的中线
解:AD是△ABC的角平分线,AF是△ABE的角平分线;
BE是△ABC的中线,DE是△ADC的中线。
知识点2:与三角形的中线、高线有关的计算
例3 如图所示,D是△ABC的边BC上任意一点,E,F分别是线段AD,CE的中点,且△ABC的面积为24,求△BEF的面积。
例4 如图所示,在△ABC中,AE是BC边上的中线,AD是BC边上的高线,且BC=12 cm,AD=4 cm,求S△ABE与S△ABC的比。
基础题
1.如图所示,若∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是( )
A.CD是△ABC的角平分线
B.AE是△ACD的角平分线
D
D.AE是△ABC的角平分线
2.如图所示,在△ABC中,AB=20,AC=18,AD为中线。则△ABD与△ACD的周长之差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠1=30°,∠2=20°,则∠B= 。
50°
4.如图所示,AD是△ABC的角平分线,∠B=45°,∠ADC=75°,求∠BAC,
∠C的度数。
解:因为∠ADC=75°,
所以∠ADB=105°,
所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-105°-45°=30°。
因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°,
在△ABC中,∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-45°=75°。
中档题
5.如图所示,在△ABC中,有四条线段DE,BE,GE,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是( )
A.DE B.BE
C.GE D.FG
B
6.如图所示,在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=110°,AD是BC边上的高
线,AE平分∠BAC,则∠DAE的度数为 。
40°
7.如图所示,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是 。
4
素养题
8.(几何直观)如图所示,在△ABC中,AB=AC=8,P是BC边上任意一点,
PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,且△ABC的面积是28,求PD+PE的值。
