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2 全等三角形
第4章 三角形
【学习目标】
1．通过类比全等图形的知识，理解全等三角形的概念及性质，并在变化的图形中能够准确找到对应边、对应角，提升自我的发现总结能力.（重难点）
2．通过练习的试错改正过程，学会应用性质进行简单的推理，提升解决简单问题的能力.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
观察与思考
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
新知初探
贰
讲授新知
探究一：全等三角的概念及性质
贰
E
D
F
E
D
F
A
B
C
活动1 把△DEF 叠到△ABC 上，能够完全重合的两个三角形，叫作全等三角形.
把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.
你能指出上面两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？
△ABC≌△FDE
A
B
C
E
D
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
A
B
C
E
D
F
全等三角形的对应边相等，
全等三角形的对应角相等.
全等三角形的性质
因为△ABC≌△FDE，
所以 AB = FD，AC = FE，BC = DE (全等三角形的对应边相等)，
∠A =∠F，∠B =∠D，∠C =∠E (全等三角形对应角相等)
A
B
C
E
D
F
全等三角形的性质的几何语言
活动2 操作交流
(1)全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？对应
角平分线呢？
(2)如图，已知△ABC≌△A'B'C'，你如何在△A'B'C'中画出
与线段DE相对应的线段？
下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？三个呢？四个呢？
活动3 做一做
即时测评
1. 如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.
解：△ABC≌△ADC.
相等的边为：AB = AD，AC = AC，
BC = DC；
相等的角为：∠BAC =∠DAC，∠B =∠D，
∠ACB =∠ACD.
2. 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E 的度数和 CF 的长．
解：因为△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
所以∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7.
所以 CF＝BC－BF＝7－4＝3.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 能够 的两个图形叫作全等图形. 两个三角形重合时，互相 的顶点叫作对应顶点. 记两个全等三角形时，通常把表示 顶点的字母写在 的位置上.
重合
重合
对应
对应
2. 如图，△ABC≌△ADE，若∠D =∠B，
∠C =∠AED，则∠DAE = ，
∠DAB = .
∠BAC
∠EAC
A
B
C
D
E
3. 如图，△ABC≌△BAD，如果 AB = 5 cm， BD = 4 cm，
AD = 6 cm，那么 BC 的长是（ ）
A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 无法确定
4. 在上题中，∠CAB 的对应角是（ ）
A.∠DAB B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
A
O
C
D
B
A
B
5. 如图，△ABC≌△AED，AB 是△ABC 的最大边，AE是△AED 的最大边，∠BAC 与∠EAD 是对应角，且∠BAC = 25°，∠B = 35°，AB = 3 cm，BC = 1 cm，求∠E，∠ADE 的度数和线段 DE，AE 的长度.
B
C
E
D
A
解：因为 △ABC≌△AED (已知)，
所以∠E = ∠B = 35° (全等三角形的对应角相等)，
∠ADE =∠ACB = 180°－25°－35° =120°
(全等三角形的对应角相等)，
DE = BC = 1 cm，AE = AB = 3 cm
(全等三角形的对应边相等).
课堂小结
肆
课堂小结
肆
全等三角形
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
课后作业
基础题：1.习题4.2 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.2第3题
谢
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4.2 全等三角形 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1．通过类比全等图形的知识，理解全等三角形的概念及性质，并在变化的图形中能够准确找到对应边、对应角，提升自我的发现总结能力.（重难点）
2．通过练习的试错改正过程，学会应用性质进行简单的推理，提升解决简单问题的能力.
【学习过程】
任务一：全等三角形的性质
活动1 1.把△DEF叠到△ABC上，能够完全重合的两个三角形，叫作全等三角形.
2.几何符号：△ABC和△DEF全等
记作“△ABC≌△DEF”.
（1）记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（2）如果知道“△ABC≌△DEF”，你不看图，可以得到它们的对应角和对应边吗？
4.全等三角形的性质总结：
全等三角形的 相等， 相等.
用符号语言表示：
因为⊿ABC≌⊿DEF
所以AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）
活动2 操作交流
(1)每人准备两个全等三角形纸片，并画出两个三角形纸片对应边上的高，全等三角形对应边上的高
；对应边上的中线 ；对应的角平分线 。
(2)如图，已知△ABC≌△A'B'C'，你如何在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段？
活动3 做一做
你能把一个等边三角形分成两个全等的三角形吗？能分成三个、四个吗？（思考后看图对照）
【即时测评】
1. 如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.
2. 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E 的度数和 CF 的长．
评价任务一
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 能够 的两个图形叫作全等图形. 两个三角形重合时，互相 的顶点叫作对应顶点. 记两个全等三角形时，通常把表示 顶点的字母写在 的位置上.
2. 如图，△ABC≌△ADE，若∠D =∠B，
∠C =∠AED，则∠DAE = ，
∠DAB = .
3. 如图，△ABC≌△BAD，如果 AB = 5 cm， BD = 4 cm，AD = 6 cm，那么 BC 的长是（ ）
A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 无法确定
4. 在上题中，∠CAB 的对应角是（ ）
A.∠DAB B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
5. 如图，△ABC≌△AED，AB 是△ABC 的最大边，AE是△AED 的最大边，∠BAC 与∠EAD 是对应角，且∠BAC = 25°，∠B = 35°，AB = 3 cm，BC = 1 cm，求∠E，∠ADE 的度数和线段 DE，AE 的长度.
参考答案
即时测评：
1.解：△ABC≌△ADC.相等的边为：AB = AD，AC = AC，BC = DC；相等的角为：∠BAC =∠DAC，∠B =∠D，∠ACB =∠ACD.
2.50°，3
当堂训练
1.重合，重合，对应，对应
2.∠BAC，∠EAC
3.A
4.B
5.∠E = 35°，∠ADE=120°，DE= 1 cm，AE = 3 cm
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2 全等三角形
课标摘录 理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。
教学目标 1.通过实例理解全等三角形的概念和特征,并能识别三角形的全等。 2.掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题。 3.经历全等三角形性质的探究过程,加深学生对基本几何图形特征的理解。
教学重难点 重点:通过实例理解全等三角形的概念和特征,并能识别三角形的全等。 难点:掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题。
教学策略 本节课采用探究教学法,为充分发挥学生的主体作用。在探究活动中,实践、探究、交流,充分发挥学生的想象力和集体的智慧,为了使不同的学生有不同的发展,在实践中给学生充分的时间和空间,从身边生活中的例子入手,激发每一个学生的求知欲,从熟悉的几何图形、实物图形入手,让学生对图形全等有一个感性的认识,调动学生的积极性,激发学生的探索欲,为实践活动做好充分的铺垫。
情境导入 给学生分发纸板,请他们将各自的三角尺按在纸板上,画下图形,并裁下。这里要提醒学生用剪刀要注意安全。 提问:照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗 把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗
新知初探 探究一 全等三角形的概念及性质 活动1:探索全等三角形的概念及性质 教师引导学生观察裁下来的纸板和三角尺,归纳出全等三角形的概念。 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 互相重合的顶点叫对应顶点,如顶点A,D重合,它们是对应顶点,互相重合的边叫对应边,如边AB,DE重合,它们是对应边,互相重合的角叫对应角,如∠A,∠D重合,它们是对应角。△ABC与△DEF全等, 记作:△ABC≌△DEF。 读作:三角形ABC全等于三角形DEF。 注意:通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. 活动2:想一想 (1)在图中,△ABC≌△DEF。对应边有什么关系 性质:全等三角形的对应边相等。 如图所示,AB=DE,BC=EF,AC=DF。
几何语言:因为△ABC≌△DEF, 所以AB=DE,BC=EF,AC=DF。 (2)在图中,△ABC≌△DEF。对应角有什么关系 性质:全等三角形的对应角相等。 如图所示,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。 几何语言:因为△ABC≌△DEF, 所以∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。 活动3:议一议 (1)全等三角形对应边的高相等吗 对应边的中线呢 还有哪些相等的线段 举例说明。 (2)如图所示,已知△ABC≌△A'B'C',你如何在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段 活动4: 做一做 如图所示是一个等边三角形,你能把它分成两个全等的三角形吗 三个呢 四个呢 意图说明 教师引导学生利用裁下来的三角形纸板与原三角形纸板对比得到全等三角形的概念,然后通过想一想,探究出全等三角形的性质,培养学生的观察意识。又通过议一议加深对全等三角形对应边相等的理解。 探究二 全等三角形性质的应用 活动5:巩固练习 1.如图所示,△AOD≌△BOC,写出其中相等的角。 2.如图所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数。 3.如图所示,已知△ABC≌△A'B'C',∠C=25°,BC=6 cm,AC=4 cm,你能得出△A'B'C'中哪些角的大小,哪些边的长度 意图说明 通过巩固练习及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养独立完成练习的习惯。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 全等三角形 1.全等三角形的概念 2.全等三角形的性质 3.全等三角形性质的应用
教学反思
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2 全等三角形
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.能够完全重合的两个三角形叫作 ,其中能相互重合的顶点叫作 ,互相重合的边叫作 ,互相重合的角叫作 。
2.全等三角形的对应边 ,对应角 。
3.△ABC与△DEF全等,记作 ,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
全等三角形
对应顶点
对应边
对应角
相等
相等
△ABC≌△DEF
课堂互动
知识点1:全等三角形的概念
例1 下列说法一定正确的是( )
A.两个等边三角形一定全等
B.形状相同的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.完全重合的两个三角形全等
D
例2 已知△ABC≌△DEF ,若∠A=50°,∠E =80°,求∠C的度数。
解:因为△ABC≌△DEF,
所以∠A=∠D,∠B=∠E。
因为∠E =80°,所以∠B =80°。
在△ABC中,∠A=50°,且∠A+∠B+∠C=180°,
所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-80°=50°,
所以∠C的度数是50°。
知识点2:全等三角形的性质
基础题
1.下列说法中,正确的是( )
①两个全等三角形的面积相等;
②形状相同的两个三角形是全等三角形;
③全等三角形的对应边相等,对应角相等;
④若两个三角形面积相等,则这两个三角形一定全等。
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
C
2.下列各组三角形是全等三角形的是( )
C
A B C D
3.如图所示,△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,则BC的对应边是( )
A.CD B.CA C.DA D.AB
C
4.如图所示,△ABC≌△AED,∠C=40°,∠B=30°,则∠EAD等于( )
A.110° B.70° C.40° D.30°
A
5.如果△ABC≌△DEF,△DEF的周长为13,DE=3,EF=4,则AC的长为( )
A.13 B.3 C.4 D.6
D
6.(教材P96随堂练习T1变式)如图所示,若△ABO≌△CDO,则图中相等的角有 。
∠A=∠C,∠B=∠D,∠AOB=∠COD,∠AOD=∠COB
7.如图所示,已知AB与CD相交于点O,△AOC≌△BOD,试判断AC与BD的
关系。
解:AC=BD且AC∥BD。
理由如下:
因为△AOC≌△BOD,且∠A与∠B为对应角,
所以∠A=∠B,所以AC∥BD。
又因为AC与BD是对应边,
所以AC=BD,故AC=BD且AC∥BD。
中档题
8.如图所示,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论:①AC=AF;
②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC。其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
9.如图所示,在正方形方格纸中,∠α与∠β的度数和为 。
90°
10.如图所示,已知△ACE≌△DBF,AD=9,BC=2。
(1)求AC的长;
解:(1)因为△ACE≌△DBF,
所以AC=DB。
又因为AC+DB-BC=AD,
即2AC-BC=AD。
将BC=2,AD=9代入可得2AC-2=9,
解得AC=5.5。
(2)试说明:CE∥BF。
解:(2)因为△ACE≌△DBF,
所以∠ACE=∠FBD。
根据内错角相等,两条直线平行,可得CE∥BF。
11.如图所示,△ABF≌△CDE,∠B和∠D是对应角,AF和CE是对应边。
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边;
解:(1)其他对应角为∠BAF和∠DCE,∠AFB和∠CED;其他对应边为AB和CD,BF和DE。
(2)若∠B=30°,∠DCF=40°,求∠DFC的度数;
解:(2)因为△ABF≌△CDE,∠B=30°,
所以∠D=∠B=30°。
因为∠DCF=40°,
所以∠DFC=180°-∠D-∠DCF=110°。
(3)若BD=10,EF=2,求BF的长。
解:(3)因为△ABF≌△CDE,
所以BF=DE,
所以BF-EF=DE-EF,
所以DF=BE。
因为BD=10,EF=2,
所以DF=BE=4,
所以BF=BE+EF=4+2=6。
素养题
12.(应用意识)如图所示,某校有一块正方形花坛,现要把它分成4块全等的图形,分别种植四种不同品种的花卉,请你给出至少四种不同的设计方案。
解:如图所示(答案不唯一)。
