(共26张PPT)
第1课时 边边边
第4章 三角形
3 探索三角形全等的条件
【学习目标】
1. 通过探究，多设问的活动，能总结出三角形全等的“边边边”条件，体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略.
2.经历尺规作图实践操作过程，能根据给出的三边作出三角形，培养尺规作图能力
2.通过画图、操作等过程，能总结出三角形的稳定性这一性质，并能举出生活中常见例子，发展合情推理能力．
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
小明的书上的一个三角形被墨汁污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？
你能帮他画出来吗？
要画一个三角形与小明画的三角形全等.需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？···
让我们一起来探索三角形全等的条件
新知初探
贰
新知初探
探究一：三角形全等的判定（“边边边”）
贰
探究活动1：一个条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：
有一个相等条件不能保证两个三角形全等.
有两个分别相等的条件不能保证三角形全等.
不一定全等
活动2：两个条件可以吗？
3 cm
4 cm
不一定全等
3 cm
4 cm
不一定全等
30°
6cm
结论：
(1) 有两个角分别相等的两个三角形
(2) 有两条边分别相等的两个三角形
(3) 有一个角和一条边分别相等的两个三角形
6cm
30°
60°
30°
30°
60°
结论：三个内角分别相等的三角形不一定全等.
（1）有三个角分别相等的两个三角形
活动3：三个条件可以吗？
60°
30°
90°
30°
60°
90°
3 cm
4 cm
6 cm
4 cm
6 cm
3 cm
（2）三边分别相等的两个三角形全等吗？
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使 A′B′ = AB ，B′C′ = BC，A′C′ = AC. 把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们重合吗？
A
B
C
A′
B′
C′
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
作图：(1) 画 B′C′ = BC；
(2) 分别以 B'，C' 为圆心，线段 AB，AC 长为半径画圆，两弧相交于点 A'；
(3) 连接 A'B'，A'C'.
动手试一试
文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，
简写为“边边边”或“SSS”.
“边边边”判定方法
A
B
C
D
E
F
几何语言：
在△ABC 和△DEF 中，
因为AB=DE,BC=EF,CA=FD,
所以△ABC≌△DEF（SSS）.
例题解析
1.如图，有一个三角形钢架，AB = AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架.试说明：(1)△ABD≌△ACD；
C
B
D
A
解题思路：
先找隐含条件
公共边 AD
再找现有条件
AB = AC
最后找准备条件
BD = CD
D 是 BC 的中点
解：因为 D 是 BC 中点，
所以 BD = DC．
在△ABD 与△ACD 中，
所以△ABD≌△ACD (SSS).
C
B
D
A
因为AB = AC (已知)，
BD = CD (已证)，
AD = AD (公共边)，
准备条件
指明范围
摆齐根据
写出结论
(2)∠BAD =∠CAD.
解：由（1）得△ABD≌△ACD，
所以 ∠BAD = ∠CAD（全等三角形对应角相等）.
已知三角形的三条边，求作这个三角形.
已知：线段 a，b，c.
求作：△ABC，使 AB = c，AC = b，BC = a.
（1）作一条线段 BC = a；
（2）分别以 B，C 为圆心，以 c，b 为
半径画弧，两弧交于 A 点；
（3）连接 AB，AC.
a
b
c
B
C
A
作法：
则△ABC 就是所求作的三角形.
活动4：做一做
探究二：三角形的稳定性
活动3 请同学们动手用三根木条钉成一个三角形框架，再用四根木条钉成框架，看看它们的形状能否改变？
不会
会
动动手
1. 三角形具有稳定性.
2. 四边形没有稳定性.
发现
理解“稳定性”
“只要三角形三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小也就完全确定了”，三角形的这个性质叫做“三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形的三边长一旦确定，其形状和大小就唯一确定了”.
你还能举出一些其他的例子吗
生活中，我们经常看到应用三角形稳定性的例子
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了
( )
A. 节省材料，节约成本
B. 保持对称
C. 利用三角形的稳定性
D. 美观漂亮
C
2. 如图，AB = AC，DB = DC，请说明∠B =∠C 成立的理由.
A
B
C
D
在△ABD 和△ACD 中，
因为AB = AC (已知)，
DB = DC (已知)，
AD = AD (公共边)，
所以△ABD≌△ACD (SSS).
解：连接 AD.
所以∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
3. 已知 AC = AD，BC = BD，试说明：AB 是∠DAC 的平分线.
因为AC = AD ( )，
BC = BD ( )，
AB = AB ( )，
所以△ABC≌△ABD ( ).
所以∠1 =∠2
所以 AB 是∠DAC 的平分线
A
B
C
D
1
2
(全等三角形的对应角相等).
已知
已知
公共边
SSS
(角平分线的定义).
解：在△ABC 和△ABD 中，
课堂小结
肆
课堂小结
肆
三边分别相等的两个三角形
三角形全等的“SSS”判定：
三边分别相等的两个三角形全等.
三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.
尺规作图：
已知三角形三边，求作这个三角形
课后作业
基础题：1.习题4.3 第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题4.3第8,15题
谢
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第1课时 边边边 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
通过探究，多设问的活动，能总结出三角形全等的“边边边”条件，体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略.
2.经历尺规作图实践操作过程，能根据给出的三边作出三角形，培养尺规作图能力
2.通过画图、操作等过程，能总结出三角形的稳定性这一性质，并能举出生活中常见例子，发展合情推理能力．
【学习过程】
任务一：三角形全等的判定（“边边边”）
问题1：如果只给一个条件(一条边或一个角)，画出的三角形是否全等
（1）有一条边对应相等的三角形（一边长5cm）
（2）有一个角对应相等的三角形（一角为40o）
得出结论：只给出一个条件时， （能或不能）保证所画出的三角形一定全等.
问题2：如果给出两个条件，画出的三角形是否全等.
（1）三角形的一个内角为30°，一条边为3 cm；
（2）三角形的两条边分别为4 cm，6 cm；
（3）三角形的两个内角分别为30°和60°．
得出结论：只给出两个条件时， （能或不能）保证所画出的三角形一定全等.
问题3：如果给出三个条件时，又会怎样呢？有几种情况？
（1）已知一个三角形的三个角分别为40°，60°，80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴的进行比较，它们一定全等吗？
得出结论：三个内角分别相等的两个三角形 （一定或不一定）全等；
（2）如果所给的条件是三条边相等呢？如三角形三条边长分别是4cm、5cm、7cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴的进行比较，它们一定全等吗？
画法指导：1．用刻度尺画线段AB=4cm，
2．以A为圆心，5cm为半径作弧，
3．以B为圆心，7cm为半径作弧，与前弧交于点C.
4．连接AC、BC．△ABC就是所求．
（3）小组合作，选择三条线段作为三角形的三条边，并用尺规做出这个三角形。把你作的三角形与同伴作的进行比较，它们一定全等吗？
【方法归纳】三边分别相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“ ”；
【即时测评】
1.如图，有一个三角形钢架，AB = AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架.试说明：(1)△ABD≌△ACD；(2)∠BAD =∠CAD.
问题4：已知三角形的三条边，求作这个三角形.
已知：线段 a，b，c.
A b c
求作：△ABC，使 AB = c，AC = b，BC = a.
评价任务一
得分：
任务二：三角形的稳定性
问题5:请同学们动手用三根木条钉成一个三角形框架，再用四根木条钉成框架，看看它们的形状能否改变？
【方法归纳】提炼新知：三角形的这个性质叫做三角形的 .
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( )
A. 节省材料，节约成本 B. 保持对称
C. 利用三角形的稳定性 D. 美观漂亮
2. 如图，AB = AC，DB = DC，请说明∠B =∠C 成立的理由.
3. 已知 AC = AD，BC = BD，试说明：AB 是∠DAC 的平分线.
参考答案
即时测评：
1.解：因为 D 是 BC 中点，
所以 BD = DC．
在△ABD 与△ACD 中，
因为AB=AC,BD=CD,AD=AD,
所以△ABD≌△ACD (SSS).
解：由（1）得△ABD≌△ACD，
所以 ∠BAD = ∠CAD（全等三角形对应角相等）.
当堂训练
1.C
2.解：如图所示，连接 AD.
在△ABD 和△ACD 中，
因为AB = AC (已知)，DB = DC (已知)，AD = AD (公共边)，
所以△ABD≌△ACD (SSS).
所以∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
3.解：在△ABC 和△ABD 中，
因为AC = AD ( 已知 )，BC = BD ( 已知 )，AB = AB ( 公共边 )，
所以△ABC≌△ABD ( SSS ).
所以∠1 =∠2(全等三角形的对应角相等).
所以 AB 是∠DAC 的平分线(角平分线的定义).
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第1课时 边边边
课标摘录 1.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。 2.能用尺规作图:已知三边作三角形。 3.了解三角形的稳定性。
教学目标 1.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。 2.掌握三角形全等的“SSS”条件,了解三角形的稳定性。
教学重难点 重点:掌握三角形全等的“边边边”条件并初步学会运用。 难点:对三角形全等条件的分析和探索。
教学策略 本课时呈现的顺序是:提出画全等三角形需要几个条件的问题,激发学生求知欲→探索已知1~2个条件无法画出全等三角形→探索已知三条边或三个角画全等三角形问题→三角形的稳定性。本课时教师可引导学生从全等三角形的定义出发,提出:判断两个三角形全等,是否一定需要满足定义中提出的六个条件,条件能否尽可能少呢 一个条件行不行 两个条件、三个条件呢 学生通过画图、观察、比较、推理、交流,条件由少到多,逐步强化,直至最后探索出结论。教学时,也可以不完全按照这个思路,在提出问题后,允许学生独立思考、独自探究解决问题的方案,再在全班进行交流。
情境导入 小明作业本上画的三角形被墨迹污染了,他想画一个与原来完全一样的三角形,他该怎么办 请你帮助小明想一个办法,并说明你的理由。 注意:与原来完全一样的三角形,即是与原来三角形全等的三角形。 要画一个三角形与小明画的三角形全等。至少需要几个与边或角的大小有关的条件 一个条件 两个条件 三个条件 … 让我们一起来探索三角形全等的条件。
新知初探 探究一 三角形全等的判定(“边边边”) 活动1:做一做 1.只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,大家画出的三角形一定全等吗 师生活动:学生根据要求画图,或者教师播放PPT,发现画出的三角形不都全等(如图所示)。 因此学生可得出结论:有一个相等条件不能保证两个三角形全等. 2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况 每种情况下画出的三角形一定全等吗 分别按照下面的条件做一做。 (1)三角形的一个内角为30°,一条边为3 cm; (2)三角形的两个内角分别为30°和50°; (3)三角形的两条边分别为4 cm,6 cm。
师生活动:学生根据要求画图,然后小组互相观察图片,发现画出的三角形不都全等(如图所示)。 教师:所以两个条件画出的三角形不一定全等。 3.如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况 师生活动:学生积极发言,教师整理,有四种可能:三条边、三个角、两边一角和两角一边. 做一做 (1)已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°和80°,你能画出这个三角形吗 把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗 师生活动:学生根据要求画图,然后小组互相观察图片,发现画出的三角形不都全等(如图所示)。 教师引导学生总结:三个内角分别相等的两个三角形不一定全等。 (2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm,5 cm和7 cm,你能画出这个三角形吗 把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗 师生活动:学生根据要求画图,然后小组互相观察图片,发现画出的三角形都全等。 教师追问:改变三边的长度,同桌之间再画一画,比一比吧! 学生小组合作,类比上述操作过程,发现结论不变,教师引导学生归纳总结。 归纳总结 “边边边”判定方法 文字语言:三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”。 几何语言: 如图所示,在△ABC和△DEF中, 因为AB=DE,BC=EF,CA=FD, 所以△ABC≌△DEF(SSS)。 活动2:尺规作图:已知三角形的三条边,求作这个三角形。 已知:线段a,b,c。 求作:△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a。 师生活动:学生类比上述过程,独立完成,学生代表展示,教师对板书整理与完善: 作法:(1)作一条线段BC=a; (2)分别以B,C为圆心,以c,b为半径画弧,两弧交于A点; (3)连接AB,AC。则△ABC就是所求作的三角形。
活动3:例题解析 例题 如图所示,有一个三角形钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架。试说明:△ABD≌△ACD; 师生活动:教师引导学生分析思路: 教师板书示范,并对每一步分析说明。 意图说明 1.从最少的条件入手,只给出一个条件,结论不言而喻,学生通过想象即可得出,无需实际画出三角形。 2.给出两个条件时,学生实际画一画也可得出结论。通过这个问题的探究,不仅仅要探究出仅两个条件能否确定三角形全等的结论,还要注意数学方法的渗透:一是体会分类的思想和方法,两个条件可分为两个角、两条边、一条边一个角三种情况;二是进一步感受通过举反例否定结论的方法。条件由少到多,逐步强化,直至最后探索出结论。 3.给出三个条件画三角形,三个条件有几种情况 教学时应鼓励学生先独立思考,然后再相互交流,让学生在讨论的过程中继续体会分类的思想和方法。 探究二 三角形的稳定性 活动4: 请同学们动手用三根木条钉成一个三角形框架,再用四根木条钉成框架,看看它们的形状能否改变 师生活动:学生动手操作发现,三角形大小和形状固定不变,四边形形状可以改变。 教师总结:三角形的稳定性,四边形具有不稳定性。 在生活中,我们经常会看到应用三角形稳定性的例子。 师生活动:教师则用PPT展示生活中应用三角形稳定性的例子。 教师追问:你还能举出一些其他的例子吗 学生联系生活积极回答。 活动5:如图所示,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是为了() A.节省材料,节约成本 B.保持对称 C.利用三角形的稳定性 D.美观漂亮 意图说明 三角形的稳定性在日常生活中有着广泛的应用,可以利用“SSS”来说明其中的理由。教学中可以引导学生先进行操作,在实践中体会三角形的这个特殊性质,再鼓励学生思考为什么三角形会具有稳定性,逐渐树立推理的意识。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 边边边 1.三角形全等的判定(“边边边”) 2.尺规作图:已知三角形三边,作三角形 3.三角形全等的判定(“边边边”)的应用 4.三角形的稳定性
教学反思
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3 探索三角形全等的条件
第1课时 边边边
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1. 的两个三角形全等,简写为“边边边”或“ ”。
2.三角形具有 ,四边形具有 。
3.用尺规作三角形,其实质可以归纳为:
(1)作一条线段 ;
(2)作一个角 。
三边分别相等
SSS
稳定性
不稳定性
等于已知线段
等于已知角
课堂互动
知识点1:利用“SSS”说明两个三角形全等
例1 如图所示,已知点A,D,B,F在一条直线上,AC=FE,BC=DE,AD=FB,试说明:∠A=∠F。
解:因为AD=FB,
所以AD+DB=FB+DB,
即AB=FD。
在△ABC和△FDE中,
AC=FE,AB=FD,BC=DE,
所以△ABC≌△FDE(SSS),
所以∠A=∠F。
[书写注意] 书写三角形全等的条件的注意事项:①全等条件要按顺序排列;②同一个三角形的三个条件要放在等号同一侧;③三角形对应顶点的字母要一一对应。
知识点2:三角形的稳定性
例2 下列图形中具有不稳定性的是( )
D
知识点3:已知三边作三角形
例3 已知:线段a,b,如图所示。
求作:△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
[方法技巧] 根据三边作三角形,先作出三角形的一条边,然后作三角形的另外两条边。作图时注意所作的边长应符合题目要求。
基础题
1.在生活中,我们常常会看见如图所示的情况,在电线杆上拉两条钢筋来加固电线杆,这是利用了三角形的( )
A.稳定性 B.全等性
C.灵活性 D.对称性
A
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可判定( )
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D.以上答案都不对
B
3.如图所示,下列三角形中,与△ABC全等的是( )
C
4.用三角尺可按如图所示的方法画角的平分线。如图所示,在∠AOB两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,若NP=MP。则判定△POM≌△PON的依据是 。
SSS
5.如图所示,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC。说明:△ABC≌△EDC。
解:因为C是BD的中点,
所以BC=DC。
在△ABC和△EDC中,
AB=ED,AC=EC,BC=DC,
所以△ABC≌△EDC(SSS)。
中档题
6.如图所示,已知AE=AD,AB=AC,EC=DB,下列结论:①∠C=∠B;②∠D=
∠E;③∠EAD=∠BAC;④∠B=∠E。其中错误的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.只有④
D
7.如图所示,AC=DB,AB=DC,可以由“SSS”判定全等的三角形是
。
△ABD≌△DCA;△ABC≌△DCB
8.(教材106页习题4.3T1变式)如图所示,已知△ABC,用尺规作△ABD,使得△ABD≌△ABC。(要求保留作图痕迹,不写作法)
素养题
9.(类比思维、推理能力)(教材108页习题4.3T12变式)一个平分角的仪器如图(1)所示,其中AB=AC,BD=CD,将点A放在已知角的顶点,调整AB和AC,使它们沿着已知角的两边放下,沿AD画一条射线AE,则AE就是这个角的平分线,请说明理由。
图(1)
迁移应用:工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图(2)所
示,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON,移动角
尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺的顶点C作射线OC。
试说明:∠MCD=∠NCD。
图(2)
