四川省嘉祥教育集团2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试题
1．（2024高一下·四川期中）已知为虚数单位，复数为纯虚数，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高一下·四川期中）设非零向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·四川期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·四川期中）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为( )
A． B． C． D．
5．（2024高一下·四川期中）若，则( )
A． B． C． D．
6．（2024高一下·四川期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，其中线段的中点在轴上，且△的面积为，则可以为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一下·四川期中）设的内角，，的对边分别为，，，且满足，则( )
A． B． C． D．
8．（2024高一下·四川期中）已知，则的最大值为( )
A． B． C． D．
9．（2024高一下·四川期中）下列命题正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量
C．若与是平行向量，则
D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
10．（2024高一下·四川期中） 已知函数，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．在上的最大值为3
D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称
11．（2024高一下·四川期中）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 在 上有3个零点
C． 的最大值为 D． 在 上是增函数
12．（2024高一下·四川期中）正方形的边长是，是的中点，则 ．
13．（2024高一下·四川期中）在凸四边形中，若，，，，，则 ．
14．（2024高一下·四川期中）已知函数，若对任意，都有，且，则当时，的最小值为 ．
15．（2024高一下·四川期中）化简：，并指出α的取值范围.
16．（2024高一下·四川期中）（1）已知非零向量，求作向量，使；
（2）（1）中表示的有向线段能构成三角形吗？说明理由．
17．（2024高一下·四川期中）已知复数，，，它们所对应的点分别为、、，在复平面上构成一个正方形的三个顶点．
（1）画出示意图，验证说明；
（2）求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
18．（2024高一下·四川期中）已知在锐角中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求周长的取值范围.
19．（2024高一下·四川期中）已知O是内一点，OA = OB = OC，，动点P满足，M是PC的中点．
（1）判断△ABC的形状，并求△ABC的面积；
（2）求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
因为复数为纯虚数，所以，即，则，.
故答案为：D.
【分析】根据复数的立方以及复数的乘法运算化简复数z，再由复数为纯虚数求得a的值，最后根据复数的求模求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为非零向量，满足，
所以，即，
所以，即.
故答案为：C.
【分析】将两边平方，根据向量数量积的运算计算判断即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，，
因为，所以，化简可得.
故答案为：A.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示求解即可.
4．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意，可得函数，
记，同一坐标系中作出图象，如图所示：
①则当时，，而，且，
则恒成立，故与在上无交点；
②当时，单调递减，而单调递增，
且，且，
故与在上有且只有一个交点；
③当时，由图可知，与均单调递增，
且，故与在上无交点；
④当时，因，
故与在上无交点.
综上，与的交点个数为1.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据三角函数图象的平移变化求出的解析式，作出两函数的图象，根据函数的零点存在定理和函数的单调性，分段讨论两函数的交点个数即可.
5．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，可得，
则，即，
所以，所以，则.
故答案为：C.
【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式及商数关系和平方关系化弦为切，再根据二倍角的正切公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题图及线段的中点在轴上，知：，由对称性得，
则函数的最小正周期为，故，即，
由△的面积为，得，得，故，
由得，故，即，
故.
故答案为：C.
【分析】由图象及的中点在轴上知且的最小正周期为求，根据三角形面积求，最后由五点法求，确定解析式即可.
7．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】解：由，利用正弦定理可得：，
因为，，
所以，显然，即，
则.
故答案为：A.
【分析】利用正弦定理化边为角，借助于三角形内角关系，推得，再代入计算即可.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.
故答案为：D.
【分析】由，求得，利用同角三角函数基本关系弦化切，再利用基本不等式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】向量的几何表示；单位向量；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：A、若与都是单位向量，则，但与可以方向不同，故A错误；
B、因为方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，故B正确；
C、若与是平行向量，但当或与方向相反，不满足，故C错误；
D、由向量的几何表示知，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用向量相等的条件即可判断AC；利用共线向量的定义即可判断B；根据向量的几何表示即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，
A、因为，故A错误；
B、因为
，
所以的图象关于点对称，故B正确；
C、若，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，故C正确；
D、定义域关于原点对称，
且满足，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据辅助角公式及诱导公式化简，再计算即可判断A；计算即可判断B；由自变量范围求范围，换元后利用对勾函数求最值即可判断C；根据图象平移计算即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】解：因为： ① 的周期是 ，
的周期是 ，
所以 的周期是 ，A符合题意.②当 ， 时，
或
解得 或 或 ，
所以 在 上有3个零点，故 正确.③
令 ，求得 或 ，
因为 在 单调递增，在 单调递减，
所以 时取得最大值，则
，C符合题意.④由③得 ，
要求增区间则 ，
即 （不成立），或 ，
所以
所以 在 上是增函数是错误的，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】①分别计算 和 的周期，再求其最小公倍数即可得到 的周期.②令 即可求得零点.③对 求导，令 ，判断单调性即可求得极值.④对 求导，令 ，即可求出单调递增区间.
12．【答案】3
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
则.
故答案为：3.
【分析】以为基底表示向量，，再结合向量的数量积运算求解即可.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理，即；
因为，，所以，所以为直角三角形；
由余弦定理可得：，则
则．
故答案为：．
【分析】在中，利用余弦定理求出，结合已知条件得为直角，由余弦定理求得，再根据同角三角函数基本关系求得，最后由诱导公式求解即可．
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：
，
因为对任意x∈R，都有，且，
所以 与分别是图象上相邻的最低点与最高点的函数值，
则，即，解得 ω = 2，即．
取，故当时，，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故当，即时，函数取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】利用三角降幂公式与和角公式、辅助角公式化简函数解析式，由题意求出函数的周期，即得值，最后结合正弦函数图象的单调性确定的最小值即可.
15．【答案】解：，
则
，
则α的取值满足，且，
故α的取值范围是.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系以及二倍角公式可得，再根据弦切互化以及正弦二倍角公式化简即可.
16．【答案】解：（1）当两个向量，不共线时，作平行四边形OADB，如图所示：
使得，，则，
因为，所以，即；
当向量，两个共线时，如图所示：
使得，，， 则，，所以，即；
（2）由（1）可知，当向量，不共线时，表示，，的有向线段能构成三角形；
当向量，共线时，，，的有向线段不能构成三角形．
【知识点】共线（平行）向量；向量加法的三角形法则；相反向量；向量加法的平行四边形法则
【解析】【分析】（1）当两个向量不共线时，利用平行四边形法则或者三角形法则作出，再作出其相反向量即是；当两个向量共线时，直接首尾相连做出，再作出相反向量即可；
（2）通过（1）可得当两个向量不共线时，对应有向线段可以构成三角形，当两个向量共线时，不可以构成三角形.
17．【答案】（1）解：因为复数，，，再复平面内对应的点分别为、、，
且、、，
所以，，
所以，即，则．
（2）解：设正方形的第四个顶点对应的坐标是，则其对应的复数为，，
因为点与点关于原点对称，所以原点为正方形的中心，则点与点也关于原点对称，
所以，故对应的复数为．
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；复数在复平面中的表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义确定点的坐标，再画出图形，计算出即可；
（2）设正方形的第四个顶点对应的坐标是，则其对应的复数为，， 根据正方形的对称性计算即可.
18．【答案】（1）解：，
由正、余弦定理可得；，化简可得：，即；
（2）解：因为 ，所以，即 ，
又因为，所以，所以，则；
因为 ，所以 ，
又因为在锐角中，，所以，所以，
则周长，
由，则，
故，
即周长的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正、余弦定理化简求的值即可；
（2）将变换为，即可求得的值，根据正弦定理得，求得A的范围，表示出周长，再利用三角恒等变换求周长的取值范围即可.
（1）因为，应用正余弦定理可得，
，化简可得：，即.
（2） ，即 ，
，，
；
， ，
又在锐角中，，
，
周长
，
由，则，
故，
即周长的取值范围为.
19．【答案】（1）解：由题意，因为，即点是的外心，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
同理，可得，，即说明点是的垂心，
所以的外心与垂心重合，表明是正三角形，是的中心，
因为，解得
由正弦定理，，解得，
故的面积为；
（2）解：取点A为原点，使点与点关于轴对称，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
由动点P满足可得点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，
故可设点P的坐标为，又因点M是PC的中点，
所以点M的坐标为，
故
，
，则，
故当，即时，取得最大值1，故的最大值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意，判断为正三角形，再利用求出的边长即可；
（2）由题意，以点A为原点建系，根据判断轨迹，并设点，将表示成关于的三角函数，结合图象求其最大值即可.
（1）由题意，因为OA = OB = OC，即点O是的外心．
又 OB⊥AC．
同理，可得OA⊥BC，OC⊥AB，即说明点O是的垂心，
所以的外心与垂心重合，表明是正三角形，O是的中心．
因为，解得
由正弦定理，，解得，
故的面积为.
（2）如图，取点A为原点，使点与点关于轴对称，建立平面直角坐标系，
则有．
由动点P满足可得点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，
故可设点P的坐标为，又因点M是PC的中点，
所以点M的坐标为，
故
，
因，则得，
故当，即时，取得最大值1，故的最大值为．
1 / 1四川省嘉祥教育集团2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试题
1．（2024高一下·四川期中）已知为虚数单位，复数为纯虚数，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
因为复数为纯虚数，所以，即，则，.
故答案为：D.
【分析】根据复数的立方以及复数的乘法运算化简复数z，再由复数为纯虚数求得a的值，最后根据复数的求模求解即可.
2．（2024高一下·四川期中）设非零向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为非零向量，满足，
所以，即，
所以，即.
故答案为：C.
【分析】将两边平方，根据向量数量积的运算计算判断即可.
3．（2024高一下·四川期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，，
因为，所以，化简可得.
故答案为：A.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示求解即可.
4．（2024高一下·四川期中）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意，可得函数，
记，同一坐标系中作出图象，如图所示：
①则当时，，而，且，
则恒成立，故与在上无交点；
②当时，单调递减，而单调递增，
且，且，
故与在上有且只有一个交点；
③当时，由图可知，与均单调递增，
且，故与在上无交点；
④当时，因，
故与在上无交点.
综上，与的交点个数为1.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据三角函数图象的平移变化求出的解析式，作出两函数的图象，根据函数的零点存在定理和函数的单调性，分段讨论两函数的交点个数即可.
5．（2024高一下·四川期中）若，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，可得，
则，即，
所以，所以，则.
故答案为：C.
【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式及商数关系和平方关系化弦为切，再根据二倍角的正切公式求解即可.
6．（2024高一下·四川期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，其中线段的中点在轴上，且△的面积为，则可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题图及线段的中点在轴上，知：，由对称性得，
则函数的最小正周期为，故，即，
由△的面积为，得，得，故，
由得，故，即，
故.
故答案为：C.
【分析】由图象及的中点在轴上知且的最小正周期为求，根据三角形面积求，最后由五点法求，确定解析式即可.
7．（2024高一下·四川期中）设的内角，，的对边分别为，，，且满足，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】解：由，利用正弦定理可得：，
因为，，
所以，显然，即，
则.
故答案为：A.
【分析】利用正弦定理化边为角，借助于三角形内角关系，推得，再代入计算即可.
8．（2024高一下·四川期中）已知，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.
故答案为：D.
【分析】由，求得，利用同角三角函数基本关系弦化切，再利用基本不等式求解即可.
9．（2024高一下·四川期中）下列命题正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量
C．若与是平行向量，则
D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
【答案】B,D
【知识点】向量的几何表示；单位向量；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：A、若与都是单位向量，则，但与可以方向不同，故A错误；
B、因为方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，故B正确；
C、若与是平行向量，但当或与方向相反，不满足，故C错误；
D、由向量的几何表示知，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用向量相等的条件即可判断AC；利用共线向量的定义即可判断B；根据向量的几何表示即可判断D.
10．（2024高一下·四川期中） 已知函数，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．在上的最大值为3
D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称
【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，
A、因为，故A错误；
B、因为
，
所以的图象关于点对称，故B正确；
C、若，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，故C正确；
D、定义域关于原点对称，
且满足，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据辅助角公式及诱导公式化简，再计算即可判断A；计算即可判断B；由自变量范围求范围，换元后利用对勾函数求最值即可判断C；根据图象平移计算即可判断D.
11．（2024高一下·四川期中）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 在 上有3个零点
C． 的最大值为 D． 在 上是增函数
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】解：因为： ① 的周期是 ，
的周期是 ，
所以 的周期是 ，A符合题意.②当 ， 时，
或
解得 或 或 ，
所以 在 上有3个零点，故 正确.③
令 ，求得 或 ，
因为 在 单调递增，在 单调递减，
所以 时取得最大值，则
，C符合题意.④由③得 ，
要求增区间则 ，
即 （不成立），或 ，
所以
所以 在 上是增函数是错误的，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】①分别计算 和 的周期，再求其最小公倍数即可得到 的周期.②令 即可求得零点.③对 求导，令 ，判断单调性即可求得极值.④对 求导，令 ，即可求出单调递增区间.
12．（2024高一下·四川期中）正方形的边长是，是的中点，则 ．
【答案】3
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
则.
故答案为：3.
【分析】以为基底表示向量，，再结合向量的数量积运算求解即可.
13．（2024高一下·四川期中）在凸四边形中，若，，，，，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理，即；
因为，，所以，所以为直角三角形；
由余弦定理可得：，则
则．
故答案为：．
【分析】在中，利用余弦定理求出，结合已知条件得为直角，由余弦定理求得，再根据同角三角函数基本关系求得，最后由诱导公式求解即可．
14．（2024高一下·四川期中）已知函数，若对任意，都有，且，则当时，的最小值为 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：
，
因为对任意x∈R，都有，且，
所以 与分别是图象上相邻的最低点与最高点的函数值，
则，即，解得 ω = 2，即．
取，故当时，，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故当，即时，函数取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】利用三角降幂公式与和角公式、辅助角公式化简函数解析式，由题意求出函数的周期，即得值，最后结合正弦函数图象的单调性确定的最小值即可.
15．（2024高一下·四川期中）化简：，并指出α的取值范围.
【答案】解：，
则
，
则α的取值满足，且，
故α的取值范围是.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系以及二倍角公式可得，再根据弦切互化以及正弦二倍角公式化简即可.
16．（2024高一下·四川期中）（1）已知非零向量，求作向量，使；
（2）（1）中表示的有向线段能构成三角形吗？说明理由．
【答案】解：（1）当两个向量，不共线时，作平行四边形OADB，如图所示：
使得，，则，
因为，所以，即；
当向量，两个共线时，如图所示：
使得，，， 则，，所以，即；
（2）由（1）可知，当向量，不共线时，表示，，的有向线段能构成三角形；
当向量，共线时，，，的有向线段不能构成三角形．
【知识点】共线（平行）向量；向量加法的三角形法则；相反向量；向量加法的平行四边形法则
【解析】【分析】（1）当两个向量不共线时，利用平行四边形法则或者三角形法则作出，再作出其相反向量即是；当两个向量共线时，直接首尾相连做出，再作出相反向量即可；
（2）通过（1）可得当两个向量不共线时，对应有向线段可以构成三角形，当两个向量共线时，不可以构成三角形.
17．（2024高一下·四川期中）已知复数，，，它们所对应的点分别为、、，在复平面上构成一个正方形的三个顶点．
（1）画出示意图，验证说明；
（2）求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【答案】（1）解：因为复数，，，再复平面内对应的点分别为、、，
且、、，
所以，，
所以，即，则．
（2）解：设正方形的第四个顶点对应的坐标是，则其对应的复数为，，
因为点与点关于原点对称，所以原点为正方形的中心，则点与点也关于原点对称，
所以，故对应的复数为．
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；复数在复平面中的表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义确定点的坐标，再画出图形，计算出即可；
（2）设正方形的第四个顶点对应的坐标是，则其对应的复数为，， 根据正方形的对称性计算即可.
18．（2024高一下·四川期中）已知在锐角中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）解：，
由正、余弦定理可得；，化简可得：，即；
（2）解：因为 ，所以，即 ，
又因为，所以，所以，则；
因为 ，所以 ，
又因为在锐角中，，所以，所以，
则周长，
由，则，
故，
即周长的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正、余弦定理化简求的值即可；
（2）将变换为，即可求得的值，根据正弦定理得，求得A的范围，表示出周长，再利用三角恒等变换求周长的取值范围即可.
（1）因为，应用正余弦定理可得，
，化简可得：，即.
（2） ，即 ，
，，
；
， ，
又在锐角中，，
，
周长
，
由，则，
故，
即周长的取值范围为.
19．（2024高一下·四川期中）已知O是内一点，OA = OB = OC，，动点P满足，M是PC的中点．
（1）判断△ABC的形状，并求△ABC的面积；
（2）求的最大值．
【答案】（1）解：由题意，因为，即点是的外心，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
同理，可得，，即说明点是的垂心，
所以的外心与垂心重合，表明是正三角形，是的中心，
因为，解得
由正弦定理，，解得，
故的面积为；
（2）解：取点A为原点，使点与点关于轴对称，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
由动点P满足可得点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，
故可设点P的坐标为，又因点M是PC的中点，
所以点M的坐标为，
故
，
，则，
故当，即时，取得最大值1，故的最大值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意，判断为正三角形，再利用求出的边长即可；
（2）由题意，以点A为原点建系，根据判断轨迹，并设点，将表示成关于的三角函数，结合图象求其最大值即可.
（1）由题意，因为OA = OB = OC，即点O是的外心．
又 OB⊥AC．
同理，可得OA⊥BC，OC⊥AB，即说明点O是的垂心，
所以的外心与垂心重合，表明是正三角形，O是的中心．
因为，解得
由正弦定理，，解得，
故的面积为.
（2）如图，取点A为原点，使点与点关于轴对称，建立平面直角坐标系，
则有．
由动点P满足可得点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，
故可设点P的坐标为，又因点M是PC的中点，
所以点M的坐标为，
故
，
因，则得，
故当，即时，取得最大值1，故的最大值为．
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