16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
1.一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
2.二次根式有意义的条件是 a≥0 .
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知识点一 二次根式的概念
1.若式子是二次根式，则a的值不可以是 （ B ）
A.0 B.－2 C.2 D.4
2.（2024·金昌校级三模）下列各式中，一定是二次根式的是 （ C ）
A. B.
C. D.
3.下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数.
，，，（x≥3），（x≠－3），，，（x＜0）.
解：，（x≥3），，（x＜0）是二次根式，其中被开方数依次为，x－3，（2x＋1）2，－2x.
知识点二 二次根式有意义的条件
4.（2024·武威校级三模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （ B ）
A.x≥0 B.x≥－1
C.x≤0 D.x≤－1
5.（2024·金昌县级三模）若有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是 （ A ）
6.【新考法·开放性试题】（2024·兰州一诊）若x为正整数，要使有意义，则 x＝3（答案不唯一） .（写出1个即可）
7.【教材P3练习T2变式】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
解：由－x≥0，得x≤0.
当x≤0时，在实数范围内有意义.
（2）；
解：由2x＋2≥0，得x≥－1.
当x≥－1时，在实数范围内有意义.
（3）；
解：由5－2x≥0，得x≤.
当x≤时，在实数范围内有意义.
（4）.
解：由x2≥0，得x2＋4恒大于零.
当x取任意实数时，在实数范围内都有意义.
知识点三 二次根式的实际应用
8.已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为 （ B ）
A.1 dm B. dm
C. dm D.3 dm
9.（2024·武威期末）若一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为 5 cm，宽为 cm.
@中档提分训练
10.（2024·陇南模拟）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 （ A ）
A.x＞－3 B.x＞3
C.x＜－3 D.x＜3
11.使式子＋在实数范围内有意义的整数x有 （ C ）
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
12.【跨学科融合】【教材P5习题T8变式】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt.已知导线的电阻为2 Ω，1 s时间导线产生50 J的热量，电流I的值是 （ B ）
A.2 A B.5 A
C.8 A D.10 A
13.使＝在实数范围内成立的x的取值范围是 －1≤x＜2 .
14.（2024·武威校级三模）若y＝＋＋4，则x－y＝ 1 .
15.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
解：由4－x＞0，得x＜4.
当x＜4时，在实数范围内有意义.
（2）；
解：由x＋2≥0且x－3≠0，得x≥－2且x≠3.
当x≥－2且x≠3时，在实数范围内有意义.
（3）；
解：由1－｜x｜≥0，得－1≤x≤1.
当－1≤x≤1时，在实数范围内有意义.
（4）＋.
解：由得－1≤x≤1.
当－1≤x≤1时，＋在实数范围内有意义.
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16.【分类讨论思想】已知a，b为某个等腰三角形的两条边长，且满足等式2＋3＝b－4.求该等腰三角形的周长.
解：由得
∴a＝2.
∴2＋3＝2＋3＝0.
∴b－4＝0，解得b＝4.
分情况讨论：
①当腰长为2，底边长为4时，不能构成三角形；
②当腰长为4，底边长为2时，可以构成三角形，其周长为4＋4＋2＝10.
∴该等腰三角形的周长为10.
第2课时 二次根式的性质
1.（a≥0）表示a的 算术平方根 ，也就是说，（a≥0）是一个非负数，即 ≥ 0（a≥0）.
2.一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
＝｜a｜＝
3.用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做 代数式 .
@基础分点训练
知识点一 ≥0（a≥0）
1.（2024·天水期中）若＋｜y－2｜＝0，则xy＝ 1 .
2.当x＝ 2 024 时，式子2 025－有最大值，且最大值为 2 025 .
知识点二 （）2＝a（a≥0）的计算
3.计算（）2的结果是 （ B ）
A.225 B.15 C.±15 D.－15
4.计算：（1）（）2＝ 0.15 ；
（2）（－2）2＝ 12 ；
（3）＝ ；（4）＝ 2 .
5.把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
（1）6＝ （）2 ；
（2）3.4＝ （）2 ；
（3）＝ ；
（4）x＝ （）2 （x≥0）.
知识点三 ＝a（a≥0）的计算
6.计算等于 （ B ）
A.±2 B.2 C.4 D.
7.若＝2－x，则x的取值范围是 （ B ）
A.x＜2 B.x≤2
C.x≥2 D.全体实数
8.（2024·武威校级二模）若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简＋－的结果是 0 .
9.计算：
（1）；
解：原式＝0.2.
（2）；
解：原式＝.
（3）－；
解：原式＝－.
（4）.
解：原式＝.
知识点四 代数式
10.下列式子中属于代数式的有 （ B ）
①a；②0；③b＋c；④3x；⑤x＝5；⑥3x＞2；⑦；⑧a≠－1.
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
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11.下列计算正确的是 （ D ）
A.＝±3
B.＝x－3
C.＝－3
D.＝3－2
12.（2024·武威校级二模）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简＋的结果为 5 .
13.【教材P5习题T9（2）变式】已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 3 ，最大值为 75 .
14.（2024·金昌校级一模）已知－x＋5，当x分别取1，2，3，…，2 024时，所对应y值的总和是 2 036 .
15.计算：
（1）＋－；
解：原式＝＋0.3－
＝0.3.
（2）－＋.
解：原式＝2－－＋1
＝－.
16.求代数式a＋的值，其中a＝－2 024.如下是小亮和小芳的解答过程.
小亮：解：原式＝a＋＝a＋1－a＝1.
小芳：解：原式＝a＋＝a＋a－1＝－4 049.
（1） 小芳 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 ＝｜a｜ ；
（3）求代数式a＋的值，其中a＝－2 025.
解：（3）∵a＝－2 025，
∴a－3＝－2 025－3＝－2 028＜0.
则原式＝a＋
＝a＋｜a－3｜
＝a＋（3－a）
＝3.
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17.【阅读理解】阅读下列解题过程：
例：若代数式＋＝2，
求a的取值范围.
解：原式＝｜2－a｜＋｜a－4｜，
当a＜2时，原式＝（2－a）＋（4－a）＝6－2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a－2）＋（4－a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a－2）＋（a－4）＝2a－6＝2，解得a＝4；
所以a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简：＋
；
（2）若＋＝6，求a的取值；
（3）请直接写出满足＋＝5的a的取值范围： 1≤a≤6 .
解：（1）∵3≤a≤7，
∴3－a≤0，a－7≤0.
∴＋＝｜3－a｜＋｜a－7｜＝（a－3）＋（7－a）＝a－3＋7－a＝4.
（2）原式＝｜a＋1｜＋｜a－3｜.
当a＜－1时，原式＝－（a＋1）＋（3－a）＝－2a＋2＝6，解得a＝－2；
当－1≤a≤3时，原式＝（a＋1）＋（3－a）＝4，等式不成立；
当a＞3时，原式＝（a＋1）＋（a－3）＝2a－2＝6，解得a＝4.
∴a的值为－2或4.16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
1.一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
2.二次根式有意义的条件是 .
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知识点一 二次根式的概念
1.若式子是二次根式，则a的值不可以是 （ ）
A.0 B.－2 C.2 D.4
2.（2024·金昌校级三模）下列各式中，一定是二次根式的是 （ ）
A. B.
C. D.
3.下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数.
，，，（x≥3），（x≠－3），，，（x＜0）.
知识点二 二次根式有意义的条件
4.（2024·武威校级三模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （ ）
A.x≥0 B.x≥－1
C.x≤0 D.x≤－1
5.（2024·金昌县级三模）若有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是 （ ）
6.【新考法·开放性试题】（2024·兰州一诊）若x为正整数，要使有意义，则 .（写出1个即可）
7.【教材P3练习T2变式】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
知识点三 二次根式的实际应用
8.已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为 （ ）
A.1 dm B. dm
C. dm D.3 dm
9.（2024·武威期末）若一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为 cm，宽为 cm.
@中档提分训练
10.（2024·陇南模拟）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 （ ）
A.x＞－3 B.x＞3
C.x＜－3 D.x＜3
11.使式子＋在实数范围内有意义的整数x有 （ ）
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
12.【跨学科融合】【教材P5习题T8变式】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt.已知导线的电阻为2 Ω，1 s时间导线产生50 J的热量，电流I的值是 （ ）
A.2 A B.5 A
C.8 A D.10 A
13.使＝在实数范围内成立的x的取值范围是 .
14.（2024·武威校级三模）若y＝＋＋4，则x－y＝ .
15.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）＋.
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16.【分类讨论思想】已知a，b为某个等腰三角形的两条边长，且满足等式2＋3＝b－4.求该等腰三角形的周长.
第2课时 二次根式的性质
1.（a≥0）表示a的 ，也就是说，（a≥0）是一个非负数，即 0（a≥0）.
2.一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
＝｜a｜＝
3.用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做 .
@基础分点训练
知识点一 ≥0（a≥0）
1.（2024·天水期中）若＋｜y－2｜＝0，则xy＝ .
2.当x＝ 时，式子2 025－有最大值，且最大值为 .
知识点二 （）2＝a（a≥0）的计算
3.计算（）2的结果是 （ ）
A.225 B.15 C.±15 D.－15
4.计算：（1）（）2＝ ；
（2）（－2）2＝ ；
（3）＝ ；（4）＝ .
5.把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
（1）6＝ ；
（2）3.4＝ ；
（3）＝ ；
（4）x＝ （x≥0）.
知识点三 ＝a（a≥0）的计算
6.计算等于 （ ）
A.±2 B.2 C.4 D.
7.若＝2－x，则x的取值范围是 （ ）
A.x＜2 B.x≤2
C.x≥2 D.全体实数
8.（2024·武威校级二模）若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简＋－的结果是 .
9.计算：
（1）；
（2）；
（3）－；
（4）.
知识点四 代数式
10.下列式子中属于代数式的有 （ ）
①a；②0；③b＋c；④3x；⑤x＝5；⑥3x＞2；⑦；⑧a≠－1.
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
@中档提分训练
11.下列计算正确的是 （ ）
A.＝±3
B.＝x－3
C.＝－3
D.＝3－2
12.（2024·武威校级二模）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简＋的结果为 .
13.【教材P5习题T9（2）变式】已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
14.（2024·金昌校级一模）已知－x＋5，当x分别取1，2，3，…，2 024时，所对应y值的总和是 .
15.计算：
（1）＋－；
（2）－＋.
16.求代数式a＋的值，其中a＝－2 024.如下是小亮和小芳的解答过程.
小亮：解：原式＝a＋＝a＋1－a＝1.
小芳：解：原式＝a＋＝a＋a－1＝－4 049.
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 ；
（3）求代数式a＋的值，其中a＝－2 025.
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17.【阅读理解】阅读下列解题过程：
例：若代数式＋＝2，
求a的取值范围.
解：原式＝｜2－a｜＋｜a－4｜，
当a＜2时，原式＝（2－a）＋（4－a）＝6－2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a－2）＋（4－a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a－2）＋（a－4）＝2a－6＝2，解得a＝4；
所以a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简：＋
；
（2）若＋＝6，求a的取值；
（3）请直接写出满足＋＝5的a的取值范围： .
