16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，可将被开方数相乘后再开方.
·＝ （a≥0，b≥0）.
2.积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
＝ （a≥0，b≥0）.
@基础分点训练
知识点一 二次根式的乘法
1.计算：（1）×＝ ＝ ＝4；
（2）×＝ ＝ ＝ .
2.下列各式中，与的乘积为有理数的是 （ ）
A. B. C.2 D.
3.计算：
（1）×； （2）×.
知识点二 积的算术平方根
4.将化简后的结果是 （ ）
A.2 B. C.2 D.4
5.化简二次根式的结果是 （ ）
A.－2 B.2 C.±2 D.
6.使等式＝·成立的条件是 .
7.化简：
（1）；
（2）；
（3）（x≥0，y≥0，z≥0）.
知识点三 二次根式乘法的综合计算
8.【教材P7练习T3变式】如果一个三角形的一边长是2，这条边上的高是，那么这个三角形的面积是 （ ）
A.5 B.10 C.5 D.10
9.计算：
（1）×；
（2）6×3；
（3）5·.
@中档提分训练
10.对于任意实数a，下列各式中一定成立的是 （ ）
A.＝·
B.＝a＋6
C.＝－4
D.＝5a2
11.将－2根号外面的数移到根号里面，其结果为 .
12.若点（x，y）在第四象限，则化简的结果是 .
13.计算：
（1）－×；
（2）××；
（3）5·2.
14.【跨学科融合】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝0.6，该路段限速60 km/h，则该汽车超速了吗？请说明理由.（参考数据：≈1.4，≈1.7）
@拓展素养训练
15.【阅读理解】观察下列各式及其验证过程：
2＝，
验证：2＝＝＝＝；
3＝，
验证：3＝＝＝＝.
（1）按照上述两个等式验证过程的基本思路，请你猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，将这个规律用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示出来，并验证.
第2课时 二次根式的除法
1.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根.
＝ （a≥0，b＞0）.
2.商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
＝ （a≥0，b＞0）.
3.最简二次根式必须满足的两个条件：
（1）被开方数不含 ；
（2）被开方数中不含 的因数或因式.
@基础分点训练
知识点一 二次根式的除法法则
1.计算÷的结果正确的是 （ ）
A. B. C. D.5
2.下列各式中，计算正确的是 （ ）
A.＝9 B.＝
C.÷＝4 D.÷＝3
3.【教材P10练习T1变式】计算：
（1）÷；
（2）÷；
（3）÷.
知识点二 商的算术平方根的性质
4.下列各式中，正确的是 （ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
5.计算：＝ .
6.化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（b＞0）.
知识点三 最简二次根式
7.（2024·兰州期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
A. B. C. D.
8.把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
@中档提分训练
9.若＝成立，则x的取值范围为 （ ）
A.x≥0 B.x≥0或x＜1
C.x＜1 D.0≤x＜1
10.计算÷3×的结果正确的是 （ ）
A.1 B. C.5 D.9
11.【教材P11习题T9变式】已知≈1.732，则2≈ ，≈ .（结果保留小数点后三位）
12.若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是 .（写出一个符合条件的即可）
13.计算：
（1）×；
（2）÷÷；
（3）÷×.
14.一个长方形的长为3，面积为30，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形.求该正方形的面积.
@拓展素养训练
15.已知＝，且x为奇数.
求（x－6）·的值.16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，可将被开方数相乘后再开方.
·＝ （a≥0，b≥0）.
2.积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
＝ · （a≥0，b≥0）.
@基础分点训练
知识点一 二次根式的乘法
1.计算：（1）×＝＝ ＝4；
（2）×＝＝ ＝ 5 .
2.下列各式中，与的乘积为有理数的是 （ C ）
A. B. C.2 D.
3.计算：
（1）×； （2）×.
解：原式＝. 解：原式＝.
知识点二 积的算术平方根
4.将化简后的结果是 （ C ）
A.2 B. C.2 D.4
5.化简二次根式的结果是 （ B ）
A.－2 B.2 C.±2 D.
6.使等式＝·成立的条件是 x≥1 .
7.化简：
（1）；
解：原式＝×＝9×2＝18.
（2）；
解：原式＝×
＝5×3＝15.
（3）（x≥0，y≥0，z≥0）.
解：原式＝···
＝2·y··
＝2y·
＝2yz.
知识点三 二次根式乘法的综合计算
8.【教材P7练习T3变式】如果一个三角形的一边长是2，这条边上的高是，那么这个三角形的面积是 （ A ）
A.5 B.10 C.5 D.10
9.计算：
（1）×；
解：原式＝＝＝4.
（2）6×3；
解：原式＝6×3
＝18
＝18×5
＝90.
（3）5·.
解：原式＝5
＝5
＝10x.
@中档提分训练
10.对于任意实数a，下列各式中一定成立的是 （ D ）
A.＝·
B.＝a＋6
C.＝－4
D.＝5a2
11.将－2根号外面的数移到根号里面，其结果为 － .
12.若点（x，y）在第四象限，则化简的结果是 －xy .
13.计算：
（1）－×；
解：原式＝－×
＝－××
＝－×4×6
＝－24.
（2）××；
解：原式＝
＝
＝4.
（3）5·2.
解：原式＝10
＝10x.
14.【跨学科融合】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝0.6，该路段限速60 km/h，则该汽车超速了吗？请说明理由.（参考数据：≈1.4，≈1.7）
解：该汽车没有超速.理由如下：
根据题意，得v＝16＝16×2＝32≈32×1.7＝54.4（km/h）.
∵54.4＜60，
∴该汽车没有超速.
@拓展素养训练
15.【阅读理解】观察下列各式及其验证过程：
2＝，
验证：2＝＝＝＝；
3＝，
验证：3＝＝＝＝.
（1）按照上述两个等式验证过程的基本思路，请你猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，将这个规律用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示出来，并验证.
解：（1）4＝.
验证： 4＝＝＝＝ .
（2）n＝.（n为自然数，且n≥2）
验证：n＝＝＝
＝.
第2课时 二次根式的除法
1.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根.
＝ （a≥0，b＞0）.
2.商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
＝ （a≥0，b＞0）.
3.最简二次根式必须满足的两个条件：
（1）被开方数不含 分母 ；
（2）被开方数中不含 能开得尽方 的因数或因式.
@基础分点训练
知识点一 二次根式的除法法则
1.计算÷的结果正确的是 （ C ）
A. B. C. D.5
2.下列各式中，计算正确的是 （ B ）
A.＝9 B.＝
C.÷＝4 D.÷＝3
3.【教材P10练习T1变式】计算：
（1）÷；
解：原式＝＝＝＝2.
（2）÷；
解：原式＝＝＝＝.
（3）÷.
解：原式＝÷＝＝＝.
知识点二 商的算术平方根的性质
4.下列各式中，正确的是 （ D ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
5.计算：＝ .
6.化简：
（1）；
解：原式＝＝.
（2）；
解：原式＝＝＝.
（3）；
解：原式＝＝.
（4）（b＞0）.
解：原式＝＝.
知识点三 最简二次根式
7.（2024·兰州期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ D ）
A. B. C. D.
8.把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
解：原式＝＝×＝3.
（2）；
解：原式＝＝.
（3）；
解：原式＝＝＝＝.
（4）.
解：原式＝＝＝.
@中档提分训练
9.若＝成立，则x的取值范围为 （ D ）
A.x≥0 B.x≥0或x＜1
C.x＜1 D.0≤x＜1
10.计算÷3×的结果正确的是 （ A ）
A.1 B. C.5 D.9
11.【教材P11习题T9变式】已知≈1.732，则2≈ 1.155 ，≈ 5.196 .（结果保留小数点后三位）
12.若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是 （答案不唯一） .（写出一个符合条件的即可）
13.计算：
（1）×；
解：原式＝＝＝.
（2）÷÷；
解：原式＝＝＝.
（3）÷×.
解：原式＝＝＝
＝.
14.一个长方形的长为3，面积为30，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形.求该正方形的面积.
解：∵长方形的长为3，面积为30，
∴长方形的宽＝30÷3＝2.
∴在这个长方形中分割出的面积最大的正方形的边长为2.
∴该正方形的面积＝（2）2＝60.
即该正方形的面积是60.
@拓展素养训练
15.已知＝，且x为奇数.
求（x－6）·的值.
解：∵＝，
∴x－6≥0，9－x＞0，解得6≤x＜9.
∵x为奇数，∴x＝7.
∴原式＝（x－6）·
＝（x－6）·
＝（7－6）·
＝2.
