16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 相同的二次根式进行合并.
@基础分点训练
知识点一 可以合并的二次根式
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （ ）
A. B. C. D.
2.下列各组二次根式中，可以进行合并的一组是 （ ）
A.与 B.与
C.与 D.－与
3.若最简二次根式和能合并，则x的值可能为 （ ）
A.－ B. C.2 D.5
知识点二 二次根式的加减
4.计算：－＝ （ ）
A. B.2 C.3 D.4
5.下列运算正确的是 （ ）
A.＋＝ B.2＋＝2
C.3－＝3 D.3－＝2
6.计算：－＝ .
7.计算：
（1）－2；
（2）＋－；
（3）（2024·武威区级三模）－＋；
（4）＋－；
（5）｜－｜－＋（2＋3）.
@中档提分训练
8.下列各式中，运算正确的是 （ ）
A.－＝2 B.－＝
C.2＋＝2 D.－＝3
9.若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是 （ ）
A.3－3 B.
C.1 D.3
10.（2024·武威期末）计算－的结果是 .
11.【分类讨论思想】若等腰三角形的两边长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为 .
12.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为－，设点B所表示的数为m，则｜m－1｜＋（m＋）2＝ .
13.计算：
（1）－＋2＋｜－2｜；
（2）－3＋10－；
（3）－；
（4）－.
14.先化简，再求值：－6＋2x，其中x＝4.
15.已知≈1.732，求－＋2的近似值.（结果保留小数点后两位）
@拓展素养训练
16.【核心素养·运算能力】已知a＋b＝－8，ab＝12.求＋的值.
第2课时 二次根式的混合运算
@基础分点训练
知识点一 二次根式的混合运算
1.化简（＋2）的结果是 （ ）
A.2＋2 B.2＋
C.4 D.3
2.计算×－的结果是 （ ）
A.7 B.6 C.7 D.2
3.（2024·天水一模改编）计算：（ －3）÷＝ .
4.【教材P14练习T1变式】计算：
（1）（2024·兰州）－×；
（2）（2024·甘肃模拟）－÷；
（3）（＋2）（＋3）.
知识点二 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
5.计算（＋）（－）的结果为 .
6.（2024·武威期中）已知a＝＋2，b＝－2，则a＋b＝ ，ab＝ .
7.若a－b＝2－1，ab＝，则（a＋1）（b－1）的值是 .
8.计算：（2－）2＝ .
9.已知一个长方形的长为（2＋3） cm，宽为（2－3） cm，则该长方形的面积为 cm2.
10.【教材P15习题T6变式】已知x＝＋1，y＝－1.求下列各式的值：
（1）x2－2xy＋y2；
（2）x2－y2.
@中档提分训练
11.已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为 （ ）
A.10 B. C.±10 D.4
12.按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出结果是 （ ）
A.14 B.16
C.8＋5 D.14＋
13.计算：（－3）2 025·（＋3）2 024＝ .
14.计算：
（1）（2024·甘肃）－×；
（2）（2＋7）（7－2）；
（3）（2024·陇南模拟）÷＋＋；
（4）（a＋b）2－（a－b）2.
@拓展素养训练
15.【阅读理解】（2024·兰州期末）先阅读，后解答：
＝＝，
＝＝＝3＋.
像上述解题过程中，与相乘、（－）与（＋）相乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.
（1）的有理化因式是 ，＋4的有理化因式是 ；
（2）计算：＋＋＋…＋.16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，再将 被开方数 相同的二次根式进行合并.
@基础分点训练
知识点一 可以合并的二次根式
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （ C ）
A. B. C. D.
2.下列各组二次根式中，可以进行合并的一组是 （ D ）
A.与 B.与
C.与 D.－与
3.若最简二次根式和能合并，则x的值可能为 （ C ）
A.－ B. C.2 D.5
知识点二 二次根式的加减
4.计算：－＝ （ A ）
A. B.2 C.3 D.4
5.下列运算正确的是 （ D ）
A.＋＝ B.2＋＝2
C.3－＝3 D.3－＝2
6.计算：－＝ 1 .
7.计算：
（1）－2；
解：原式＝－.
（2）＋－；
解：原式＝＋4－3
＝.
（3）（2024·武威区级三模）－＋；
解：原式＝2－3＋5
＝4.
（4）＋－；
解：原式＝2＋－
＝.
（5）｜－｜－＋（2＋3）.
解：原式＝－2＋2＋3
＝4.
@中档提分训练
8.下列各式中，运算正确的是 （ A ）
A.－＝2 B.－＝
C.2＋＝2 D.－＝3
9.若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是 （ C ）
A.3－3 B.
C.1 D.3
10.（2024·武威期末）计算－的结果是 .
11.【分类讨论思想】若等腰三角形的两边长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为 6＋2或4＋3 .
12.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为－，设点B所表示的数为m，则｜m－1｜＋（m＋）2＝ ＋3 .
13.计算：
（1）－＋2＋｜－2｜；
解：原式＝－5＋2＋（2－）
＝－3＋.
（2）－3＋10－；
解：原式＝4－3×＋10×－×4
＝4－＋2－2
＝6－3.
（3）－；
解：原式＝
＝2＋－＋
＝3＋.
（4）－.
解：原式＝－
＝－2－－4
＝－6.
14.先化简，再求值：－6＋2x，其中x＝4.
解：原式＝5－＋2
＝6.
当x＝4时，原式＝6×＝12.
15.已知≈1.732，求－＋2的近似值.（结果保留小数点后两位）
解：原式＝－3＋4
＝
≈×1.732
≈2.31.
@拓展素养训练
16.【核心素养·运算能力】已知a＋b＝－8，ab＝12.求＋的值.
解：∵a＋b＝－8＜0，ab＝12＞0，
∴a＜0，b＜0.
∴原式＝－－
＝－
＝－
＝－
＝
＝.
第2课时 二次根式的混合运算
@基础分点训练
知识点一 二次根式的混合运算
1.化简（＋2）的结果是 （ A ）
A.2＋2 B.2＋
C.4 D.3
2.计算×－的结果是 （ B ）
A.7 B.6 C.7 D.2
3.（2024·天水一模改编）计算：（ －3）÷＝ 3 .
4.【教材P14练习T1变式】计算：
（1）（2024·兰州）－×；
解：原式＝3－2
＝.
（2）（2024·甘肃模拟）－÷；
解：原式＝3－2÷2
＝3－
＝2.
（3）（＋2）（＋3）.
解：原式＝3＋3＋2＋6
＝5＋9.
知识点二 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
5.计算（＋）（－）的结果为 1 .
6.（2024·武威期中）已知a＝＋2，b＝－2，则a＋b＝ 2 ，ab＝ 1 .
7.若a－b＝2－1，ab＝，则（a＋1）（b－1）的值是 － .
8.计算：（2－）2＝ 14－4 .
9.已知一个长方形的长为（2＋3） cm，宽为（2－3） cm，则该长方形的面积为 2 cm2.
10.【教材P15习题T6变式】已知x＝＋1，y＝－1.求下列各式的值：
（1）x2－2xy＋y2；
解：x2－2xy＋y2＝（x－y）2.
∵x＝＋1，y＝－1，
∴x－y＝（＋1）－（－1）＝2.
原式＝22＝4.
（2）x2－y2.
解：x2－y2＝（x＋y）（x－y）.
∵x＝＋1，y＝－1，
∴x＋y＝（＋1）＋（－1）＝2，
x－y＝（＋1）－（－1）＝2.
原式＝2×2＝4.
@中档提分训练
11.已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为 （ B ）
A.10 B. C.±10 D.4
12.按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出结果是 （ C ）
A.14 B.16
C.8＋5 D.14＋
13.计算：（－3）2 025·（＋3）2 024＝ －3 .
14.计算：
（1）（2024·甘肃）－×；
解：原式＝3－3
＝0.
（2）（2＋7）（7－2）；
解：原式＝（7）2－（2）2
＝98－24
＝74.
（3）（2024·陇南模拟）÷＋＋；
解：原式＝＋1－2＋2＋2
＝4＋1－2＋2＋2
＝7.
（4）（a＋b）2－（a－b）2.
解：解法一：用完全平方公式计算
原式＝（a2b＋2ab＋b2a）－（a2b－2ab＋b2a）
＝4ab.
解法二：用平方差公式计算
原式＝[（a＋b）＋（a－b）][（a＋b）－（a－b）]
＝2a·2b
＝4ab.
@拓展素养训练
15.【阅读理解】（2024·兰州期末）先阅读，后解答：
＝＝，
＝＝＝3＋.
像上述解题过程中，与相乘、（－）与（＋）相乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.
（1）的有理化因式是 ，＋4的有理化因式是 －4 ；
（2）计算：＋＋＋…＋.
解：（2）原式＝＋＋
＋…＋
＝－1＋－＋－＋…＋－
＝－1
＝2－1.
