17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理的认识
勾股定理：如图，如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
@基础分点训练
知识点一 勾股定理的认识与证明
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应边的边长分别是a，b，c，∠C＝90°，则下列说法中，正确的是 （ ）
A.a＋b＝c B.a2＋c2＝b2
C.c2＋b2＝a2 D.a2＋b2＝c2
2.如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：
∵S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ，
∴S1＋S2＝S3，
即 2＋ 2＝ 2.
知识点二 利用勾股定理进行计算
3.（2024·武威校级三模）在Rt△ABC中，一条直角边长为1，斜边长为2，则另一直角边长为 （ ）
A.1 B.2 C. D.
4.在直角三角形中，若勾为6，弦为10，则股为 .
5.（2024·陇南期末）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，则字母B代表的正方形的边长是 .
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝7，b＝24，则c＝ ；
（2）若a＝4，c＝7，则b＝ ；
（3）若c＝，b＝2，则a＝ .
7.如图，在锐角三角形ABC中，AB＝BC＝5，AE为BC边上的高，AE＝3.求CE的长.
@中档提分训练
8.【核心素养·几何直观】（2024·武威期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d.若a＝2，b＋c＝12，则d为 （ ）
A.8 B.10
C.12 D.14
9.【分类讨论思想】在Rt△ABC中，已知两边长为5，12，则第三边的长为 .
10.一个零件的形状如图所示，已知∠A＝∠CBD＝90°，AC＝6 cm，AB＝8 cm，BD＝20 cm，则CD＝ cm.
11.（2024·天水校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC.
（1）求∠A的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长.
@拓展素养训练
12.【注重学习过程】问题情境：已知Rt△ABC的周长为30，斜边长c＝13，求△ABC的面积.
解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a＋b＋c＝ .
∵c＝13，∴a＋b＝ .
∴（a＋b）2＝ .
∴a2＋ ＝289.
∵a2＋b2＝c2，∴c2＋2ab＝289.
∴ ＋2ab＝289.
∴ab＝ .（第1步）
∴△ABC的面积＝ab＝× ＝ .（第2步）
合作探究：（1）补全上面的填空；
（2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是 ；（填序号）
①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想.
方法迁移：（3）已知一直角三角形的面积为24，斜边长为10，求这个直角三角形的周长.
第2课时 勾股定理的应用
@基础分点训练
知识点一 勾股定理的应用
1.如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了 （ ）
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.6 cm
2.【教材P28习题T2变式】如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面6 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝8 m，则树高为 （ ）
A.8 m B.10 m
C.16 m D.18 m
3.（2024·张掖期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙面，一架梯子斜靠在左墙面时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端的位置不动，将梯子斜靠在右墙面时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为 （ ）
A.0.7 m B.1.5 m
C.2.2 m D.2.4 m
4.如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两棵树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行 m.
5.【核心素养·应用意识】（2024·兰州期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，AD为多少米？
知识点二 利用勾股定理求两点间的距离
6.【教材P26练习T2变式】如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），B（1，0），C（0，1），则B，C两点之间的距离是 ，A，C两点之间的距离是 ，A，B两点之间的距离是 .
@中档提分训练
7.【数学文化】（2024·酒泉期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”题意是有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图），则水深为 尺.
8.【真实问题情境】（2024·金昌校级三模）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
@拓展素养训练
9.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处，以200 km/h的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500 km的范围内是受台风影响的区域.
（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？
第3课时 利用勾股定理作图与计算
与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较容易找到它的对应点.若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难.我们可借助 作出长为（n为大于1的整数）的线段.
@基础分点训练
知识点一 在数轴上表示无理数
1.（2024·武威期末）如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为2，AB⊥BC，垂足为B，且BC＝3，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为 .
2.在数轴上作出表示的点.
知识点二 勾股定理与网格作图
3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为 （ ）
A.
B.
C.
D.
4.如图，网格中小正方形的边长为1，则△ABC的周长为 （ ）
A.16
B.12＋4
C.7＋7
D.5＋11
5.（2024·定西校级三模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 .
知识点三 等腰三角形中的勾股定理
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，若AB＝AC＝4，则AD的长是 （ ）
A.4 B.2
C.2 D.4
7.如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 （ ）
A.（1，1） B.（1，）
C.（，1） D.（，）
@中档提分训练
8.如图，数轴上点A表示的数为－1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B'，则点B'所表示的数为 （ ）
A.－1 B.－＋1
C.＋1 D.
9.如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，OA0＝A0A1＝A1A2＝…＝1，则第n个直角三角形的面积为 .
10.为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1.通过计算可得＋1 .（填“＞”“＜”或“＝”）
11.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是5.
@拓展素养训练
12.【教材P29习题T14变式】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.
（1）直接写出线段AE和BD之间的关系；
（2）猜想线段AE，AD，AC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AE＝，AD＝，则AC的长为 .17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理的认识
勾股定理：如图，如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
@基础分点训练
知识点一 勾股定理的认识与证明
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应边的边长分别是a，b，c，∠C＝90°，则下列说法中，正确的是 （ D ）
A.a＋b＝c B.a2＋c2＝b2
C.c2＋b2＝a2 D.a2＋b2＝c2
2.如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：
∵S1＝ 4 ，S2＝ 9 ，S3＝ 13 ，
∴S1＋S2＝S3，
即 AC 2＋ BC 2＝ AB 2.
知识点二 利用勾股定理进行计算
3.（2024·武威校级三模）在Rt△ABC中，一条直角边长为1，斜边长为2，则另一直角边长为 （ C ）
A.1 B.2 C. D.
4.在直角三角形中，若勾为6，弦为10，则股为 8 .
5.（2024·陇南期末）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，则字母B代表的正方形的边长是 12 cm .
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝7，b＝24，则c＝ 25 ；
（2）若a＝4，c＝7，则b＝ ；
（3）若c＝，b＝2，则a＝ .
7.如图，在锐角三角形ABC中，AB＝BC＝5，AE为BC边上的高，AE＝3.求CE的长.
解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
∴△AEB为直角三角形.
在Rt△AEB中，AB＝5，AE＝3，
根据勾股定理，得
BE＝＝＝4.
∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.
@中档提分训练
8.【核心素养·几何直观】（2024·武威期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d.若a＝2，b＋c＝12，则d为 （ B ）
A.8 B.10
C.12 D.14
9.【分类讨论思想】在Rt△ABC中，已知两边长为5，12，则第三边的长为 13或 .
10.一个零件的形状如图所示，已知∠A＝∠CBD＝90°，AC＝6 cm，AB＝8 cm，BD＝20 cm，则CD＝ 10 cm.
11.（2024·天水校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC.
（1）求∠A的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长.
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB.
∴∠EBA＝∠A.
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA＝∠CBE，且∠C＝90°.
∵∠CBE＋∠EBA＋∠A＋90°＝180°，
∴3∠A＋90°＝180°.∴∠A＝30°.
（2）∵∠CBE＝∠EBA＝∠A＝30°，∠C＝90°，CE＝1，
∴BE＝2CE＝2×1＝2.
∴BC＝＝＝.
∴AB＝2BC＝2×＝2.
@拓展素养训练
12.【注重学习过程】问题情境：已知Rt△ABC的周长为30，斜边长c＝13，求△ABC的面积.
解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a＋b＋c＝ 30 .
∵c＝13，∴a＋b＝ 17 .
∴（a＋b）2＝ 289 .
∴a2＋ b2＋2ab ＝289.
∵a2＋b2＝c2，∴c2＋2ab＝289.
∴ 132 ＋2ab＝289.
∴ab＝ 60 .（第1步）
∴△ABC的面积＝ab＝× 60 ＝ 30 .（第2步）
合作探究：（1）补全上面的填空；
（2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是 ① ；（填序号）
①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想.
方法迁移：（3）已知一直角三角形的面积为24，斜边长为10，求这个直角三角形的周长.
解：（3）设这个直角三角形的两直角边长分别是a，b（a，b均为正数），则
②×4，得2ab＝96.
∵（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝100＋96＝196，
∴a＋b＝14.∴两条直角边的和为14.
∴这个直角三角形的周长＝14＋10＝24.
第2课时 勾股定理的应用
@基础分点训练
知识点一 勾股定理的应用
1.如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了 （ A ）
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.6 cm
2.【教材P28习题T2变式】如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面6 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝8 m，则树高为 （ C ）
A.8 m B.10 m
C.16 m D.18 m
3.（2024·张掖期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙面，一架梯子斜靠在左墙面时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端的位置不动，将梯子斜靠在右墙面时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为 （ C ）
A.0.7 m B.1.5 m
C.2.2 m D.2.4 m
4.如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两棵树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行 10 m.
5.【核心素养·应用意识】（2024·兰州期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，AD为多少米？
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB－BE＝2.5－1.6＝0.9（米）.
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得
AD＝＝＝1.5.
答：AD为1.5米.
知识点二 利用勾股定理求两点间的距离
6.【教材P26练习T2变式】如图，在平面直角坐标系中，A（4，4），B（1，0），C（0，1），则B，C两点之间的距离是 ，A，C两点之间的距离是 5 ，A，B两点之间的距离是 5 .
@中档提分训练
7.【数学文化】（2024·酒泉期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”题意是有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图），则水深为 12 尺.
8.【真实问题情境】（2024·金昌校级三模）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝＝＝12（米）.
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝13－0.5×10＝8（米）.
∴AD＝＝＝（米）.
∴BD＝AB－AD＝（12－）米.
答：船向岸边移动了（12－）米.
@拓展素养训练
9.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处，以200 km/h的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500 km的范围内是受台风影响的区域.
（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？
解：（1）A城会受到这次台风的影响.理由如下：
如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M.
在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600 km，
∴AM＝AB＝×600＝300（km）.
∵300＜500，∴A城会受到这次台风的影响.
（2）如图，在BC上分别取两点D，G，连接DA，GA，使DA＝GA＝500 km.
∵DA＝GA，∴△ADG是等腰三角形.
∵AM⊥BC，
∴AM是DG的垂直平分线.∴MD＝MG.
在Rt△ADM中，DA＝500 km，AM＝300 km，
根据勾股定理，得
MD＝＝＝400（km）.
则DG＝2MD＝2×400＝800（km）.
∴A城遭受这次台风影响的时间＝800÷200＝4（h）.
答：A城遭受这次台风影响的时间为4 h.
第3课时 利用勾股定理作图与计算
实数 与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较容易找到它的对应点.若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难.我们可借助 勾股定理 作出长为（n为大于1的整数）的线段.
@基础分点训练
知识点一 在数轴上表示无理数
1.（2024·武威期末）如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为2，AB⊥BC，垂足为B，且BC＝3，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为 .
2.在数轴上作出表示的点.
解：如图所示，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在直线l上取点B，使AB＝1，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点.
知识点二 勾股定理与网格作图
3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为 （ D ）
A.
B.
C.
D.
4.如图，网格中小正方形的边长为1，则△ABC的周长为 （ B ）
A.16
B.12＋4
C.7＋7
D.5＋11
5.（2024·定西校级三模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 .
知识点三 等腰三角形中的勾股定理
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，若AB＝AC＝4，则AD的长是 （ C ）
A.4 B.2
C.2 D.4
7.如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 （ B ）
A.（1，1） B.（1，）
C.（，1） D.（，）
@中档提分训练
8.如图，数轴上点A表示的数为－1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B'，则点B'所表示的数为 （ A ）
A.－1 B.－＋1
C.＋1 D.
9.如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，OA0＝A0A1＝A1A2＝…＝1，则第n个直角三角形的面积为 .
10.为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1.通过计算可得＋1 ＞ .（填“＞”“＜”或“＝”）
11.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求.
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
解：（2）如图2所示，Rt△DEF即为所求.
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是5.
解：（3）如图3所示，正方形PQRS即为所求.
（答案不唯一）
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12.【教材P29习题T14变式】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.
（1）直接写出线段AE和BD之间的关系；
（2）猜想线段AE，AD，AC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AE＝，AD＝，则AC的长为 .
解：（1）AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°.
∴∠ECA＝∠DCB.
∵CE＝CD，CA＝CB，∴△ECA≌△DCB.
∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB.
∴∠ADB＝∠CDB＋∠EDC＝∠CEA＋∠EDC＝90°.
∴AE⊥BD.
即AE＝BD，AE⊥BD.
（2）AE2＋AD2＝2AC2.证明如下：
∵△ADB是直角三角形，
∴AD2＋BD2＝AB2.
∵AE＝BD，AB2＝AC2＋BC2，AC＝BC，
∴AE2＋AD2＝2AC2.
