17.2 勾股定理的逆定理
1.我们把题设和结论正好 相反 的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 逆命题 .一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理 互为逆定理 .
2.如果三角形的三边长a，b，c满足 a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是 直角 三角形.
3.能够成为直角三角形三条边长的三个 正整数 ，称为勾股数.例如，在a2＋b2＝c2中，当a，b，c为 正整数 时，称a，b，c为一组勾股数.
@基础分点训练
知识点一 逆命题与逆定理
1.下列各命题的逆命题是不成立的是 （ C ）
A.两直线平行，同旁内角互补
B.等边三角形的三个内角都相等
C.两个全等直角三角形的对应角相等
D.直角三角形的两个锐角互余
2.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0 ，逆命题是 真命题 .（填“真命题”或“假命题”）
知识点二 勾股定理的逆定理
3.（2024·武威期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是 （ B ）
A.3，4，5 B.7，12，13
C.1，1， D.9，12，15
4.【教材P33练习T1变式】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则 （ A ）
A.∠A为直角 B.∠C为直角
C.∠B为直角 D.不是直角三角形
5.【核心素养·推理能力】（2024·武威期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＋｜a－b｜＝0，则△ABC的形状为 等腰直角三角形 .
6.（2024·武威开学）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB＋∠PBA＝ 45 °.
7.（2024·武威期末）若a，b，c满足（6－a）2＋＋＝0.
（1）求a，b，c的值；
（2）以a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由.
解：（1）∵（6－a）2＋＋＝0，
∴6－a＝0，b－8＝0，10－c＝0.
∴a＝6，b＝8，c＝10.
（2）以a，b，c为边长能构成直角三角形.理由如下：
∵a2＋b2＝62＋82＝100，c2＝102＝100，
∴a2＋b2＝c2.
即以a，b，c为边长能构成直角三角形.
知识点三 勾股数
8.【数学文化】（2024·兰州期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是 （ D ）
A.4，5，6 B.1.5，2，2.5
C.5，10，13 D.3，4，5
@中档提分训练
9.下列定理中，没有逆定理的是 （ B ）
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于90°
10.【核心素养·推理能力】（2024·武威期末）如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使△ABC为直角三角形，则点C的个数为 （ B ）
A.4 B.6
C.8 D.10
11.【教材P33例2变式】“扬帆”号、“远征”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“扬帆”号每小时航行16海里，“远征”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.若“扬帆”号沿东北方向航行，则“远征”号的航行方向是 （ D ）
A.西南方向
B.西北方向
C.东南方向
D.西北方向或东南方向
12.【数学文化】勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…，分析上面勾股数组可以发现4＝1×（3＋1），12＝2×（5＋1），24＝3×（7＋1），…，分析上面规律，第5个勾股数组为 （11，60，61） .
13.【核心素养·应用意识】（2024·武威期末）如图是一块形状为四边形的试验田，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝13，BC＝8，CD＝4，AD＝5，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积.
解：在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，
根据勾股定理，得
BD＝＝＝＝12.
在△ABD中，AD2＋BD2＝52＋122＝25＋144＝169，AB2＝132＝169，
∴AD2＋BD2＝AB2.
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝＋＝＋＝16＋30.
答：这块实验田的面积为16＋30.
@拓展素养训练
14.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为 （ B ）
A.4 B.
C.5 D.317.2 勾股定理的逆定理
1.我们把题设和结论正好 的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 .一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理 .
2.如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是 三角形.
3.能够成为直角三角形三条边长的三个 ，称为勾股数.例如，在a2＋b2＝c2中，当a，b，c为 时，称a，b，c为一组勾股数.
@基础分点训练
知识点一 逆命题与逆定理
1.下列各命题的逆命题是不成立的是 （ ）
A.两直线平行，同旁内角互补
B.等边三角形的三个内角都相等
C.两个全等直角三角形的对应角相等
D.直角三角形的两个锐角互余
2.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 ，逆命题是 .（填“真命题”或“假命题”）
知识点二 勾股定理的逆定理
3.（2024·武威期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是 （ ）
A.3，4，5 B.7，12，13
C.1，1， D.9，12，15
4.【教材P33练习T1变式】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则 （ ）
A.∠A为直角 B.∠C为直角
C.∠B为直角 D.不是直角三角形
5.【核心素养·推理能力】（2024·武威期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＋｜a－b｜＝0，则△ABC的形状为 .
6.（2024·武威开学）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB＋∠PBA＝ °.
7.（2024·武威期末）若a，b，c满足（6－a）2＋＋＝0.
（1）求a，b，c的值；
（2）以a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由.
知识点三 勾股数
8.【数学文化】（2024·兰州期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是 （ ）
A.4，5，6 B.1.5，2，2.5
C.5，10，13 D.3，4，5
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9.下列定理中，没有逆定理的是 （ ）
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于90°
10.【核心素养·推理能力】（2024·武威期末）如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使△ABC为直角三角形，则点C的个数为 （ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
11.【教材P33例2变式】“扬帆”号、“远征”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“扬帆”号每小时航行16海里，“远征”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.若“扬帆”号沿东北方向航行，则“远征”号的航行方向是 （ ）
A.西南方向
B.西北方向
C.东南方向
D.西北方向或东南方向
12.【数学文化】勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…，分析上面勾股数组可以发现4＝1×（3＋1），12＝2×（5＋1），24＝3×（7＋1），…，分析上面规律，第5个勾股数组为 .
13.【核心素养·应用意识】（2024·武威期末）如图是一块形状为四边形的试验田，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝13，BC＝8，CD＝4，AD＝5，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积.
@拓展素养训练
14.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为 （ ）
A.4 B.
C.5 D.3
