18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质
1.两组对边分别 的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ”.
2.平行四边形的对边 且 ，对角相等.
3.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ，叫做这两条平行线之间的距离.
@基础分点训练
知识点一 平行四边形的定义
1.如图，剪两张两边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 .
知识点二 平行四边形的边、角的性质
2.如图，在 ABCD中，已知AB＝4 cm，若 ABCD的周长为32 cm，则BC的长为 （ ）
A.4 cm B.12 cm
C.24 cm D.28 cm
3.（2024·天水校级三模）如图，在 ABCD中，∠A＋∠C＝80°，则∠D＝ （ ）
A.80° B.40°
C.70° D.140°
4.如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E；CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
知识点三 平行线间的距离
5.如图，已知直线l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是 （ ）
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE＝FG
C.线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D.AC＝BD
@中档提分训练
6.【核心素养·几何直观】（2024·陇南校级模拟）如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（－4，－4），（4，－4），则顶点D的坐标是 （ ）
A.（－4，1） B.（8，－2）
C.（4，1） D.（8，2）
7.如图，直线l1∥l2，l1和线段AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50 cm，则两平行线之间的距离是 cm.
8.【核心素养·推理能力】如图，已知平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E，连接AE.
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数.
@拓展素养训练
9.【核心素养·推理能力】如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F.
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数.
18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的对角线的性质
@基础分点训练
知识点一 平行四边形的对角线互相平分
1.（2024·武威校级三模）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定成立的是 （ ）
A.OA＝OB B.OA⊥OB
C.OA＝OC D.∠OBA＝∠OBC
2.（2024·酒泉三模）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 （ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
知识点二 平行四边形的面积
3.如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点.若△COD的面积是5，则 ABCD的面积是 （ ）
A.10 B.15
C.20 D.25
4.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝8，AF＝12，平行四边形ABCD的周长为50，则平行四边形ABCD的面积为 （ ）
A.80 B.96
C.100 D.120
知识点三 平行四边形性质的综合运用
5.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ ）
A.1＜AB＜7 B.2＜AB＜14
C.6＜AB＜8 D.3＜AB＜4
6.【核心素养·应用意识】如图，公园有一块绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，AB＝15 m，AD＝12 m，AC⊥BC.
（1）求小路BC，CD，OC的长；
（2）计算出绿地的面积；（含小路）
（3）求AB，CD之间的距离.
@中档提分训练
7.（2024·武威校级三模）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为 （ ）
A.28 B.26
C.24 D.20
8.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 .
9.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EO⊥AC.
（1）若△ABE的周长为10 cm，求 ABCD的周长；
（2）若∠DAB＝108°，AE平分∠BAC，试求∠ACB的度数.
18.1.1 平行四边形的性质 微专题 利用“同底等高”解决平行四边形中的面积问题
【模型展示】
【针对训练】
1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF，GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，则阴影区域的面积与 ABCD的面积的比值是 （ ）
A. B.
C. D.
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，则△ABP的面积等于 （ ）
A.24 cm2
B.30 cm2
C.6 cm2
D.12 cm2
3.如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为15 cm2，则四边形EDCF的面积为 cm2.18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质
1.两组对边分别 平行 的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD ”.
2.平行四边形的对边 平行 且 相等 ，对角相等.
3.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 ，叫做这两条平行线之间的距离.
@基础分点训练
知识点一 平行四边形的定义
1.如图，剪两张两边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 平行四边形 .
知识点二 平行四边形的边、角的性质
2.如图，在 ABCD中，已知AB＝4 cm，若 ABCD的周长为32 cm，则BC的长为 （ B ）
A.4 cm B.12 cm
C.24 cm D.28 cm
3.（2024·天水校级三模）如图，在 ABCD中，∠A＋∠C＝80°，则∠D＝ （ D ）
A.80° B.40°
C.70° D.140°
4.如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E；CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD.
∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）.
∴AE＝CF.
知识点三 平行线间的距离
5.如图，已知直线l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是 （ C ）
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE＝FG
C.线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D.AC＝BD
@中档提分训练
6.【核心素养·几何直观】（2024·陇南校级模拟）如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（－4，－4），（4，－4），则顶点D的坐标是 （ D ）
A.（－4，1） B.（8，－2）
C.（4，1） D.（8，2）
7.如图，直线l1∥l2，l1和线段AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50 cm，则两平行线之间的距离是 25 cm.
8.【核心素养·推理能力】如图，已知平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E，连接AE.
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠ADE＝∠CED.
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠CDE.
∴∠CED＝∠CDE.
∴CD＝CE.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠C.
∴∠B＋∠C＝180°.
∵∠C＝110°，
∴∠B＝180°－∠C＝180°－110°＝70°.
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE.
根据（1），得CD＝CE.
∴AB＝BE.
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°－70°）÷2＝55°.
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝∠C－∠BAE＝110°－55°＝55°.
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9.【核心素养·推理能力】如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F.
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠DCE＝∠F.
∵E为AD的中点，∴DE＝AE.
在△DEC和△AEF中，
∴△DEC≌△AEF（AAS）.
∴DC＝AF.
又∵AB＝DC，∴AB＝AF.
（2）解：根据（1），得△DEC≌△AEF.
∴EC＝EF.
∵AB∥DC，∠BCD＝100°，
∴∠FBC＝180°－∠BCD＝180°－100°＝80°.
根据（1），得AB＝AF.
∴BF＝2AB.
∵BC＝2AB，∴BF＝BC.
又∵EF＝EC，∴BE平分∠FBC.
∴∠ABE＝∠FBC＝×80°＝40°.
18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形的对角线的性质
@基础分点训练
知识点一 平行四边形的对角线互相平分
1.（2024·武威校级三模）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定成立的是 （ C ）
A.OA＝OB B.OA⊥OB
C.OA＝OC D.∠OBA＝∠OBC
2.（2024·酒泉三模）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 （ C ）
A.4 B.6
C.8 D.10
知识点二 平行四边形的面积
3.如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点.若△COD的面积是5，则 ABCD的面积是 （ C ）
A.10 B.15
C.20 D.25
4.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝8，AF＝12，平行四边形ABCD的周长为50，则平行四边形ABCD的面积为 （ D ）
A.80 B.96
C.100 D.120
知识点三 平行四边形性质的综合运用
5.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ A ）
A.1＜AB＜7 B.2＜AB＜14
C.6＜AB＜8 D.3＜AB＜4
6.【核心素养·应用意识】如图，公园有一块绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，AB＝15 m，AD＝12 m，AC⊥BC.
（1）求小路BC，CD，OC的长；
（2）计算出绿地的面积；（含小路）
（3）求AB，CD之间的距离.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝15 m，BC＝AD＝12 m，
OC＝OA＝AC.
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝＝9（m）.
∴OC＝AC＝×9＝4.5（m）.
答：小路BC，CD，OC的长分别为12 m，15 m，4.5 m.
（2）绿地的面积＝BC·AC＝12×9＝108（m2）.
答：绿地的面积为108 m2.
（3）设AB，CD之间的距离为x m.
根据（2），得绿地的面积为108 m2.
∴CD·x＝108.
根据（1），得CD＝15 m.
∴15x＝108.解得x＝7.2.
答：AB，CD之间的距离为7.2 m.
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7.（2024·武威校级三模）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为 （ C ）
A.28 B.26
C.24 D.20
8.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为 .
9.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EO⊥AC.
（1）若△ABE的周长为10 cm，求 ABCD的周长；
（2）若∠DAB＝108°，AE平分∠BAC，试求∠ACB的度数.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵EO⊥AC，∴AE＝CE.
∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝10 cm.
∴ ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2×10＝20（cm）.
（2）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.
∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠ACB＝∠CAD.
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CAD.
∵∠DAB＝∠BAE＋∠CAE＋∠CAD＝108°，
∴3∠CAD＝108°.∴∠CAD＝36°.
∴∠ACB＝∠CAD＝36°.
18.1.1 平行四边形的性质 微专题 利用“同底等高”解决平行四边形中的面积问题
【模型展示】
【针对训练】
1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF，GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，则阴影区域的面积与 ABCD的面积的比值是 （ C ）
A. B.
C. D.
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，则△ABP的面积等于 （ A ）
A.24 cm2
B.30 cm2
C.6 cm2
D.12 cm2
3.如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为15 cm2，则四边形EDCF的面积为 15 cm2.
