18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质
1.矩形的定义：有一个角是直角的 叫做矩形.
2.矩形的性质：矩形的对边 ；矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 .
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
@基础分点训练
知识点一 矩形的定义与性质
1.（2024·成都）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 （ ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD
2.（2024·甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为 （ ）
A.6 B.5
C.4 D.3
3.（2024·金昌县级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.对角线AC，BD相交于点O.点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为 （ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
知识点二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4.【核心素养·应用意识】（2024·白银期末）某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径.如图小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径相交处.若测得BC的长为0.8 km，AC的长为0.6 km，则C，M两点间的距离为 （ ）
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.8 km D.1 km
5.（2024·武威校级二模）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示.若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 km.
6.如图，已知Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点.求证：∠EBD＝∠EDB.
@中档提分训练
7.【核心素养·几何直观】（2024·平凉期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
8.（2024·武威期末）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为 .
9.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为 .
10.（2024·陕西）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF.求证：AF＝DE.
@拓展素养训练
11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠DOC＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积.
18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定
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知识点一 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.（2024·天水校级一模）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是 （ ）
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
2.【核心素养·推理能力】（2024·长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形.
知识点二 对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是 （ ）
A.AB＝CD B.AC＝BD
C.AC⊥BD D.AB⊥BD
4.（2024·兰州期末节选）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形.
知识点三 有三个角是直角的四边形是矩形
5.下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是 （ ）
A.AC＝BD
B.AC⊥BD
C.∠A＝∠C＝∠D＝90°
D.∠ABC＝90°
6.【核心素养·推理能力】（2024·兰州节选）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.求证：四边形ADCE是矩形.
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7.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是 （ ）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
D.OA＝OB＝OC＝OD
8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 .
9.如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 ；（填序号）
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
@拓展素养训练
10.如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
题图
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形，并说明理由.18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质
1.矩形的定义：有一个角是直角的 平行四边形 叫做矩形.
2.矩形的性质：矩形的对边 平行且相等 ；矩形的四个角都是 直角 ；矩形的对角线 互相平分且相等 .
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 .
@基础分点训练
知识点一 矩形的定义与性质
1.（2024·成都）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 （ C ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD
2.（2024·甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为 （ C ）
A.6 B.5
C.4 D.3
3.（2024·金昌县级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.对角线AC，BD相交于点O.点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为 （ D ）
A.6 B.7
C.8 D.9
知识点二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4.【核心素养·应用意识】（2024·白银期末）某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径.如图小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径相交处.若测得BC的长为0.8 km，AC的长为0.6 km，则C，M两点间的距离为 （ A ）
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.8 km D.1 km
5.（2024·武威校级二模）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示.若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 km.
6.如图，已知Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点.求证：∠EBD＝∠EDB.
证明：∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，
∴EB＝AC.
同理，得ED＝AC.
∴EB＝ED.
∴∠EBD＝∠EDB.
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7.【核心素养·几何直观】（2024·平凉期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 （ A ）
A.3 B.4
C.5 D.6
8.（2024·武威期末）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为 75° .
9.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为 2 .
10.（2024·陕西）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF.求证：AF＝DE.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.
∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）.∴AF＝DE.
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11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠DOC＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝DB.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形.
∴AC＝DE.
∵AC＝DB，∴DB＝DE.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝AC，OD＝BD，
AC＝BD.
∴OA＝OD.∴∠ODA＝∠OAD.
∵∠DOC是△AOD的一个外角，
∴∠DOC＝∠ODA＋∠OAD＝120°.
∴∠ODA＝60°.∴∠DBA＝90°－60°＝30°.
∵DB＝DE＝2，
∴AD＝DB＝×2＝1.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，
得AB＝＝＝.
∴＝AD·AB＝1×＝.
18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定
@基础分点训练
知识点一 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.（2024·天水校级一模）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是 （ C ）
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
2.【核心素养·推理能力】（2024·长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB.
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（ASA）.
∴DA＝CB.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴DA∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
知识点二 对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是 （ B ）
A.AB＝CD B.AC＝BD
C.AC⊥BD D.AB⊥BD
4.（2024·兰州期末节选）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形.
知识点三 有三个角是直角的四边形是矩形
5.下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是 （ C ）
A.AC＝BD
B.AC⊥BD
C.∠A＝∠C＝∠D＝90°
D.∠ABC＝90°
6.【核心素养·推理能力】（2024·兰州节选）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°.
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°.
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°.
∴四边形ADCE是矩形.
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7.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是 （ D ）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
D.OA＝OB＝OC＝OD
8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 3 .
9.如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 ①或② ；（填序号）
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
解：（2）选择①∠1＝∠2.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.∴∠A＋∠D＝180°.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌DCM（SAS）.∴∠A＝∠D.
又∵∠A＋∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.
选择②AM＝DM.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.∴∠A＋∠D＝180°.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SSS）.
∴∠A＝∠D＝90°.∴ ABCD为矩形.
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10.如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
题图
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形，并说明理由.
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵△ABC平移得到△DEF，
∴∠B＝∠DEC.∴∠ACB＝∠DEC.
∴OE＝OC.∴△OEC为等腰三角形.
（2）解：当点E为BC的中点时，四边形AECD是矩形.理由如下：
如解图，AB＝AC，E为BC的中点，
解图
∴AE⊥BC，BE＝EC.
∴∠AEC＝90°.
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD＝CF.
∴AD∥EC，AD＝EC.
∴四边形AECD是平行四边形.
又∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是矩形.
