18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定（一）
@基础分点训练
知识点一 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.如图，点P是 ABCD内的一点，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，与 ABCD的边分别交于G，F，H，E，则图中平行四边形的个数为 （ ）
A.4个 B.5个
C.8个 D.9个
2.如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形.
知识点二 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C的度数为 （ ）
A.60° B.70° C.80° D.90°
4.如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是 ，理由是 .
知识点三 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.下面给出了四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （ ）
A.3∶2∶2∶4 B.3∶1∶1∶1
C.1∶2∶3∶4 D.3∶1∶3∶1
6.在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝48°，则当∠B＝ 时，四边形ABCD是平行四边形.
知识点四 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.在四边形ABCD中，若AC＝10，BD＝8，AC与BD相交于点O，那么当AO＝ ，DO＝ 时，四边形ABCD是平行四边形.
8.【核心素养·推理能力】（2024·武威校级二模）如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE，CE.求证：四边形ABCE是平行四边形.
@中档提分训练
9.如图，点E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是 （ ）
A.∠ABD＝∠DCE
B.DF＝CF
C.∠AEB＝∠BCD
D.∠AEC＝∠CBD
10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为 .
11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE.
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积.
@拓展素养训练
12.【核心素养·推理能力】如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF，AF∥CE.
（1）试判断四边形AECF和四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC.
18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定（二）
@基础分点训练
知识点一 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的是 （ ）
2.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，当CD＝ 时，这个四边形是平行四边形.
3.如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.
知识点二 平行四边形判定方法的灵活选用
4.（2024·武威县级三模）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形 （ ）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝CD，AO＝CO
C.AB＝CD，AD＝BC
D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
5.【新考法·开放性试题】（2024·济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形.
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF.求证：四边形AODF是平行四边形.
@中档提分训练
7.如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有平行四边形 （ ）
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8.点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是 （ ）
A.32 B.24
C.16 D.8
9.【分类讨论思想】如图，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，2），（0，－1），那么以点A，B，C，D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是 .
10.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E，F，点G，H分别为OB，OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形.
@拓展素养训练
11.【分类讨论思想】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A出发向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止.点Q从点C出发向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，当P，Q两点同时出发，几秒时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 三角形的中位线
1.三角形的中位线的定义：连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线 于三角形的第三边，并且等于第三边的 .
@基础分点训练
知识点一 三角形的中位线
1.（2024·广安）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为 （ ）
A.45° B.50°
C.60° D.65°
2.如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD的长为 （ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝EB，OE＝3，AB＝5， ABCD的周长 （ ）
A.11 B.13
C.16 D.22
4.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，BE＝3，DF＝1，则BC的长度为 .
知识点二 三角形中位线定理的应用
5.【核心素养·应用意识】（2024·兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为 （ ）
A.18 m B.24 m
C.36 m D.54 m
6.【核心素养·应用意识】（2024·海南）如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm.
@中档提分训练
7.在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为 （ ）
A.9 B.12 C.14 D.16
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，E，F分别为AC，AD的中点，连接EF，若∠ACD＝120°，则线段EF的长度为 .
9.如图所示，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 .
10.【核心素养·推理能力】（2024·武威校级三模）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12 cm，DE＝4 cm，求四边形DEFB的周长.
18.1.2 平行四边形的判定 微专题 构造中位线巧解题
方法1 若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边构造中位线
1.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝2，则EF的长为 .
方法2 单中点，补形构造三角形中位线
2.如图，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 （ ）
A. B.
C. D.
方法3 四边形对边中点问题，往往取一条对角线的中点，与另两个中点相连，构造双中位线
3.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，且AD＝6，BC＝10，则线段EF的长可能为 （ ）
A.7
B.8.5
C.9
D.10
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长为 .
专题训练（四） 平行四边形的证明思路
类型一 利用边的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【针对训练】
1.如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：四边形EFGH是平行四边形.
2.如图，点B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形.
3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF.
求证：（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四边形.
类型二 利用角的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
4.如图，在 ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线分别交CD，AB边于点F，E.
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）四边形DEBF是平行四边形.
类型三 利用对角线的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点.求证：BE＝DF.
6.如图，在 ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形.18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定（一）
@基础分点训练
知识点一 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.如图，点P是 ABCD内的一点，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，与 ABCD的边分别交于G，F，H，E，则图中平行四边形的个数为 （ D ）
A.4个 B.5个
C.8个 D.9个
2.如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形.
证明：∵EF∥AC，∴∠EDC＋∠C＝180°.
∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠C＝180°.∴EB∥DC.
∵EF∥AC，即ED∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形.
知识点二 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C的度数为 （ A ）
A.60° B.70° C.80° D.90°
4.如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是 平行四边形 ，理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
知识点三 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.下面给出了四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （ D ）
A.3∶2∶2∶4 B.3∶1∶1∶1
C.1∶2∶3∶4 D.3∶1∶3∶1
6.在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝48°，则当∠B＝ 132° 时，四边形ABCD是平行四边形.
知识点四 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.在四边形ABCD中，若AC＝10，BD＝8，AC与BD相交于点O，那么当AO＝ 5 ，DO＝ 4 时，四边形ABCD是平行四边形.
8.【核心素养·推理能力】（2024·武威校级二模）如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE，CE.求证：四边形ABCE是平行四边形.
证明：∵BD是△ABC的AC边上的中线，
∴AD＝CD.
又∵DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形.
@中档提分训练
9.如图，点E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是 （ C ）
A.∠ABD＝∠DCE
B.DF＝CF
C.∠AEB＝∠BCD
D.∠AEC＝∠CBD
10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为 24 .
11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE.
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积.
（1）证明：∵AB∥CD，∠B＝45°，
∴∠C＝180°－∠B＝180°－45°＝135°.
∵AD⊥CD，DE＝DA，∴∠E＝45°.
∴∠C＋∠E＝135°＋45°＝180°.∴AE∥BC.
又∵AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形.
∴AE＝BC.
（2）解：根据（1），得四边形ABCE是平行四边形.
∴CE＝AB＝3.
∴DA＝DE＝CE－CD＝3－1＝2.
∴S ABCE＝CE·DA＝3×2＝6.
@拓展素养训练
12.【核心素养·推理能力】如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BE＝DF，AF∥CE.
（1）试判断四边形AECF和四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC.
解：（1）四边形AECF和四边形ABCD都是平行四边形.理由如下：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
∴OA＝OC，OE＝OF.
又∵BE＝DF，
∴BE＋OE＝DF＋OF，即OB＝OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）根据（1），得四边形AECF是平行四边形.
∴AE＝CF.
在Rt△AEF中，根据勾股定理，得
AE＝＝＝6.
∴CF＝AE＝6.
∵BE＝7，EF＝8，
∴BF＝BE＋EF＝7＋8＝15.
在Rt△BCF中，根据勾股定理，得
BC＝＝＝3.
即BC的长为3.
18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定（二）
@基础分点训练
知识点一 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的是 （ C ）
2.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，当CD＝ 4 时，这个四边形是平行四边形.
3.如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AM＝CN，
∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN.
又∵BM∥DN，
∴四边形MBND是平行四边形.
∴DM＝BN.
知识点二 平行四边形判定方法的灵活选用
4.（2024·武威县级三模）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形 （ B ）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝CD，AO＝CO
C.AB＝CD，AD＝BC
D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
5.【新考法·开放性试题】（2024·济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD（答案不唯一） ，使四边形ABCD是平行四边形.
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF.求证：四边形AODF是平行四边形.
证明：∵AF∥BD，
∴∠EAF＝∠EOB，∠AFE＝∠OBE.
又∵点E为AO的中点，∴AE＝OE.
在△AEF和△OEB中，
∴△AEF≌△OEB（AAS）.∴AF＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.∴AF＝OD.
又∵AF∥OD，∴四边形AODF是平行四边形.
@中档提分训练
7.如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有平行四边形 （ D ）
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8.点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是 （ C ）
A.32 B.24
C.16 D.8
9.【分类讨论思想】如图，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，2），（0，－1），那么以点A，B，C，D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是 （－2，－1）或（2，－1）或（2，5） .
10.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E，F，点G，H分别为OB，OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO，AD＝BC，AD∥BC.
∴∠FDO＝∠EBO.
在△FOD和△EOB中，
∴△FOD≌△EOB（ASA）.
∴FO＝EO.
又∵点G，H分别为OB，OD的中点，且BO＝DO，
∴GO＝HO.
∴四边形GEHF是平行四边形.
@拓展素养训练
11.【分类讨论思想】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A出发向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止.点Q从点C出发向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，当P，Q两点同时出发，几秒时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
解：设当P，Q两点同时出发，t（0≤t≤15）s时四边形ABQP或四边形PQCD为平行四边形.
根据题意，得AP＝t cm，PD＝（24－t）cm，
CQ＝2t cm，BQ＝（30－2t）cm.
分情况讨论：
①若四边形ABQP是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴还需满足AP＝BQ，
即t＝30－2t，解得t＝10.
∴出发10 s时四边形ABQP是平行四边形.
②若四边形PQCD是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴还需满足PD＝CQ，
即24－t＝2t，解得t＝8.
∴出发8 s时四边形PQCD是平行四边形.
综上所述，当P，Q两点同时出发，8 s或10 s时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形.
18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 三角形的中位线
1.三角形的中位线的定义：连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线 平行 于三角形的第三边，并且等于第三边的 一半 .
@基础分点训练
知识点一 三角形的中位线
1.（2024·广安）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为 （ D ）
A.45° B.50°
C.60° D.65°
2.如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD的长为 （ B ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝EB，OE＝3，AB＝5， ABCD的周长 （ D ）
A.11 B.13
C.16 D.22
4.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，BE＝3，DF＝1，则BC的长度为 8 .
知识点二 三角形中位线定理的应用
5.【核心素养·应用意识】（2024·兰州）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为 （ C ）
A.18 m B.24 m
C.36 m D.54 m
6.【核心素养·应用意识】（2024·海南）如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 80 cm.
@中档提分训练
7.在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为 （ A ）
A.9 B.12 C.14 D.16
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，E，F分别为AC，AD的中点，连接EF，若∠ACD＝120°，则线段EF的长度为 1 .
9.如图所示，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 .
10.【核心素养·推理能力】（2024·武威校级三模）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12 cm，DE＝4 cm，求四边形DEFB的周长.
（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC，BC＝2DE.
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF.
∴DE＝BF.
∴四边形DEFB是平行四边形.
（2）解：根据（1），得BC＝2DE＝2×4＝8（cm），BF＝DE＝4 cm，四边形DEFB是平行四边形.
∴BD＝EF.
∵D是AC的中点，AC＝12 cm，
∴CD＝AC＝×12＝6（cm）.
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm）.
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE＋BD）＝2×（4＋10）＝28（cm）.
18.1.2 平行四边形的判定 微专题 构造中位线巧解题
方法1 若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边构造中位线
1.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝2，则EF的长为 .
方法2 单中点，补形构造三角形中位线
2.如图，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 （ C ）
A. B.
C. D.
方法3 四边形对边中点问题，往往取一条对角线的中点，与另两个中点相连，构造双中位线
3.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，且AD＝6，BC＝10，则线段EF的长可能为 （ A ）
A.7
B.8.5
C.9
D.10
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长为 .
专题训练（四） 平行四边形的证明思路
类型一 利用边的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【针对训练】
1.如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD.
∵BF＝DH，
∴AB－BF＝CD－DH，即AF＝CH.
又∵AE＝CG，
∴△AEF≌△CGH（SAS）.
∴EF＝GH.
同理，得△BGF≌△DEH.
∴FG＝HE.
∴四边形EFGH是平行四边形.
2.如图，点B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形.
证明：（1）∵点B是AC的中点，
∴AB＝BC.
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE≌△BCD（SSS）.
（2）如图，连接DE.
根据（1），得△ABE≌△BCD.
∴∠ABE＝∠BCD.
∴BE∥CD.
∵BE＝CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF.
求证：（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四边形.
证明：（1）∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE.
在△CEF和△AED中，
∴△CEF≌△AED（SAS）.
（2）根据（1），得△CEF≌△AED.
∴∠FCE＝∠A.
∴BA∥CF.
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC.
∴四边形DBCF是平行四边形.
类型二 利用角的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
4.如图，在 ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线分别交CD，AB边于点F，E.
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）四边形DEBF是平行四边形.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC.
又∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC.
∴∠1＝∠2.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，∠A＝∠C.
根据（1），得∠1＝∠2.
∴∠CDE＝∠ABF.
∵∠DEB＝∠A＋∠1，∠BFD＝∠C＋∠2，
∴∠DEB＝∠BFD.
又∵∠CDE＝∠ABF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
类型三 利用对角线的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点.求证：BE＝DF.
证明：如图，连接BF，DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC.
∴OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴BE＝DF.
6.如图，在 ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF（ASA）.
∴OE＝OF.
同理，得OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
