18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
1.菱形的定义：有一组 邻边 相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：菱形的四条边都 相等 ；菱形的两条对角线互相 垂直平分 ，且每一条对角线 平分一组对角 ；菱形是轴对称图形，它的 对角线所在的直线 就是它的对称轴.
3.菱形的面积等于底乘 高 .
4.菱形的面积等于两条对角线 乘积的一半 .
@基础分点训练
知识点一 菱形的定义与性质
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ D ）
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是 （ A ）
A.30° B.25°
C.20° D.15°
3.（2024·临夏州）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为 （ C ）
A.（－4，2） B.（－，4）
C.（－2，4） D.（－4，）
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为 52 .
5.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是 4 cm.
6.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且CE＝CF.求证：∠BAE＝∠DAF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC＝CD.
∵CE＝CF，
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）.
∴∠BAE＝∠DAF.
知识点二 菱形的面积
7.若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 24 .
8.【核心素养·运算能力】（2024·临夏州二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠ABC＝120°，AB＝6，则菱形ABCD的面积为 18 .
@中档提分训练
9.（2024·武威校级三模）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于 （ B ）
A.2 B.3.5
C.7 D.14
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB于点E，且交CD于点F，则EF的长为 （ A ）
A.4.8 B.2
C.5 D.6
11.（2024·平凉校级三模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 （ A ）
A.25° B.30°
C.35° D.40°
12.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AE＝AD，AF＝AB.
∴AE＝AF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）.
（2）解：如图，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°.
∴△ABD是等边三角形.
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD.
∴∠ABE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴AB＝2AE.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋（）2＝（2AE）2，
解得AE＝1.
∴AB＝2AE＝2×1＝2.
∴AD＝AB＝2.
∴S菱形ABCD＝AD·BE＝2×＝2.
@拓展素养训练
13.【数形结合思想】如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点.若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为 2 .
18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定
@基础分点训练
知识点一 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是 （ B ）
A.AB＝CD B.AB＝BC
C.∠BAD＝90° D.AC＝BD
2.（2024·天水校级三模节选）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD.求证：四边形ADCE是菱形.
证明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD.
∴平行四边形ADCE是菱形.
知识点二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ B ）
A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD
C.AB＝CD D.AB∥CD
4.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，点E是AC延长线上的一点，连接BE，DE，且BE＝DE.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
又∵OE＝OE，BE＝DE，
∴△OBE≌△ODE（SSS）.
∴∠BOE＝∠DOE.
∵∠BOE＋∠DOE＝180°.
∴∠BOE＝90°.
∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
知识点三 四条边相等的四边形是菱形
5.【新考法·开放性试题】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC的中点，当△ABC满足 AB＝AC或∠B＝∠C或BD＝CD（答案不唯一） 时，四边形AEDF是菱形.（只填一个）
6.（2024·张掖期末）如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和点D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（2）求BD的长.
解：（1）四边形ABCD为菱形.理由如下：
根据题意，得AB＝AD＝CB＝CD＝5.
∴四边形ABCD为菱形.
（2）根据（1），得四边形ABCD为菱形.
∴OA＝OC＝AC＝×8＝4，OB＝OD，
AC⊥BD.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得
OB＝＝＝3.
∴BD＝2OB＝2×3＝6.
@中档提分训练
7.（2024·天水校级三模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是 （ B ）
A.AC＝BD B.∠ADB＝∠CDB
C.∠ABC＝∠DCB D.AD＝BC
8.（2024·兰州校级一模）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长.
（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC.
∴∠ABD＝∠EDB.∴BE＝DE.
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形.
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于点H.
∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠ABC＝60°.
∵DH⊥BC，∴∠DHF＝90°.
∴∠FDH＝90°－∠DFC＝90°－60°＝30°.
∴FH＝DF，DH＝＝＝DF.
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，DH＝HC.
∴DC＝DH＝ ×DF＝6，解得DF＝2.
∴菱形BEDF的边长为2.
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9.【核心素养·推理能力】如图，∠ACB＝60°，点P为∠ACB平分线上的一点，PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E.点M是线段CP上的一个动点（不与点C，P重合），连接DM，EM.
（1）求证：DM＝EM；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由.
（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，PD⊥AC，PE⊥BC，
∴PD＝PE，∠DCM＝∠ECM.
在Rt△DCP和Rt△ECP中，
∴Rt△DCP≌Rt△ECP（HL）.
∴CD＝CE.
在△DCM和△ECM中，
∴△DCM≌△ECM（SAS）.
∴DM＝EM.
（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.理由如下：
∵点P为∠ACB平分线上一点，
∴∠DCP＝∠ACB＝×60°＝30°.
∴PC＝2PD，∠CPD＝90°－∠DCP＝90°－30°＝60°.
∵PD＝PE，DM＝EM，
∴当DM＝PD时，PD＝PE＝DM＝EM，则四边形DMEP为菱形.
此时，△PDM为等边三角形.
∴PD＝PM.
又∵PC＝2PD，
∴CM＝PM.
∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
1.菱形的定义：有一组 相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：菱形的四条边都 ；菱形的两条对角线互相 ，且每一条对角线 ；菱形是轴对称图形，它的 就是它的对称轴.
3.菱形的面积等于底乘 .
4.菱形的面积等于两条对角线 .
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知识点一 菱形的定义与性质
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是 （ ）
A.30° B.25°
C.20° D.15°
3.（2024·临夏州）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为 （ ）
A.（－4，2） B.（－，4）
C.（－2，4） D.（－4，）
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为 .
5.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是 cm.
6.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且CE＝CF.求证：∠BAE＝∠DAF.
知识点二 菱形的面积
7.若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 .
8.【核心素养·运算能力】（2024·临夏州二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠ABC＝120°，AB＝6，则菱形ABCD的面积为 .
@中档提分训练
9.（2024·武威校级三模）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于 （ ）
A.2 B.3.5
C.7 D.14
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB于点E，且交CD于点F，则EF的长为 （ ）
A.4.8 B.2
C.5 D.6
11.（2024·平凉校级三模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 （ ）
A.25° B.30°
C.35° D.40°
12.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积.
@拓展素养训练
13.【数形结合思想】如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点.若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为 .
18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定
@基础分点训练
知识点一 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是 （ ）
A.AB＝CD B.AB＝BC
C.∠BAD＝90° D.AC＝BD
2.（2024·天水校级三模节选）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD.求证：四边形ADCE是菱形.
知识点二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD
C.AB＝CD D.AB∥CD
4.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，点E是AC延长线上的一点，连接BE，DE，且BE＝DE.求证：四边形ABCD是菱形.
知识点三 四条边相等的四边形是菱形
5.【新考法·开放性试题】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC的中点，当△ABC满足 时，四边形AEDF是菱形.（只填一个）
6.（2024·张掖期末）如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和点D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（2）求BD的长.
@中档提分训练
7.（2024·天水校级三模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是 （ ）
A.AC＝BD B.∠ADB＝∠CDB
C.∠ABC＝∠DCB D.AD＝BC
8.（2024·兰州校级一模）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长.
@拓展素养训练
9.【核心素养·推理能力】如图，∠ACB＝60°，点P为∠ACB平分线上的一点，PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E.点M是线段CP上的一个动点（不与点C，P重合），连接DM，EM.
（1）求证：DM＝EM；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由.
