18.2.3 正方形
1.定义：一组 邻边相等 ，并且有一个角是 直角 的 平行四边形 叫做正方形.
2.性质：正方形的四个角都是 直角 ，四条边都 相等 ，对角线互相 垂直平分 且 相等 ，并且每一条对角线平分一组 对角 .
3.正方形的判定：
（1）一组 邻边相等 ，并且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形.
（2）一组 邻边相等 的矩形是正方形.
（3）对角线 互相垂直 的矩形是正方形.
（4）有一个角是 直角 的菱形是正方形.
（5）对角线 相等 的菱形是正方形.
@基础分点训练
知识点一 正方形的定义与性质
1.（2024·张掖入学）矩形、菱形、正方形都具有的性质是 （ B ）
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线互相垂直且相等
2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为 （ C ）
A.3 B.12
C.18 D.36
3.【教材P67复习题T1（3）变式】（2024·白银期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为 （ B ）
A.15° B.75°
C.20° D.12.5°
知识点二 正方形的判定
4.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （ D ）
A.∠D＝90° B.AB＝CD
C.AC＝BD D.BC＝CD
5.下列说法不正确的是 （ D ）
A.对角线相等的菱形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.四个角相等，且邻边也相等的四边形是正方形
D.对角线相等的矩形是正方形
6.如图，点D是Rt△ABC斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.求证：四边形AEDF是正方形.
证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠A＝∠DFA＝∠DFB＝∠DEC＝∠DEA＝90°.∴四边形AEDF是矩形.
∵点D是Rt△ABC斜边BC的中点，
∴BD＝CD.
又∵BF＝CE，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）.
∴DF＝DE.
∴矩形AEDF是正方形.
即四边形AEDF是正方形.
@中档提分训练
7.（2024·兰州月考改编）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是 （ D ）
第7题图
A. B.4
C. D.
8.（2024·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 （－2，－1） .
第8题图
9.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
（2）解：如图，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
又∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF.
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝3.
∴AC＝BD＝＝＝6.
∵BE＝DF＝2，
∴EF＝BD－BE－DF＝6－2－2＝2.
∴S四边形AECF＝AC·EF＝×6×2＝6.
@拓展素养训练
10.【核心素养·推理能力】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且AE＝CE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：（1）在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE（SSS）.
∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADE.
∴∠CDE＝∠CBD.
∴CD＝BC.
∵AD＝CD，∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
∴∠CBE＝180°×＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°.
∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝45°＋45°＝90°.
∴四边形ABCD是正方形.18.2.3 正方形
1.定义：一组 ，并且有一个角是 的 叫做正方形.
2.性质：正方形的四个角都是 ，四条边都 ，对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分一组 .
3.正方形的判定：
（1）一组 ，并且有一个角是 的平行四边形是正方形.
（2）一组 的矩形是正方形.
（3）对角线 的矩形是正方形.
（4）有一个角是 的菱形是正方形.
（5）对角线 的菱形是正方形.
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知识点一 正方形的定义与性质
1.（2024·张掖入学）矩形、菱形、正方形都具有的性质是 （ ）
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线互相垂直且相等
2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为 （ ）
A.3 B.12
C.18 D.36
3.【教材P67复习题T1（3）变式】（2024·白银期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为 （ ）
A.15° B.75°
C.20° D.12.5°
知识点二 正方形的判定
4.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （ ）
A.∠D＝90° B.AB＝CD
C.AC＝BD D.BC＝CD
5.下列说法不正确的是 （ ）
A.对角线相等的菱形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.四个角相等，且邻边也相等的四边形是正方形
D.对角线相等的矩形是正方形
6.如图，点D是Rt△ABC斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.求证：四边形AEDF是正方形.
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7.（2024·兰州月考改编）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是 （ ）
第7题图
A. B.4
C. D.
8.（2024·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 .
第8题图
9.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积.
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10.【核心素养·推理能力】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且AE＝CE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.
