19.2.2 一次函数 第1课时 一次函数的概念
一般地，形如y＝ kx＋b （k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的 一次 函数.
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知识点一 一次函数的定义
1.下列函数中，y是x的一次函数的是 （ D ）
A.y＝x2－5 B.y＝3
C.y＝kx＋b D.y＝x－1
2.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是 （ C ）
A.y＝2x
B.y＝＋2
C.y＝x－
D.y＝2x2－1
3.已知函数y＝（m－3）x＋2是y关于x的一次函数，则m的取值范围是 （ B ）
A.m≠0
B.m≠3
C.m≠－3
D.m为任意实数
4.函数y＝（k＋1）x＋k2－1中，当k满足 k≠－1 时，它是一次函数.
知识点二 列一次函数的解析式
5.平行四边形的周长为240，两邻边长分别为x，y，则y与x之间的关系式是 （ A ）
A.y＝120－x（0＜x＜120）
B.y＝120－x（0≤x≤120）
C.y＝240－x（0＜x＜240）
D.y＝240－x（0≤x≤240）
6.列式表示下列问题中y与x之间的函数关系，并指出哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）在速度为80千米/时的匀速运动中，路程y（千米）与时间x（时）之间的函数关系；
（2）小红去商店购买笔记本，每本笔记本2.5元，小红购买笔记本的总费用y（元）与购买笔记本的本数x（本）之间的函数关系；
（3）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的函数关系；
（4）某航空公司规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费，则旅客需交的行李费y（元）与携带行李质量x（千克）（x＞20）之间的函数关系.
解：（1）根据题意，得y＝80x，既是一次函数，也是正比例函数.
（2）根据题意，得y＝2.5x，既是一次函数，也是正比例函数.
（3）根据题意，得y＝πx2，既不是一次函数，也不是正比例函数.
（4）根据题意，得y＝1.5（x－20）＝1.5x－30（x＞20），是一次函数，不是正比例函数.
知识点三 一次函数与求值
7.已知函数y＝4x＋5，当x＝－3时，y＝ －7 ；当y＝5时，x＝ 0 .
8.已知一次函数y＝kx＋3（k≠0），当x＝2时，y＝－3，则k＝ －3 .
9.已知函数y＝（m－2）x＋2m＋4，当x＝2时，y＝12，则当x＝－2时，y＝ 8 .
10.【核心素养·运算能力】（2024·兰州期末）已知函数y＝（m－2）x｜m｜－1＋m＋4是关于x的一次函数，求当x＝－2时，y的值.
解：∵函数y＝（m－2）x｜m｜－1＋m＋4是关于x的一次函数，
∴解得m＝－2.
∴一次函数的解析式为y＝（－2－2）x｜－2｜－1＋（－2）＋4＝－4x＋2.
∴当x＝－2时，y＝－4×（－2）＋2＝10.
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11.下列说法中，错误的是 （ B ）
A.y＝－24x是正比例函数，也是一次函数
B.y＝5π是一次函数，也是正比例函数
C.商品单价一定，总金额与商品数量成正比例关系
D.如果y＝（m2－4）x＋9是一次函数，那么m≠±2
12.关于函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），下列说法正确的有 （ B ）
①y是x的一次函数；
②y是x的正比例函数；
③当b＝0时，y是x的正比例函数；
④只有当b≠0时，y才是x的一次函数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.一支蜡烛长25厘米，点燃后每小时燃烧5 厘米，蜡烛燃烧时剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（小时）（0≤t≤5）之间的关系式是 h＝－5t＋25（0≤t≤5） .
14.根据图中的程序，当输入数值x为－2时，输出数值y为 6 .
15.【核心素养·运算能力】（2024·兰州期中）已知y＝（m－1）x2－｜m｜＋n＋4.
（1）当m，n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
解：（1）根据一次函数的定义，得2－｜m｜＝1，
解得m＝±1.
又∵m－1≠0，∴m≠1.
∴当m＝－1，n为任意实数时，y是x的一次函数.
（2）根据正比例函数的定义，得2－｜m｜＝1，n＋4＝0，
解得m＝±1，n＝－4.
又∵m－1≠0，∴m≠1.
∴当m＝－1，n＝－4时，y是x的正比例函数.
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16.已知y＝y1＋y2，并且满足y1＝k1x，y2＝k2（x－2），当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4.
（1）求y与x之间的函数解析式，并说明此函数是什么函数；
（2）当x＝3时，求y的值.
解：（1）根据题意，得y＝k1x＋k2（x－2），将x＝1，y＝0；x＝－3，y＝4代入，得
解得
∴y＝－x－（x－2）＝－x＋1.
∴y是x的一次函数.
（2）把x＝3代入y＝－x＋1，
得y＝－3＋1＝－2.
∴当x＝3时，y的值为－2.
19.2.2 一次函数 第2课时 一次函数的图象与性质
一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的性质：当k＞0时，y随x的增大而 增大 ；当k＜0时，y随x的增大而 减小 .
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知识点一 一次函数的图象
1.（2024·兰州）一次函数y＝2x－3的图象不经过 （ B ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋1的图象是 （ C ）
3.已知点（k，b）为第三象限内的点，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是 （ C ）
4.【教材P93练习T1变式】直线y＝－x＋3与x轴，y轴的交点坐标分别为 （9，0） ， （0，3） ，图象不经过第 三 象限.
5.分别在同一平面直角坐标系中画出下列各函数的图象，并指出各函数的图象的共同之处.
（1）y＝－x＋2；
（2）y＝－x＋2；
（3）y＝2x＋2.
解：列表表示当x＝0，x＝1时三个函数的对应值.
x 0 1
y＝－x＋2 2
y＝－x＋2 2 1
y＝2x＋2 2 4
画出各函数的图象如图所示，它们的共同之处：这三个函数的图象都是直线，且都经过y轴上的点（0，2）.
知识点二 一次函数的图象的平移
6.（2024·定西期末改编）将直线y＝－7x＋4向下平移3个单位长度后得到的直线的解析式是 （ B ）
A.y＝－7x＋7 B.y＝－7x＋1
C.y＝－7x－17 D.y＝－7x＋25
7.将一次函数y＝kx＋2（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，且平移后的函数图象经过点（－2，1），则平移后的函数解析式为（ B ）
A.y＝x B.y＝－x
C.y＝－x－1 D.y＝x－1
知识点三 一次函数的性质
8.关于一次函数y＝x＋1，下列说法正确的是 （ B ）
A.图象经过第一、三、四象限
B.图象与y轴交于点（0，1）
C.函数值y随自变量x的增大而减小
D.当x＞－1时，y＜0
9.（2024·金昌校级模拟）已知一次函数y＝kx＋2（k＞0）图象上两点A（－2，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是 （ C ）
A.y1＞y2 B.y1≥y2
C.y1＜y2 D.y1≤y2
10.【新考法·开放性试题】若一次函数y＝kx－2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k＝ 2（答案不唯一） .（写出一个满足条件的值）
11.已知一次函数y＝（8－2m）x＋m－2.
（1）当m为何值时，函数的图象经过原点；
（2）当m为何值时，y随x的增大而减小；
（3）当m为何值时，函数的图象经过第一、二、三象限.
解：（1）根据题意，得m－2＝0，
解得m＝2.
∴当m＝2时，函数的图象经过原点.
（2）根据题意，得8－2m＜0，解得m＞4.
∴当m＞4时，y随x的增大而减小.
（3）根据题意，得8－2m＞0且m－2＞0，
解得2＜m＜4.
∴当2＜m＜4时，函数的图象经过第一、二、三象限.
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12.将直线y＝x－1向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx＋b，则下列关于直线y＝kx＋b的说法正确的是 （ C ）
A.经过第一、二、四象限
B.与x轴交于（1，0）
C.k＝b＝1
D.y随x的增大而减小
13.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是 （ D ）
14.【新考法·开放性试题】请写出一个y随着x增大而减小，且过点（0，3）的一次函数解析式： y＝－x＋3（答案不唯一） .
15.【新定义试题】若直线y1＝k1x＋b1（k1≠0），y2＝k2x＋b2（k2≠0），则称直线y＝（k1＋k2）x＋b1b2为这两条直线的“友好直线”.
（1）直线y＝3x＋2与y＝－4x＋3的“友好直线”为 y＝－x＋6 ；
（2）已知直线l是直线y＝－2x＋m与y＝3mx－6（m≠0）的“友好直线”，且直线l经过第一、三、四象限，求m的取值范围.
解：（2）∵直线l是直线y＝－2x＋m与y＝3mx－6（m≠0）的“友好直线”，
∴直线l的解析式为y＝（－2＋3m）x－6m.
∵直线l经过第一、三、四象限，
∴解得m＞.
19.2.2 一次函数 第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
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知识点一 已知点的坐标，求一次函数的解析式
1.已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，－2），则这个正比例函数的解析式为 （ B ）
A.y＝2x B.y＝－2x
C.y＝x D.y＝－x
2.（2024·武威开学）经过两点（2，3），（－1，－3）的一次函数的解析式为 （ C ）
A.y＝x＋1 B.y＝x－2
C.y＝2x－1 D.y＝－2x＋1
3.【教材P93例4变式】在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A（1，－3）和B（2，0），求这个一次函数的解析式.
解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
把A（1，－3），B（2，0）代入，
得解得
∴这个一次函数的解析式为y＝3x－6.
知识点二 已知图表中的对应值求一次函数的解析式
4.（2024·兰州校级三模）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物的质量x（kg）之间的关系式为 （ B ）
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6
y（cm）1212.51313.51414.515
A.y＝x＋12 B.y＝0.5x＋12
C.y＝0.5x＋10 D.y＝x＋10.5
知识点三 已知函数的图象求一次函数的解析式
5.如图，在平面直角坐标系中，直线l所表示的一次函数是 （ A ）
A.y＝3x＋3
B.y＝3x－3
C.y＝－3x＋3
D.y＝－3x－3
6.【分类讨论思想】（2024·白银期末）如图所示，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，－2）.
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上有一点C，且S△BOC＝2，求点C的坐标.
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
∵直线AB过点A（1，0），点B（0，－2），
∴解得
∴直线AB的解析式为y＝2x－2.
（2）设点C的横坐标为x.
∵S△BOC＝2，
∴×2×｜x｜＝2，解得x＝±2.
∵点C是直线AB上的一点，
∴当x＝2时，y＝2×2－2＝2；
当x＝－2时，y＝2×（－2）－2＝－6.
∴点C的坐标是（2，2）或（－2，－6）.
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7.下表为某一次函数的若干对自变量与函数的对应值，其中某一函数值数据抄写错误，则错误的数据可能为 （ A ）
x 0 1
y
A.x＝0，y＝ B.x＝，y＝
C.x＝1，y＝ D.x＝，y＝
8.如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是 （ C ）
A.－5 B.
C. D.7
9.【分类讨论思想】（2024·酒泉期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动.
（1）求直线AB的解析式；
（2）求△OAC的面积；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标.
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
把点A，B的坐标代入，得解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋6.
（2）在y＝－x＋6中，令x＝0，解得y＝6.
∴点C的坐标为（0，6），即OC＝6.
∴S△OAC＝×OC×4＝×6×4＝12.
（3）设直线OA的解析式为y＝mx（m≠0），把点A的坐标代入，得4m＝2，解得m＝.
∴直线OA的解析式为y＝x.
当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
点M的横坐标是×4＝1.
分情况讨论：
①当点M在OA上时，即在y＝x中，
当x＝1时，y＝，则点M的坐标是；
②当点M在AC上时，即在y＝－x＋6中，
当x＝1时， y＝5，则点M的坐标是（1，5）.
综上所述，点M的坐标是或（1，5）.
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10.【新定义试题】因为一次函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝－kx＋b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝－kx＋b（k≠0）互为“镜子”函数.
（1）请直接写出函数y＝3x－2的“镜子”函数的解析式： y＝－3x－2 ；
（2）如图，如果一对“镜子”函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝－kx＋b（k≠0）的图象交于点A，且分别与x轴交于B，C两点.若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式.
解：（2）∵△ABC是等腰直角三角形，AO⊥BC，
∴AO＝BO＝CO.
∴设AO＝BO＝CO＝x.
根据题意，得·2x·x＝16.解得x＝4.
∴B（－4，0），C（4，0），A（0，4）.
将点A（0，4），B（－4，0）代入y＝kx＋b，
得解得
∴函数y＝kx＋b（k≠0）的解析式为y＝x＋4，其“镜子”函数y＝－kx＋b（k≠0）的解析式为y＝－x＋4.
19.2.2 一次函数 第4课时 一次函数的实际应用
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知识点一 一次函数的应用
1.一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为 （ B ）
A.y＝12－0.5x
B.y＝12＋0.5x
C.y＝10＋0.5x
D.y＝0.5x
2.【跨学科融合】（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为 （ A ）
尾长x（cm） 6 8 10
体长y（cm） 45.5 60.5 75.5
A.y＝7.5x＋0.5 B.y＝7.5x－0.5
C.y＝15x D.y＝15x＋45.5
3.【核心素养·应用意识】（2024·陕西改编）实验表明，在某地，温度在15 ℃至25 ℃的范围内，一种蟋蟀1 min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数.已知这种蟋蟀在温度为16 ℃时，1 min平均鸣叫92次；在温度为23 ℃时，1 min平均鸣叫155次.
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？
解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
将x＝16，y＝92和x＝23，y＝155分别代入，
得解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝9x－52.
（2）将y＝128代入y＝9x－52，
得9x－52＝128，解得x＝20.
答：该地当时的温度约是20 ℃.
知识点二 分段函数的实际应用
4.一个试验室在0：00～4：00的温度T（单位：℃）与时间t （单位：h）的函数关系的图象如图所示，在0：00～2：00保持恒温，在2：00～4：00匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为 （ B ）
A.5 ℃ B.10 ℃
C.20 ℃ D.40 ℃
5.【跨学科融合】（2024·青海）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是 （ D ）
A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B.未加入絮凝剂时，净水率为0
C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等
D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54％
6.某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准.该市的用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示.
（1）若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
（2）当x＞18时，求y关于x的函数解析式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
解：（1）根据图象可知，当某月用水量为18立方米时，应交水费45元.
（2）当x＞18时，设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
∵直线经过点（18，45）和点（28，75），
∴解得
∴当x＞18时，y关于x的函数解析式为y＝3x－9.
由81＞45，得用水量超过18立方米.
当y＝81时，3x－9＝81，解得x＝30.
答：当x＞18时，y关于x的函数解析式为y＝3x－9；若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为30立方米.
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7.（2024·哈尔滨）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5 min内只进水不出水，在随后的10 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9 min时，y＝ （ B ）
A.36 L B.38 L
C.40 L D.42 L
8.【核心素养·运算能力】（2024·陕西）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（kW·h）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示.
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
解：（1）设y与x之间的关系式为y＝kx＋b（k≠0，0≤x≤240），代入（0，80），（150，50）.
得解得
∴y与x之间的关系式为y＝－x＋80.
（2）当x＝240时，y＝－×240＋80＝32.
×100％＝32％.
答：王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的32％.
