19.2.3 一次函数与方程、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程
1.（1）一元一次方程ax＋b＝0的解相当于一次函数 y＝ax＋b 的函数值为0时，自变量x的值，即一次函数的图象与x轴的交点的 横 坐标；
（2）一元一次方程ax＋b＝k的解相当于一次函数 y＝ax＋b 的函数值为k时，自变量x的值，即一次函数的图象与直线 y＝k 的交点的横坐标.
2.如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，则方程kx＋b＝0的解是 x＝－2 .
@基础分点训练
知识点 一次函数与一元一次方程
1.直线y＝x＋5与x轴的交点坐标是 （ D ）
A.（0，5） B.（0，－5）
C.（5，0） D.（－5，0）
2.直线y＝ax＋b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax＋b＝0的解为 （ C ）
A.x＝0 B.x＝1 C.x＝2 D.x＝3
3.（2024·平凉县级二模）如图，一次函数y＝kx＋2（k为常数且k≠0）和y＝3x＋1的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程kx＋2＝3x＋1的解是 （ A ）
A.x＝1 B.x＝2
C.x＝3 D.x＝4
4.关于x的一元一次方程ax＋b＝0的解是x＝m，则一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点的坐标是 （m，0） .
5.（2024·兰州期中）一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，x与y的部分对应值如下表，那么一元一次方程kx＋b＝0的解是x＝ 1 .
x －2 －1 0 1 2
y－6－4－202
6.方程3x＋2＝8的解是 x＝2 ，直线y＝3x＋2与直线y＝8的交点坐标是 （2，8） .
7.【数形结合思想】如图，根据函数y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：
（1）方程kx＋b＝0的解；
（2）方程kx＋b＝－3的解.
解：（1）根据图象，得当y＝0时，x＝2.
∴方程kx＋b＝0的解是x＝2.
（2）根据图象，得当y＝－3时，x＝－1.
∴方程kx＋b＝－3的解是x＝－1.
@中档提分训练
8.已知直线y＝mx＋n（m，n为常数，m≠0）经过点（0，－2）和（3，0），则关于x的方程－mx－n＝0的解为 （ A ）
A.x＝3 B.x＝－2
C.x＝2 D.x＝0
9.已知关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解是x＝－2，一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点（0，2），那么这个一次函数的解析式是 y＝x＋2 .
10.已知关于x的方程ax－b＝1的解为x＝－1，则一次函数y＝ax－b－1的图象与x轴交点的坐标为 （－1，0） .
11.已知一次函数y＝kx－6的图象如图所示.
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝－3x＋3的图象；（要求：先列表，再描点，最后连线）
（3）根据图象写出关于x的方程kx－6＝－3x＋3的解.
解：（1）∵一次函数y＝kx－6的图象过点A（4，0），
∴4k－6＝0，解得k＝.
（2）列表：
x 0 1
y 3 0
描点：在平面直角坐标系中描出两点（0，3），（1，0）.
连线：过点（0，3），（1，0）画直线，得出一次函数y＝－3x＋3的图象如图所示.
（3）由（2），知一次函数y＝kx－6与y＝－3x＋3的图象交于点（2，－3）.
∴关于x的方程kx－6＝－3x＋3的解为x＝2.
@拓展素养训练
12.【核心素养·推理能力】如图，直线y＝2x＋b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，3）.
（1）求方程2x＋b＝0的解；
（2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使S△ABP＝2S△ABO，求直线BP的函数解析式.
解：（1）∵点B（0，3）在直线y＝2x＋b上，
∴b＝3.∴y＝2x＋3.
令y＝0，则2x＋3＝0，
解得x＝－.
∴方程2x＋b＝0的解为x＝－.
（2）由（1），知A.∴OA＝.
∵B（0，3），∴OB＝3.
∴S△ABO＝OA·OB＝××3＝.
∴S△ABP＝AP·OB＝2S△ABO＝2×＝.
∴AP＝3.
∴点P的坐标为或.
分情况讨论：
①当点P的坐标为时，设直线BP的函数解析式为y＝mx＋n（m≠0）.
将B（0，3），P代入，
得解得
∴直线BP的函数解析式为y＝－2x＋3.
②当点P的坐标为时，设直线BP的函数解析式为y＝px＋q（p≠0）.
将B（0，3），P代入，
得解得
∴直线BP的函数解析式为y＝x＋3.
综上所述，直线BP的函数解析式为y＝－2x＋3或y＝x＋3.
19.2.3 一次函数与方程、不等式 第2课时 一次函数与一元一次不等式
1.从“数”的角度看：一元一次不等式kx＋b＞0（或kx＋b＜0）的解集，就是一次函数 y＝kx＋b 的函数值 大于0 （或 小于0 ）时，相应的自变量x的取值范围.
2.从“形”的角度看：一元一次不等式kx＋b＞0（或kx＋b＜0）的解集，就是一次函数 y＝kx＋b 的图象在x轴 上方 （或 下方 ）时，相应的自变量x的取值范围.
@基础分点训练
知识点 一次函数与一元一次不等式
1.（2024·定西校级三模）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象如图所示，点A（－1，4）在该函数的图象上，则不等式kx＋b＞4的解集为 （ B ）
A.x≥－1
B.x＜－1
C.x≤－1
D.x＞－1
2.已知直线y＝kx－5与x轴的交点坐标为（6，0），则关于x的不等式kx－5≤0的解集是（ A ）
A.x≤6 B.x＜6 C.x≥6 D.x＞6
3.如图，直线y＝－2x＋b交y轴于点A（0，3），则关于x的不等式－2x＋b＞0的解集为（ C ）
A.x＞ B.x＞3
C.x＜ D.x＜3
4.【数形结合思想】（2024·天水校级三模）直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为 （ C ）
A.x＞－1 B.x＜－2
C.x＜－1 D.无法确定
5.如果直线y＝kx－1经过点A（2，0），那么不等式kx－1＜0的解集为 x＜2 .
6.一次函数y＝mx＋n的图象如图所示.
（1）关于x的不等式mx＋n＞2的解集是 x＞0 ；
（2）关于x的不等式－mx－n＞0的解集是 x＜－1 .
7.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A，B两点.根据图象回答下列问题：
（1）直接写出方程kx＋b＝0的解；
（2）直接写出不等式kx＋b＞2的解集；
（3）求出一次函数y＝kx＋b的解析式.
解：（1）根据图象，得当y＝0时，x＝－2.
∴方程kx＋b＝0的解为x＝－2.
（2）根据图象，得当y＞2时，x＞2.
∴不等式kx＋b＞2的解集为x＞2.
（3）把A（－2，0），B（2，2）代入y＝kx＋b，
得解得
∴一次函数y＝kx＋b的解析式为y＝x＋1.
@中档提分训练
8.直线y＝kx＋b交坐标轴于点A（－6，0）和点B（0，7），则不等式kx＋b＞0的解集为 （ C ）
A.x＜－7 B.x＞7
C.x＞－6 D.x＜－6
9.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b≤0的解集在数轴上表示正确的是 （ A ）
10.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），则下列说法正确的有 （ B ）
①y随x的增大而减小；
②k＞0，b＜0；
③关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－2；
④当x＞－2时，y＞0.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
11.已知一次函数y＝kx＋2，当x＜－1时，其图象在x轴下方，当x＞－1时，其图象在x轴上方，则k＝ 2 .
12.一次函数y＝2x－1的图象如图所示，则当－1＜y＜1时，x的取值范围是 0＜x＜1 .
13.如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝3x＋a与直线y2＝－bx＋5相交于点A（1，2），则关于x的不等式（3＋b）x≤5－a的解集是 x≤1 .
14.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x＋b1和y＝kx＋b的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C，如图所示.
已知点A（－1，0），B（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x＋b1＝0的解是 x＝－1 ；关于x的不等式kx＋b＜0的解集是 x＞2 ；
（2）直接写出关于x的不等式组的解集；
（3）若点C的坐标为（1，3），求关于x的不等式k1x＋b1＞kx＋b的解集.
解：（2）根据图象，得关于x的不等式组的解集为－1＜x＜2.
（3）∵点C的坐标为（1，3），
∴根据图象，得关于x的不等式k1x＋b1＞kx＋b的解集是x＞1.
19.2.3 一次函数与方程、不等式 第3课时 一次函数与二元一次方程组
二元一次方程组的解是函数y＝ax＋b与函数y＝mx＋n的图象的 交点 .画出这两个函数的图象，找出它们的交点坐标，即可得到相应的二元一次方程组的解.
例如：已知一次函数y＝bx＋5和y＝－x＋a的图象交于点P（1，2），则方程组的解是 .
@基础分点训练
知识点 一次函数与二元一次方程组
1.如图，两个一次函数的图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解是 （ A ）
A. B.
C. D.
【变式】已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为（－1，a），则方程组的解是 （ D ）
A. B.
C. D.
2.如图，两条直线l1，l2的交点坐标可以看作以下哪个方程组的解 （ A ）
A. B.
C. D.
3.（2024·内蒙古）点P（x，y）在直线y＝－x＋4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在 （ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为 （－4，1） .
5.当自变量x＝ － 时，函数y＝x＋1与y＝5x＋17的值相等，这个函数值是 －15 .
6.随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
（2）求出点B的坐标；
（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场的消费，请问选择哪种消费卡划算？
解：（1）设y甲＝k1x（k1≠0）.
根据题意，得5k1＝100，解得k1＝20.
∴y甲＝20x（x≥0）.
设y乙＝k2x＋b（k2≠0）.
根据题意，得
解得
∴y乙＝10x＋100（x≥0）.
（2）根据题意，得
解得
∴点B的坐标为（10，200）.
（3）甲：令y甲＝240，则有20x＝240，解得x＝12，即甲种消费卡可玩12次.
乙：令y乙＝240，则有10x＋100＝240，解得x＝14，即乙种消费卡可玩14次.
∵14＞12，
∴洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场的消费，选择乙种消费卡划算.
@中档提分训练
7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b交于点P，根据图象可知，方程x＋5＝ax＋b的解是 （ A ）
A.x＝20
B.x＝5
C.x＝25
D.x＝15
8.直线y＝x＋1与y＝－2x＋a的交点在第一象限，则a的取值可以是 （ D ）
A.－1 B.0 C.1 D.2
9.【核心素养·运算能力】如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n交于点P（1，b）.
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组直接写出它的解；
（3）当x为何值时，直线l1：y＝x＋1的函数值大于直线l2：y＝mx＋n的函数值？
（4）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由.
解：（1）将点P（1，b）代入y＝x＋1，
得b＝1＋1＝2.
（2）由（1），知直线l1与直线l2交于点P（1，2）.
∴关于x，y的方程组的解为
（3）根据图象，知当x＞1时，直线l1：y＝x＋1的函数值大于直线l2：y＝mx＋n的函数值.
（4）直线l3：y＝nx＋m也经过点P.理由如下：
把点P（1，2）代入y＝mx＋n，得m＋n＝2.
则当x＝1时，y＝nx＋m＝n＋m＝2.
∴点P（1，2）也满足直线l3：y＝nx＋m的解析式.
∴直线l3：y＝nx＋m也经过点P.19.2.3 一次函数与方程、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程
1.（1）一元一次方程ax＋b＝0的解相当于一次函数 的函数值为0时，自变量x的值，即一次函数的图象与x轴的交点的 坐标；
（2）一元一次方程ax＋b＝k的解相当于一次函数 的函数值为k时，自变量x的值，即一次函数的图象与直线 的交点的横坐标.
2.如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，则方程kx＋b＝0的解是 .
@基础分点训练
知识点 一次函数与一元一次方程
1.直线y＝x＋5与x轴的交点坐标是 （ ）
A.（0，5） B.（0，－5）
C.（5，0） D.（－5，0）
2.直线y＝ax＋b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax＋b＝0的解为 （ ）
A.x＝0 B.x＝1 C.x＝2 D.x＝3
3.（2024·平凉县级二模）如图，一次函数y＝kx＋2（k为常数且k≠0）和y＝3x＋1的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程kx＋2＝3x＋1的解是 （ ）
A.x＝1 B.x＝2
C.x＝3 D.x＝4
4.关于x的一元一次方程ax＋b＝0的解是x＝m，则一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点的坐标是 .
5.（2024·兰州期中）一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，x与y的部分对应值如下表，那么一元一次方程kx＋b＝0的解是x＝ .
x －2 －1 0 1 2
y－6－4－202
6.方程3x＋2＝8的解是 ，直线y＝3x＋2与直线y＝8的交点坐标是 .
7.【数形结合思想】如图，根据函数y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：
（1）方程kx＋b＝0的解；
（2）方程kx＋b＝－3的解.
@中档提分训练
8.已知直线y＝mx＋n（m，n为常数，m≠0）经过点（0，－2）和（3，0），则关于x的方程－mx－n＝0的解为 （ ）
A.x＝3 B.x＝－2
C.x＝2 D.x＝0
9.已知关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解是x＝－2，一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点（0，2），那么这个一次函数的解析式是 .
10.已知关于x的方程ax－b＝1的解为x＝－1，则一次函数y＝ax－b－1的图象与x轴交点的坐标为 .
11.已知一次函数y＝kx－6的图象如图所示.
（1）求k的值；
（2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝－3x＋3的图象；（要求：先列表，再描点，最后连线）
（3）根据图象写出关于x的方程kx－6＝－3x＋3的解.
@拓展素养训练
12.【核心素养·推理能力】如图，直线y＝2x＋b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，3）.
（1）求方程2x＋b＝0的解；
（2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使S△ABP＝2S△ABO，求直线BP的函数解析式.
19.2.3 一次函数与方程、不等式 第2课时 一次函数与一元一次不等式
1.从“数”的角度看：一元一次不等式kx＋b＞0（或kx＋b＜0）的解集，就是一次函数 的函数值 （或 ）时，相应的自变量x的取值范围.
2.从“形”的角度看：一元一次不等式kx＋b＞0（或kx＋b＜0）的解集，就是一次函数 的图象在x轴 （或 ）时，相应的自变量x的取值范围.
@基础分点训练
知识点 一次函数与一元一次不等式
1.（2024·定西校级三模）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象如图所示，点A（－1，4）在该函数的图象上，则不等式kx＋b＞4的解集为 （ ）
A.x≥－1
B.x＜－1
C.x≤－1
D.x＞－1
2.已知直线y＝kx－5与x轴的交点坐标为（6，0），则关于x的不等式kx－5≤0的解集是（ ）
A.x≤6 B.x＜6 C.x≥6 D.x＞6
3.如图，直线y＝－2x＋b交y轴于点A（0，3），则关于x的不等式－2x＋b＞0的解集为（ ）
A.x＞ B.x＞3
C.x＜ D.x＜3
4.【数形结合思想】（2024·天水校级三模）直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为 （ ）
A.x＞－1 B.x＜－2
C.x＜－1 D.无法确定
5.如果直线y＝kx－1经过点A（2，0），那么不等式kx－1＜0的解集为 .
6.一次函数y＝mx＋n的图象如图所示.
（1）关于x的不等式mx＋n＞2的解集是 ；
（2）关于x的不等式－mx－n＞0的解集是 .
7.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A，B两点.根据图象回答下列问题：
（1）直接写出方程kx＋b＝0的解；
（2）直接写出不等式kx＋b＞2的解集；
（3）求出一次函数y＝kx＋b的解析式.
@中档提分训练
8.直线y＝kx＋b交坐标轴于点A（－6，0）和点B（0，7），则不等式kx＋b＞0的解集为 （ ）
A.x＜－7 B.x＞7
C.x＞－6 D.x＜－6
9.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b≤0的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
10.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），则下列说法正确的有 （ ）
①y随x的增大而减小；
②k＞0，b＜0；
③关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－2；
④当x＞－2时，y＞0.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
11.已知一次函数y＝kx＋2，当x＜－1时，其图象在x轴下方，当x＞－1时，其图象在x轴上方，则k＝ .
12.一次函数y＝2x－1的图象如图所示，则当－1＜y＜1时，x的取值范围是 .
13.如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝3x＋a与直线y2＝－bx＋5相交于点A（1，2），则关于x的不等式（3＋b）x≤5－a的解集是 .
14.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x＋b1和y＝kx＋b的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C，如图所示.
已知点A（－1，0），B（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x＋b1＝0的解是 ；关于x的不等式kx＋b＜0的解集是 ；
（2）直接写出关于x的不等式组的解集；
（3）若点C的坐标为（1，3），求关于x的不等式k1x＋b1＞kx＋b的解集.
19.2.3 一次函数与方程、不等式 第3课时 一次函数与二元一次方程组
二元一次方程组的解是函数y＝ax＋b与函数y＝mx＋n的图象的 .画出这两个函数的图象，找出它们的交点坐标，即可得到相应的二元一次方程组的解.
例如：已知一次函数y＝bx＋5和y＝－x＋a的图象交于点P（1，2），则方程组的解是 .
@基础分点训练
知识点 一次函数与二元一次方程组
1.如图，两个一次函数的图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解是 （ ）
A. B.
C. D.
【变式】已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为（－1，a），则方程组的解是 （ ）
A. B.
C. D.
2.如图，两条直线l1，l2的交点坐标可以看作以下哪个方程组的解 （ ）
A. B.
C. D.
3.（2024·内蒙古）点P（x，y）在直线y＝－x＋4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为 .
5.当自变量x＝ 时，函数y＝x＋1与y＝5x＋17的值相等，这个函数值是 .
6.随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
（2）求出点B的坐标；
（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场的消费，请问选择哪种消费卡划算？
@中档提分训练
7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b交于点P，根据图象可知，方程x＋5＝ax＋b的解是 （ ）
A.x＝20
B.x＝5
C.x＝25
D.x＝15
8.直线y＝x＋1与y＝－2x＋a的交点在第一象限，则a的取值可以是 （ ）
A.－1 B.0 C.1 D.2
9.【核心素养·运算能力】如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n交于点P（1，b）.
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组直接写出它的解；
（3）当x为何值时，直线l1：y＝x＋1的函数值大于直线l2：y＝mx＋n的函数值？
（4）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由.
