20.2 数据的波动程度
第1课时 方差
方差是指各数据与其平均数之差的平方的平均数，记作 s2 .
s2＝ [（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2] .
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
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知识点一 方差的概念及计算
1.下列选项中，能够反映一组数据离散程度的统计量是 （ D ）
A.平均数 B.中位数
C.众数 D.方差
2.在方差的计算公式s2＝[（x1－20）2＋（x2－20）2＋…＋（x10－20）2]中，数10和20分别表示 （ B ）
A.数据的个数和方差
B.数据的个数和平均数
C.平均数和数据个数
D.数据的方差和平均数
3.已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为 （ A ）
A.2 B.4 C.6 D.10
4.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表.甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和.则和的大小关系是 （ A ）
测试次数 1 2 3 4 5
甲 5 10 9 3 8
乙 8 6 8 6 7
A.＞ B.＜
C.＝ D.无法确定
5.（2024·武威期末）如果样本方差是：s2＝[（x1－3）2＋（x2－3）2＋（x3－3）2＋…＋（x10－3）2]，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝ 30 .
知识点二 方差的应用
6.（2024·上海）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是 （ B ）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数2.32.32.83.1
方差1.050.781.050.78
A.甲种类 B.乙种类
C.丙种类 D.丁种类
7.某排球队6名场上队员的身高（单位： cm）分别是：180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的（ A ）
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
8.（2024·兰州）甲，乙两人在相同条件下各射击10次.两人的成绩（单位：环）如图所示.现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高.
其中正确的是 ①② .（填序号）
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9.某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是 （ A ）
A.众数是9.6 B.中位数是9.5
C.平均数是9.4 D.方差是0.3
10.已知一组数据的方差s2＝[（3－7）2＋（8－7）2＋（11－7）2＋（a－7）2＋（b－7）2＋（c－7）2]，则a＋b＋c的值为 （ C ）
A.22 B.21 C.20 D.7
11.一个样本的方差s2＝[（x1－3）2＋（x2－3）2＋…＋（x12－3）2]，则样本容量是 12 ，样本平均数是 3 .
12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为s2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差＝ 8.0 .
13.某校九年级开展男、女学生数学学习竞赛.从全体九年级学生中随意抽取男生、女生各10名同学，进行“十分制”（满分10分）答题对抗赛，竞赛成绩结果（单位：分）如下：
男生：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10；
女生：9，6，7，6，2，7，7，9，8，9.
（1）男女两组学生的对抗赛成绩的方差各是多少？
（2）规定成绩较稳定者胜出，你认为哪一组学生应胜出？说明理由.
解：（1）＝×（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）＝7.
∴＝×[（2－7）2＋（4－7）2＋（6－7＋（8－7）2＋（7－7）2＋（7－7）2＋（8－7）2＋（9－7）2＋（9－7）2＋（10－7）2]＝5.4.
＝×（9＋6＋7＋6＋2＋7＋7＋9＋8＋9）＝7.
∴＝×[（9－7）2＋（6－7）2＋（7－7）2＋（6－7）2＋（2－7）2＋（7－7）2＋（7－7）2＋（9－7）2＋（8－7）2＋（9－7）2]＝4.
（2）女生组学生应胜出. 理由如下：
由（1），知＞.∴女生组学生应胜出.
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14.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
a.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图如下：
b.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段 1日至 10日 11日至 20日 21日至 30日
平均数 100 170 250
（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 173 ；（结果取整数）
（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 2.9 倍；（结果保留小数点后一位）
（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为.直接写出，，的大小关系.
解：（3）由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图，知第1个10天的分出量最分散，第3个10天分出量最为集中.
∴＞＞.
第2课时 用样本方差估计总体方差
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知识点一 用样本方差估计总体方差
1.某校举行健美操比赛，甲、乙两班每个班选20名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是1.65米，其方差分别是＝1.9，＝2.4，则参赛学生身高比较整齐的班级是 （ A ）
A.甲班 B.乙班
C.同样整齐 D.无法确定
2.八（1）与八（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，已知两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15.由此可知 （ B ）
A.（1）班比（2）班的成绩稳定
B.（2）班比（1）班的成绩稳定
C.两个班的成绩一样稳定
D.无法确定哪个班的成绩更稳定
3.【核心素养·应用意识】甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）如下表所示，试根据这组数据估计哪种水稻品种好.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
解：根据表格中的数据，得甲种水稻的平均数为
（9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2）÷5＝10.
乙种水稻的平均数为
（9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8）÷5＝10.
甲种水稻的方差是
×[（9.8－10）2＋（9.9－10）2＋（10.1－10）2＋（10－10）2＋（10.2－10）2]＝0.02.
乙种水稻的方差是
×[（9.4－10）2＋（10.3－10）2＋（10.8－10）2＋（9.7－10）2＋（9.8－10）2]＝0.244.
∵甲、乙两种水稻的平均数相等，甲种水稻的方差小于乙种水稻的方差，
∴甲种水稻产量比较稳定.
∴甲种水稻品种好.
知识点二 方差的变化规律
4.已知x1，x2，…，xn的方差为2，则2x1，2x2，…，2xn的方差为 8 .
5.已知一组数据x1，x2，…，x6的平均数为1，方差为.
（1）求＋＋…＋的值；
（2）若在这组数据中加入另一个数据x7，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差.（结果用分数表示）
解：（1）∵数据x1，x2，…，x6的平均数为1，
∴x1＋x2＋…＋x6＝1×6＝6.
又∵方差为，
∴＝[（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（x6－1）2]
＝[＋＋…＋－2（x1＋x2＋…＋x6）＋6]
＝（＋＋…＋－2×6＋6）
＝（＋＋…＋）－1＝，
∴＋＋…＋＝16.
（2）根据题意，得x1＋x2＋…＋x7＝1×7＝7.
∵x1＋x2＋…＋x6＝6，∴x7＝1.
∵[（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（x6－1）2]＝，
∴（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（x6－1）2＝10.
∴＝[（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（x7－1）2]
＝×[10＋（1－1）2]
＝.
即这7个数据的方差为.
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6.下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 9.2 9.5 9.5 9.2
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择 （ B ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.（2024·武威校级二模）已知一组数据x1，x2，x3，平均数为2，方差为3，那么另一组数2x1－1，2x2－1，2x3－1的平均数和方差分别为 （ C ）
A.2， B.3，3 C.3，12 D.3，4
8.某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表.
抽取的学生竞赛成绩统计图
抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 82 83 87 52.6
八年级 82 84 91 65.6
注：设竞赛成绩为x（分），规定： 90≤x≤100为优秀；75≤x＜90为良好； 60≤x＜75为合格；x＜60为不合格.
（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有 90 人；
（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由.
解：（2）八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下：
∵七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数分别大于七年级的众数和中位数，
∴八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好.（答案不唯一）
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9.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高（由小到大排列）：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
解：（1）这组数据共16个，处于中间的两个数是166和166，
则舞蹈队16名学生身高的中位数m＝＝166（cm），众数n＝165 cm.
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 甲组 （填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 170 cm 和 172 cm .
