第十八章 平行四边形 教学质量监测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.下列说法中，正确的是（ D ）
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线相等的平行四边形是矩形
2.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是（ C ）
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（ D ）
第3题图
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.9 km D.1.2 km
4.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝4，EF＝1，则BC长为（ A ）
第4题图
A.7 B.8
C.9 D.10
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是 （ C ）
第5题图
A.8 B.9
C.10 D.11
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若OA＝3，EF＝2，则菱形ABCD的边长为（ D ）
第6题图
A.2 B.2.5
C.3 D.5
7.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，交BD于点O，连接BM，DN.若AB＝4，MD＝5，则AD的长为（ B ）
第7题图
A.6 B.8
C.10 D.12
8.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，点M为EF的中点，则AM的最小值为（ C ）
第8题图
A.1 B.1.3
C.1.2 D.2.4
9.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于点G，交CD于点F，若BG＝2BE，则DF∶CF的值为（ A ）
第9题图
A. B. C. D.
10.如图，在菱形ABCD中，AB＝5 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B停止运动），点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s.若经过t秒，△DEF为等边三角形，则t的值为（ D ）
第10题图
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数是 70° .
第11题图
12.如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的面积为 12 .
第12题图
13.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.若AB＝4，BC＝8，则图中阴影部分的面积为 10 .
第13题图
14.如图，在正方形ABCD中，点F为CD边上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于 65 °.
第14题图
15.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若点P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为 2 .
第15题图
16.如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ 4 .
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2，求CD的长.
解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD是AB边上的中线.∴CD＝AB.
∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝2×2＝4.
∴CD＝AB＝×4＝2.
18.（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC.
∴BD＝2OB＝2×2＝4.
∵S菱形ABCD＝AC·BD＝4，∴×4×AC＝4.∴AC＝2.
∴OC＝AC＝×2＝1.
在Rt△BOC中，根据勾股定理，得BC＝＝＝.
∵S菱形ABCD＝BC·AE＝AE＝4，∴AE＝＝.
19.（6分）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的.小澈同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连接AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证.
已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB.OA＝ OC .
求证：四边形ABCD是 平行 四边形.
（1）补全已知和求证；
（2）小澈同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请用小澈的思路完成证明过程.（注意：其他方法不得分）
（1）解：补全已知和求证如上所示.
（2）证明：在△ABO与△CDO中，
∴△ABO≌△CDO（SAS）.
∴AB＝CD，∠BAO＝∠DCO.
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
20.（8分）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE＝BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE∥BC，DE＝BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点.
（1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.
他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点.
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M；
②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E'.
请你在图2中完成以上作图；
（2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明.
解：（1）所求图形如图2所示.
（2）命题Ⅱ为真命题：
解图1
证明：如解图1，过点E作EM∥AB交BC边于点M，连接DM.
∵DE∥BC，
∴四边形EDBM是平行四边形.
∴BD＝EM，DE＝BM.
又∵DE＝BC，
∴DE＝BM＝CM.
∴四边形DECM是平行四边形.
∴DM＝CE，DM∥CE.
∴DM∥AE.
又∵EM∥AD，
∴四边形ADME是平行四边形.
∴AD＝EM，DM＝AE.
∴AD＝BD，AE＝CE.
∴D，E分别是AB，AC的中点.
命题Ⅲ为真命题：
解图2
证明：如解图2，延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF.
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD.
又∵∠ADE＝∠BDF，
∴△ADE≌△BDF（SAS）.
∴AE＝BF，∠AED＝∠BFD.
∴AC∥BF.
∵EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形.
∴BF＝CE.
∴CE＝AE.
∴E是AC的中点.
21.（10分）在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答.
在 ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF.求证：四边形BFDE是矩形.
小星和小红分别给出了自己的思路：
小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明.
（1）小星的思路 正确 ，小红的思路 正确 ；（选填“正确”或“错误”）
（2）请选择小红或小星的思路完善证明过程.
证明：（2）选择小红的思路：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C.
∵BE⊥CD，∴BE⊥AB.∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS）.
∴∠DFA＝∠BEC＝90°.∴∠DFB＝180°－∠DFA＝180°－90°＝90°.
∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°.∴四边形BFDE是矩形.
选择小星的思路：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB.
∵AF＝CE，
∴AB－AF＝CD－CE，即BF＝DE.∴四边形BFDE是平行四边形.
∵BE⊥AB，
∴∠BED＝90°.∴平行四边形BFDE是矩形.
22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
根据题意，得CD＝4t cm，AE＝2t cm.
在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4t cm，
∴DF＝CD＝×4t＝2t（cm）.
∴DF＝AE.
∵∠B＝90°，DF⊥BC，
∴DF∥AB.∴四边形AEFD是平行四边形.
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形.
根据题意，得60－4t＝2t，解得t＝10.
即当t＝10时，四边形AEFD是菱形.
（2）四边形BEDF不能成为正方形.理由如下：
根据题意，得CD＝4t cm，AE＝2t cm.
当∠EDF＝90°时，DE∥BC.
∴∠ADE＝∠C＝30°.
∴AD＝2AE＝2×2t＝4t.
∵CD＋AD＝AC，
∴4t＋4t＝60，解得t＝.
∴当t＝时，∠EDF＝90°.
此时，DF＝2t＝2×＝15，BF＝DE＝＝＝15.
∴DF≠BF.
∴四边形BEDF不能成为正方形.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）如图，在菱形ABCD中，已知E是边BC上一点，且AE＝AB，∠EAD＝2∠BAE.
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：BE＝AF.
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC.
∴∠AEB＝∠EAD＝2∠BAE.
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝2∠BAE.
∵∠ABE＋∠AEB＋∠BAE＝180°，
∴2∠BAE＋2∠BAE＋∠BAE＝180°.∴∠BAE＝36°.
∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝36°＋2×36°＝108°.
（2）证明：根据（1），得∠BAD＝108°，∠AEB＝2×36°＝72°.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.
∴∠ABD＝×（180°－108°）＝36°.
根据（1），得∠BAE＝36°.∴∠ABD＝∠BAE.∴AF＝BF.
∵∠BFE是△ABF的一个外角，
∴∠BFE＝∠BAE＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.∴∠AEB＝∠BFE.
∴BE＝BF.∴BE＝AF.
24.（10分）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C'的位置上.
（1）若∠1＝55°，求∠2，∠3的度数；
（2）若AB＝12，AD＝18，求△BC'F的面积.
解：（1）根据题意，得∠2＝∠BEF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.
∴∠2＝∠BEF＝∠1＝55°.
∴∠3＝180°－∠2－∠BEF＝180°－55°－55°＝70°.
（2）根据题意，得EB＝DE，BC'＝DC，∠C'＝∠D.
设DE＝EB＝x，则AE＝18－x.
在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2，∴x2＝122＋（18－x）2，解得x＝13.
∴AE＝18－x＝18－13＝5.∴＝AB·AE＝×12×5＝30.
∵∠ABC＝∠EBC'＝90°，∴∠ABC－∠EBF＝∠EBC'－∠EBF，即∠ABE＝∠C'BF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC.∴AB＝C'B.
在△ABE和△C'BF中，
∴△ABE≌△C'BF（ASA）.∴S△BC'F＝＝30.
25.（10分）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF.
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状.
（1）证明：∵AB平分∠CAE，∴∠CAB＝∠BAE.
∵AB∥DF，∴∠BAE＝∠DFE.
∴∠CAB＝∠EFD.
在△CAB和△EFD中，
∴△CAB≌△EFD（ASA）.∴AB＝FD.
又∵AB∥FD，∴四边形ABDF是平行四边形.
（2）解：四边形BGED是正方形.理由如下：
根据（1），得BC＝DE，四边形ABDF是平行四边形.
∴BD＝AF.
∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE，∴BC＝BG.
∵BC＝AF，∴BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°.
∵BG∥DE，BG＝DE，∴四边形BGED是平行四边形.
∵BD＝DE，∴四边形BGED是菱形.
∵∠BGE＝∠GED＝90°，∴四边形BGED是正方形.
26.（10分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点.
（1）求证：四边形OMPN是矩形；
（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长.
（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，
∴PM，PN是△OCD的中位线.
∴PM∥OC，PN∥OD.
∴四边形OMPN是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠MON＝90°.
∴四边形OMPN是矩形.
（2）解：如图，连接AP.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AD＝BD＝AB＝4.
∴OD＝BD＝×4＝2.
在Rt△OAD中，根据勾股定理，得OA＝＝＝2.
∴OC＝OA＝2.
∵M，N分别为OD，OC的中点，
∴OM＝OD＝×2＝1，ON＝OC＝×2＝.
∴AN＝OA＋ON＝2＋＝3.
根据（1），得四边形OMPN是矩形.
∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°.
∴在Rt△APN中，AP＝＝＝2.
27.（12分）已知，如图，O为坐标原点，在四边形OABC中，BC∥OA，BC＝24，A（26，0），C（0，12），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动.设动点P的运动时间为t秒.
（1）当点P运动 5.5 秒，四边形PDAB是平行四边形；
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得以O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在.理由如下：
∵点A的坐标为（26，0），点C的坐标为（0，12），
∴OA＝26，OC＝12.
∵点D是OA的中点，∴OD＝OA＝×26＝13.
根据题意，得CP＝2t.
分以下三种情况讨论：
①如解图1，点Q1在点P1的右侧.
解图1
∵四边形ODQ1P1是菱形，
∴OD＝OP1＝P1Q1＝13.
∴在Rt△OP1C中，根据勾股定理，得P1C＝＝＝5.
∴2t＝5，解得t＝2.5.
∴点Q1的坐标为（18，12）.
②如解图2，点Q2在点P2的左侧，且在线段BC上.
解图2
同理①，得P2C＝18，即2t＝18，解得t＝9.
∴点Q2的坐标为（5，12）.
③如解图3，点Q3在点P3左侧且在BC延长线上.
解图3
同理①，得Q3C＝5，P3C＝13－5＝8，即2t＝8，解得t＝4.
∴点Q3的坐标为（－5，12）.
综上所述，当t的值为2.5时，点Q的坐标为（18，12）；当t的值为9时，点Q的坐标为（5，12）；当t的值为4时，点Q的坐标为（－5，12）.第十八章 平行四边形 教学质量监测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.下列说法中，正确的是（ ）
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线相等的平行四边形是矩形
2.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是（ ）
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（ ）
第3题图
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.9 km D.1.2 km
4.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝4，EF＝1，则BC长为（ ）
第4题图
A.7 B.8
C.9 D.10
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是 （ ）
第5题图
A.8 B.9
C.10 D.11
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若OA＝3，EF＝2，则菱形ABCD的边长为（ ）
第6题图
A.2 B.2.5
C.3 D.5
7.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，交BD于点O，连接BM，DN.若AB＝4，MD＝5，则AD的长为（ ）
第7题图
A.6 B.8
C.10 D.12
8.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，点M为EF的中点，则AM的最小值为（ ）
第8题图
A.1 B.1.3
C.1.2 D.2.4
9.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于点G，交CD于点F，若BG＝2BE，则DF∶CF的值为（ ）
第9题图
A. B. C. D.
10.如图，在菱形ABCD中，AB＝5 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B停止运动），点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s.若经过t秒，△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
第10题图
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数是 .
第11题图
12.如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的面积为 .
第12题图
13.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.若AB＝4，BC＝8，则图中阴影部分的面积为 .
第13题图
14.如图，在正方形ABCD中，点F为CD边上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于 °.
第14题图
15.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若点P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为 .
第15题图
16.如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ .
第16题图
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2，求CD的长.
18.（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长.
19.（6分）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的.小澈同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连接AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证.
已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB.OA＝ .
求证：四边形ABCD是 四边形.
（1）补全已知和求证；
（2）小澈同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请用小澈的思路完成证明过程.（注意：其他方法不得分）
20.（8分）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ.若D是AB的中点，DE＝BC，则E是AC的中点；
Ⅱ.若DE∥BC，DE＝BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点.
（1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.
他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点.
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M；
②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E'.
请你在图2中完成以上作图；
（2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明.
21.（10分）在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答.
在 ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF.求证：四边形BFDE是矩形.
小星和小红分别给出了自己的思路：
小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明.
（1）小星的思路 ，小红的思路 ；（选填“正确”或“错误”）
（2）请选择小红或小星的思路完善证明过程.
22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）如图，在菱形ABCD中，已知E是边BC上一点，且AE＝AB，∠EAD＝2∠BAE.
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：BE＝AF.
24.（10分）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C'的位置上.
（1）若∠1＝55°，求∠2，∠3的度数；
（2）若AB＝12，AD＝18，求△BC'F的面积.
25.（10分）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF.
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状.
26.（10分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点.
（1）求证：四边形OMPN是矩形；
（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长.
27.（12分）已知，如图，O为坐标原点，在四边形OABC中，BC∥OA，BC＝24，A（26，0），C（0，12），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动.设动点P的运动时间为t秒.
（1）当点P运动 秒，四边形PDAB是平行四边形；
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得以O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
