第十六章 二次根式
专题训练（一） 二次根式运算的常见题型
类型一 二次根式的计算
题型1 利用运算法则进行计算
1.计算：
（1）÷＋×－；
解：原式＝＋－
＝4＋－2
＝4－.
（2）（2－2）×－（2＋3）÷.
解：原式＝4－2－2－3
＝－4.
题型2 利用乘法公式进行计算
2.计算：
（1）（＋1）2＋（－2）2－2（＋1）（－2）；
解：原式＝[（＋1）－（－2）]2
＝（＋1－＋2）2
＝32
＝9.
（2）（＋－）2－（－＋）2；
解：原式＝[（＋－）＋（－＋）][（＋－）－（－＋）]
＝2（2－2）
＝4－4.
（3）＋ .
解：原式＝＋
＝＋（－）
＝＋－
＝2－.
类型二 二次根式的化简求值
题型1 化简后求值
3.先化简，再求值：＋÷，其中x＝＋1，y＝.
解：原式＝·
＝·
＝.
当x＝＋1，y＝时，
原式＝＝.
题型2 利用整体思想求值
4.已知x＝1＋，y＝1－，求（x＋y）2－xy－2x－2y的值.
解：∵x＝1＋，y＝1－，
∴x＋y＝2，xy＝－2.
∴原式＝（x＋y）2－xy－2（x＋y）
＝22－（－2）－2×2
＝2.
类型三 利用二次根式加减运算的特征求字母的取值（范围）或式子的值
5.已知a，b是正整数，且＋＝，求a＋b的值.
解：由＋＝，知，，是可以合并的二次根式.
∵＝＝3，
∴可设＝m，＝n，且m，n均是正整数，则m＋n＝3，
即（m＋n）＝3.∴m＋n＝3.
∴或∴或
∴a＋b＝1 110.
专题训练（二） 二次根式运算中的易错点
易错点一 混淆运算律与法则
1. 计算：
（1）3÷×；
解：原式＝3××
＝1.
（2）÷；
解：原式＝÷
＝÷
＝.
（3）×2－×＋÷2.
解：原式＝4×2－＋
＝8.
易错点二 计算结果未化简
2. 计算：
（1）－4＋÷；
解：原式＝3－2＋
＝3－2＋2
＝3.
（2）＋－（＋）；
解：原式＝2＋－－
＝2＋－.
（3）－－＋（－2）0＋.
解：原式＝3－－1－＋1＋－1
＝－1.
易错点三 未先化简而直接代入求值
3. 已知x＝，y＝，则代数式x2－3xy＋y2的值为 95 .
4.先化简，再求值：x（－x）＋（x＋）（x－），其中x＝－.
解：原式＝x－x2＋x2－5
＝x－5.
当x＝－时，
原式＝（－）－5
＝6－2－5
＝1－2.
易错点四 未注意隐含条件
5.如果y＝＋1 012成立，则xy＝ 2 024 .
6. 化简：－（）2.
解：观察原式，得＝＝｜2x－1｜，（）2＝2x－3.∵2x－3≥0，
∴x≥.∴2x－1＞0.
∴原式＝｜2x－1｜－（2x－3）
＝2x－1－2x＋3
＝2.
专题训练（三） 二次根式运算中的类比归纳思想
类型一 规律探究型
1.观察下列各式：
S1＝＝1＋；
S2＝＝1＋；
S3＝＝1＋；
…
请利用你所发现的规律，计算：S1＋S2＋…＋S50＝ 50 .
2.观察下列等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式；
解：（1）∵第1个等式：＝＝＝，
第2个等式：＝＝＝，
第3个等式：＝＝＝，
∴第4个等式＝＝＝＝，即＝.
（2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明.
解：（2）根据（1），得第n个等式＝＝（n为正整数）.
证明：∵左边＝＝＝＝，
∴左边＝右边.
∴等式成立.
类型二 阅读理解型
3.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2.善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn.所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把形如a＋b的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ m2＋3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，请找一组正整数a，b，m，n填空： 13 ＋ 4 ＝（ 1 ＋ 2 ）2；（答案不唯一）
（3）若a－6＝（m－n）2且a，m，n均为正整数，求a的值.
解：（3）∵a－6＝（m－n）2，
∴a－6＝m2－2mn＋5n2.
∴mn＝3，m2＋5n2＝a.
∵a，m，n均为正整数，
∴m＝3，n＝1，a＝14或m＝1，n＝3，a＝46.
故满足条件的a的值为14或46.第十六章 二次根式
专题训练（一） 二次根式运算的常见题型
类型一 二次根式的计算
题型1 利用运算法则进行计算
1.计算：
（1）÷＋×－；
（2）（2－2）×－（2＋3）÷.
题型2 利用乘法公式进行计算
2.计算：
（1）（＋1）2＋（－2）2－2（＋1）（－2）；
（2）（＋－）2－（－＋）2；
（3）＋ .
类型二 二次根式的化简求值
题型1 化简后求值
3.先化简，再求值：＋÷，其中x＝＋1，y＝.
题型2 利用整体思想求值
4.已知x＝1＋，y＝1－，求（x＋y）2－xy－2x－2y的值.
类型三 利用二次根式加减运算的特征求字母的取值（范围）或式子的值
5.已知a，b是正整数，且＋＝，求a＋b的值.
专题训练（二） 二次根式运算中的易错点
易错点一 混淆运算律与法则
1. 计算：
（1）3÷×；
（2）÷；
（3）×2－×＋÷2.
易错点二 计算结果未化简
2. 计算：
（1）－4＋÷；
（2）＋－（＋）；
（3）－－＋（－2）0＋.
易错点三 未先化简而直接代入求值
3. 已知x＝，y＝，则代数式x2－3xy＋y2的值为 .
4.先化简，再求值：x（－x）＋（x＋）（x－），其中x＝－.
易错点四 未注意隐含条件
5.如果y＝＋1 012成立，则xy＝ .
6. 化简：－（）2.
专题训练（三） 二次根式运算中的类比归纳思想
类型一 规律探究型
1.观察下列各式：
S1＝＝1＋；
S2＝＝1＋；
S3＝＝1＋；
…
请利用你所发现的规律，计算：S1＋S2＋…＋S50＝ .
2.观察下列等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式；
（2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明.
类型二 阅读理解型
3.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2.善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn.所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把形如a＋b的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，请找一组正整数a，b，m，n填空： ＋ ＝（ ＋ ）2；
（3）若a－6＝（m－n）2且a，m，n均为正整数，求a的值.
