第十六章 二次根式 教学质量监测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A.x≤ B.x＜ C.x≥ D.x＞
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是 （ ）
A.2×3＝6
B.2×3＝5
C.2×3＝6×25＝150
D.2×3＝6×5＝30
4.计算×＋×的结果估计在（ ）
A.6至7之间 B.7至8之间
C.8至9之间 D.9至10之间
5.如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6.若＋（n＋1）2＝0，则m－n的值为（ ）
A.－1 B.3 C.4 D.－4
7.若是整数，则满足条件的正整数n的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
8.化简a的结果是（ ）
A. B. C.－ D.－
9.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A.小明和小丽 B.小丽和小红
C.小红和小亮 D.小丽和小亮
10.如图，从一个大正方形中裁去面积为18 cm2和32 cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ）
A.36 cm2 B.42 cm2
C.48 cm2 D.50 cm2
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.一个长方形的长为2，宽为2，则该长方形的面积为 .
12.比较大小：－3 －2.（填“＞”“＜”或“＝”）
13.若实数x，y满足y＝＋＋，则代数式x2－2x＋y2＝ .
14.化简：（a＜0）＝ .
15.一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个.它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝ .
16.定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”.因为（＋）（－）＝（）2－（）2＝a－b，可以有效去掉根号.若－＝1，则＋＝ .
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）计算：÷－×＋.
18.（6分）化简：（a＞0）.
19.（6分）计算：（＋－1）（－＋1）.
20.（8分）若a为正数，则为正整数，求的最大值及此时a的值.
21.（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝.
22.（10分）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示.
（1）判断正负，用“＞”“＜”填空：b＋a 0，－a＋b 0；
（2）化简：＋2＋.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务.
解：（－）2×（5＋2） ＝（3－2＋2）×（5＋2）……………………（第1步） ＝（5－2）×（5＋2）…………………………（第2步） ＝25－12………………………………………………（第3步） ＝13……………………………………………………（第4步）
任务：
（1）从第2步到第3步运用的乘法公式是 （填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
（2）上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第 步；
（3）请写出正确的解题过程.
24.（10分）定义：若两个二次根式m，n满足m·n＝p，且p是有理数.则称m与n是关于p的“和谐二次根式”.
（1）若m与是关于6的“和谐二次根式”，求m的值；
（2）若2－与4＋m是关于4的“和谐二次根式”，求m的值.
25.（10分）某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建.如图，该市某公园有一块长方形绿地ABCD，BC为米，AB为米，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为（＋1） 米，宽为（－1）米.
（1）求长方形ABCD的周长；
（2）图中的空白部分另作他用，需要每平方米40元的定期维护费，求定期维护的总费用.
26.（10分）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝.（不考虑风速的影响，g≈10 m/s2）
（1）求从40 m高空抛物到落地的时间；（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过4 s落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由.（注：伤害无防护人体只需要65 J的动能）
27.（12分）【阅读材料】
小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2＝（2＋3）＋2＝（）2＋（）2＋2×＝（＋）2；
8＋2＝（1＋7）＋2＝12＋（）2＋2×1×＝（1＋）2.
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将9＋2化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简：；
【变式探究】
（3）若a＋2＝（＋）2，且a，m，n均为正整数，求a的值.第十六章 二次根式 教学质量监测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ C ）
A.x≤ B.x＜ C.x≥ D.x＞
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ A ）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是 （ D ）
A.2×3＝6
B.2×3＝5
C.2×3＝6×25＝150
D.2×3＝6×5＝30
4.计算×＋×的结果估计在（ B ）
A.6至7之间 B.7至8之间
C.8至9之间 D.9至10之间
5.如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ D ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6.若＋（n＋1）2＝0，则m－n的值为（ C ）
A.－1 B.3 C.4 D.－4
7.若是整数，则满足条件的正整数n的最小值是（ B ）
A.2 B.3 C.4 D.5
8.化简a的结果是（ C ）
A. B. C.－ D.－
9.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是（ B ）
A.小明和小丽 B.小丽和小红
C.小红和小亮 D.小丽和小亮
10.如图，从一个大正方形中裁去面积为18 cm2和32 cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ C ）
A.36 cm2 B.42 cm2
C.48 cm2 D.50 cm2
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.一个长方形的长为2，宽为2，则该长方形的面积为 12 .
12.比较大小：－3 ＜ －2.（填“＞”“＜”或“＝”）
13.若实数x，y满足y＝＋＋，则代数式x2－2x＋y2＝ － .
14.化简：（a＜0）＝ .
15.一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个.它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝ ±10 .
16.定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”.因为（＋）（－）＝（）2－（）2＝a－b，可以有效去掉根号.若－＝1，则＋＝ 7 .
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（6分）计算：÷－×＋.
解：原式＝－＋2
＝4＋.
18.（6分）化简：（a＞0）.
解：原式＝
＝4a.
19.（6分）计算：（＋－1）（－＋1）.
解：原式＝[＋（－1）][－（－1）]
＝（）2－（－1）2
＝3－（2－2＋1）
＝3－2＋2－1
＝2.
20.（8分）若a为正数，则为正整数，求的最大值及此时a的值.
解：∵a为正数，
∴a＞0.
∴23－a＜23.
∵为正整数，
∴＜.
∵4＜＜5，
∴的最大值为4，此时23－a＝16，即a＝7.
21.（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝.
解：原式＝·
＝·
＝.
当a＝时，
原式＝
＝
＝
＝4－7.
22.（10分）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示.
（1）判断正负，用“＞”“＜”填空：b＋a ＞ 0，－a＋b ＞ 0；
（2）化简：＋2＋.
解：（2）根据数轴，得－1＜a＜0，0＜b＜1，｜b｜＞｜a｜.
∴a＋1＞0，b－1＜0，a－b＜0.
∴原式＝a＋1＋2（1－b）＋（b－a）
＝a＋1＋2－2b＋b－a
＝3－b.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.（8分）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务.
解：（－）2×（5＋2） ＝（3－2＋2）×（5＋2）……………………（第1步） ＝（5－2）×（5＋2）…………………………（第2步） ＝25－12………………………………………………（第3步） ＝13……………………………………………………（第4步）
任务：
（1）从第2步到第3步运用的乘法公式是 平方差公式 （填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
（2）上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第 3 步；
（3）请写出正确的解题过程.
解：（3）正确的解题过程如下：
（－）2×（5＋2）
＝（3－2＋2）×（5＋2）
＝（5－2）×（5＋2）
＝25－24
＝1.
24.（10分）定义：若两个二次根式m，n满足m·n＝p，且p是有理数.则称m与n是关于p的“和谐二次根式”.
（1）若m与是关于6的“和谐二次根式”，求m的值；
（2）若2－与4＋m是关于4的“和谐二次根式”，求m的值.
解：（1）根据题意，得m·＝6.
解得m＝2.
（2）根据题意，得（2－）（4＋m）＝4.
整理，得（2－2）m＝4－4，
解得m＝2.
25.（10分）某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建.如图，该市某公园有一块长方形绿地ABCD，BC为米，AB为米，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为（＋1） 米，宽为（－1）米.
（1）求长方形ABCD的周长；
（2）图中的空白部分另作他用，需要每平方米40元的定期维护费，求定期维护的总费用.
解：（1）∵BC为米，AB为米，
∴长方形ABCD的周长＝2×（＋）
＝2×（3＋2）
＝2×5
＝10 （米）.
答：长方形ABCD的周长是10米.
（2）根据题意，得定期维护的总费用为
40×
＝40×
＝40×（78－19）
＝40×59
＝2 360（元）.
答：定期维护的总费用为2 360元.
26.（10分）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝.（不考虑风速的影响，g≈10 m/s2）
（1）求从40 m高空抛物到落地的时间；（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过4 s落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由.（注：伤害无防护人体只需要65 J的动能）
解：（1）当h＝40 m时，t＝＝＝2（s）.
答：从40 m高空抛物到落地的时间约为2s.
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.理由如下：
当t＝4 s时，＝＝4，
解得h＝80.
∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×80＝160（J）.
∵160＞65，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.
27.（12分）【阅读材料】
小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2＝（2＋3）＋2＝（）2＋（）2＋2×＝（＋）2；
8＋2＝（1＋7）＋2＝12＋（）2＋2×1×＝（1＋）2.
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将9＋2化成另一个式子的平方；
解：（1）9＋2
＝7＋2＋2
＝（）2＋（）2＋2×
＝（＋）2.
（2）请运用小明的方法化简：；
解：（2）∵8－2＝5＋3－2＝（）2＋（）2－2×＝（－）2，
∴＝＝－.
【变式探究】
（3）若a＋2＝（＋）2，且a，m，n均为正整数，求a的值.
解：（3）∵a＋2＝（＋）2，
∴a＋2＝（＋）2或a＋2＝（＋）2.
∴a＝3＋7＝10或a＝21＋1＝22.
