1.1 二次函数
@基础分点训练
知识点1 二次函数的概念
1.（长沙市长沙县期末）下列是二次函数的是（ A ）
A.y＝x2＋x B.y＝x2＋
C.I＝ D.y＝
2.正方形的面积公式S＝a2中，S与a之间的关系是（ C ）
A.S是a的正比例函数
B.S是a的一次函数
C.S是a的二次函数
D.以上答案都不对
3.下列函数中，属于二次函数的是 ②⑤ （填序号）.
①y＝ax3； ②y＝－x（x－2）；
③y＝2xπ2； ④y＝3x2－4－2x3；
⑤y＝－2＋x2； ⑥y＝x2－（x＋3）（x－2）.
4.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
二次函数 二次项 系数 一次项 系数 常数 项
y＝－x2 －1 0 0
y＝－2x2－x＋1 －2 －1 1
y＝（x－1）2＋2 －1
y＝－3（x－4）（x＋）－4 －3 11 0
5.已知两个变量x，y之间的关系式为y＝（a－3）x2＋（b＋3）x＋4.
（1）当 a≠3 时，x，y之间是二次函数关系；
（2）当 a＝3且b≠－3 时，x，y之间是一次函数关系.
知识点2 建立二次函数模型
6.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是（ B ）
A.y＝x2 B.y＝4－x2
C.x＝y2－4 D.y＝4－2x
7.某公司的生产利润原来是2万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是 y＝2（1＋x）2 .
8.【教材P2“动脑筋”变式】用16m长的篱笆围成长方形动物园饲养小兔，设围成长方形动物园的长为xm，则围成长方形动物园的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是 S＝－x2＋8x （不要求写自变量x的取值范围）.
9.学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2.求x与y之间的函数关系式.
解：由题意，可得y＝（20＋x）（14＋x）－20×14，化简，得y＝x2＋34x，
即x与y之间的函数关系式是y＝x2＋34x.
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10.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ C ）
A.y＝（m－1）2x2 B.y＝（m＋1）2x2
C.y＝（m2＋1）x2 D.y＝（m2－1）x2
11.若函数y＝（3－m）－x＋1是关于x的二次函数，则m的值为（ B ）
A.3 B.－3 C.±3 D.9
12.如图，正方形ABCD和☉O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ B ）
A.一次函数关系，一次函数关系
B.一次函数关系，二次函数关系
C.二次函数关系，二次函数关系
D.二次函数关系，一次函数关系
13.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，这种商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y＝－4x＋440，那么该商品每天获得的利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为 w＝－4x2＋640x－22000 .
14.【教材P4习题T3变式】如图，某小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花，设通道的宽为x m，改造后花地面积为y m2.求y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
解：根据题意得：y＝（40－2x）（26－x）＝2x2－92x＋1 040，
∴y与x的函数表达式为y＝2x2－92x＋1 040；
因为40－2x＞0，26－x＞0，解得x＜20.又x＞0，所以自变量x的取值范围是0＜x＜20.
所以所求函数表达式是y＝2x2－92x＋1 040（0＜x＜20）.
@拓展素养训练
15.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ycm2.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）四边形APQC的面积能否等于172cm2？若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由.
解：（1）根据题意，得AP＝2x，BQ＝4x，则BP＝12－2x.y＝S△ABC－S△PQB＝BC·AB－BQ·BP＝×24×12－·4x·（12－2x）＝4x2－24x＋144.
即y与x之间的函数关系式为y＝4x2－24x＋144.
（2）由题意，知0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC，
即0＜2x＜12，0＜4x＜24，
∴0＜x＜6.
∴自变量x的取值范围为0＜x＜6.
（3）不能.理由如下：
当y＝172时，4x2－24x＋144＝172.整理，得x2－6x－7＝0，
解得x1＝7，x2＝－1.
又∵0＜x＜6，
∴四边形APQC的面积不能等于172cm2.1.1 二次函数
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知识点1 二次函数的概念
1.（长沙市长沙县期末）下列是二次函数的是（ ）
A.y＝x2＋x B.y＝x2＋
C.I＝ D.y＝
2.正方形的面积公式S＝a2中，S与a之间的关系是（ ）
A.S是a的正比例函数
B.S是a的一次函数
C.S是a的二次函数
D.以上答案都不对
3.下列函数中，属于二次函数的是 （填序号）.
①y＝ax3； ②y＝－x（x－2）；
③y＝2xπ2； ④y＝3x2－4－2x3；
⑤y＝－2＋x2； ⑥y＝x2－（x＋3）（x－2）.
4.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
二次函数 二次项 系数 一次项 系数 常数 项
y＝－x2
y＝－2x2－x＋1
y＝（x－1）2＋2
y＝－3（x－4）（x＋）－4
5.已知两个变量x，y之间的关系式为y＝（a－3）x2＋（b＋3）x＋4.
（1）当 时，x，y之间是二次函数关系；
（2）当 时，x，y之间是一次函数关系.
知识点2 建立二次函数模型
6.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是（ ）
A.y＝x2 B.y＝4－x2
C.x＝y2－4 D.y＝4－2x
7.某公司的生产利润原来是2万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是 .
8.【教材P2“动脑筋”变式】用16m长的篱笆围成长方形动物园饲养小兔，设围成长方形动物园的长为xm，则围成长方形动物园的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是 （不要求写自变量x的取值范围）.
9.学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2.求x与y之间的函数关系式.
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10.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A.y＝（m－1）2x2 B.y＝（m＋1）2x2
C.y＝（m2＋1）x2 D.y＝（m2－1）x2
11.若函数y＝（3－m）－x＋1是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A.3 B.－3 C.±3 D.9
12.如图，正方形ABCD和☉O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A.一次函数关系，一次函数关系
B.一次函数关系，二次函数关系
C.二次函数关系，二次函数关系
D.二次函数关系，一次函数关系
13.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，这种商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y＝－4x＋440，那么该商品每天获得的利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为 .
14.【教材P4习题T3变式】如图，某小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花，设通道的宽为x m，改造后花地面积为y m2.求y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
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15.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ycm2.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）四边形APQC的面积能否等于172cm2？若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由.
